Kmitající atom dusíku
Úloha číslo: 695
Atom dusíku v molekule N2 se chová přibližně jako lineární harmonický oscilátor (LHO) kmitající s úhlovou frekvencí ω = 3,4·1012 s−1.
a) Určete energii základního stavu oscilátoru v meV.
b) Oscilátor přejde absorpcí fotonu ze základního do prvního excitovaného stavu. Určete energii a vlnovou délku fotonu.
Nápověda
Jak vypadá explicitní předpis pro diskrétní hladiny energie LHO? Jaká je hodnota redukované Planckovy konstanty v eV·s? (Tato hodnota není pro výpočet nutná, ale urychlí ho.)
Řešení
Diskrétní hladiny energie lineárního harmonického oscilátoru kmitajícího s úhlovou frekvencí ω jsou
\[E_n=\left(n\,+\,\frac{1}{2}\right)\,\hbar\omega ,\] kde n = 0, 1, 2, ... .
Hodnota redukované Planckovy konstanty v jednotkách vhodných pro tento příklad je ħ = 6,582·10−16 eV·s.
Energie základního stavu našeho oscilátoru je
\[E_0=\frac{1}{2}\,\hbar\omega ,\] \[E_0=0{,}5\,\cdot\,6{,}582\,\cdot\,10^{-16}\,\cdot\,3{,}4\,\cdot\,10^{12}\ \mbox{eV}\,\dot{=}\, 1{,}1\ \mbox{meV} .\]Energie absorbovaného fotonu odpovídá rozdílu energií základního a prvního excitovaného stavu:
\[E=E_1-E_0=\hbar\omega ,\] \[E=\,6{,}582\,\cdot\,10^{-16}\,\cdot\,3{,}4\,\cdot\,10^{12}\ \mbox{eV}\,\dot{=}\, 2{,}2\ \mbox{meV} .\]Energie kvanta záření o vlnové délce \(\lambda\) je \[E=\frac{hc}{\lambda} ,\] musí proto platit \[\hbar\omega=\frac{hc}{\lambda} .\] Odtud po úpravě dostáváme
\[\lambda=\frac{2\pi c}{\omega} ,\] \[\lambda=\frac{2\pi\,\cdot\,3\,\cdot\,10^8}{3{,}4\,\cdot\,10^{12}}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,5{,}5\,\cdot\,10^{-4}\ \mbox{m} .\]Odpověď
a) Energii základního stavu oscilátoru je přibližně rovna 1,1 meV.
b) Energie absorbovaného fotonu je přibližně rovna 2,2 meV a jeho vlnová délka je přibližně rovna 5,5·10−4 m. Jde o tzv. daleké infračervené záření.
