Vlastní stavy částice na kružnici
Úloha číslo: 615
Částice vázaná na kružnici je příkladem kvantového systému se zajímavými vlastnostmi. Tento hypotetický model nachází uplatnění například při vysvětlení Hückelova pravidla pro stabilitu molekul aromatických uhlovodíků.
Uvažujte částici, která se volně pohybuje po kružnici o daném poloměru R v rovině xy. Řešte problém vlastních čísel a vlastních funkcí hamiltoniánu pro tento případ.
Nápověda 1 – souřadnice polohy
Pro popis polohy částice v prostoru volte vhodné souřadnice. Uvědomte si, že jde o pohyb po kružnici o poloměru R v rovině xy, tj. v rovině z = 0.
Nápověda 2 – hamiltonián
Nezapomeňte použít hamiltonián ve tvaru odpovídajícím použitým souřadnicím!
Nápověda 3 – Schr. rovnice a vlnové funkce
Vlastní čísla a vlastní funkce hamiltoniánu najdete řešením nečasové Schrödingerovy rovnice. Nezapomeňte také na to, že vlnové funkce popisující stav částice musí splňovat určité podmínky.
Podrobné řešení
Řešením diferenciální rovnice
\[\frac{\mbox{d}^2 \psi}{\mbox{d} \varphi^2}\,+\,\frac{2MR^2E}{\hbar^2}\psi=0 .\]jsou funkce
\[\psi(\varphi)=Ne^{\pm i\sqrt{\frac{2MR^2E}{\hbar^2}}\varphi} ,\]kde N je zatím nezjištěná normovací konstanta.
Z podmínky jednoznačnosti
\[\psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi)\]dostáváme
\[Ne^{\pm i\sqrt{\frac{2MR^2E}{\hbar^2}}(\varphi+2\pi)}= Ne^{\pm i\sqrt{\frac{2MR^2E}{\hbar^2}}\varphi} , \]což nastane, je-li
\[e^{\pm i2\pi\sqrt{\frac{2MR^2E}{\hbar^2}}}=1 .\]Tato podmínka bude splněna v případě, že hodnota odmocniny je celé číslo, tj.
\[\hspace{35px}\sqrt{\frac{2MR^2E}{\hbar^2}}=m,\,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Odtud plyne podmínka pro energie
\[\hspace{35px}E_m=\frac{\hbar^2 m^2}{2MR^2},\,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Kvantování energie tedy v tomto případě plyne z požadavku jednoznačnosti vlnové funkce, tj. její 2π-periodičnosti na kružnici.
Ještě je třeba vyhovět normovací podmínce
\[1=\int_0^{2\pi} |\psi(\varphi)|^2 \,\mbox{d}\varphi ,\] \[1=\int_0^{2\pi}|N|^2 |e^{\pm im\varphi}|^2 \,\mbox{d}\varphi ,\] \[\frac{1}{|N|^2}=\int_0^{2\pi} 1\,\mbox{d}\varphi=2\pi ,\]čemuž vyhovuje např. \[N=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} .\]
Normované vlnové funkce popisující stavy částice pohybující se po kružnici jsou tedy
\[\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\]s energiemi
\[\hspace{35px}E_m=\frac{\hbar^2 m^2}{2MR^2} ,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Odpověď
Vlnové funkce popisující stavy částice pohybující se po kružnici jsou funkce
\[\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\] s energiemi \[E_m=\frac{\hbar^2 m^2}{2MR^2},\,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Komentář
Je zřejmé, že pro všechna m (kromě 0) jsou energetické hladiny dvojnásobně degenerované, neboť sice Em = E−m, avšak stavy s těmito kvantovými čísly nejsou zcela identické. Odlišují se například lineárně nezávislými vlnovými funkcemi ψm(φ) a ψ−m(φ), ale také hodnotami z-ové složky momentu hybnosti L (tj. vlastními hodnotami operátoru momentu hybnosti, konkrétně jeho z-ové složky). Tento problém řeší podrobněji úloha Moment hybnosti částice na kružnici této sbírky.
