Polovina oscilátoru

Úloha číslo: 2017

Řešte stacionární Schrödingerovu rovnici pro potenciál \[V(x)\ \ \begin{cases} =\frac{1}{2}m\omega^2x^2 & \quad \text{pro } x<0, \\ \to\infty & \quad \text{pro } x>0.\\ \end{cases}\]

Polovina oscilátoru
  • Nápověda 1

    Zamyslete se, zda zadaný potenciál připomíná nějaký potenciál, jehož řešení již známe.

  • Nápověda 2

    Promyslete, jak bychom mohli využít toho, že známe řešení pro lineární harmonický oscilátor.

  • Nápověda 3

    Známe již řešení Schrödingerovy rovnice pro zadaný potenciál na otevřených intervalech. Zvažte, zda toto řešení můžeme považovat za konečný výsledek. Uvědomte si, jaké jsou požadavky na vlnovou funkci.

  • Řešení

    Nejprve si všimneme, že potenciál je zadaný různě na dvou intervalech \[ V(x) \begin{cases} =\frac{1}{2}m\omega^2x^2 & \quad \text{pro } x<0,\\ \to\infty & \quad \text{pro } x>0.\\ \end{cases}\] Pro \(x<0\) je potenicál stejný jako potenciál pro lineární harmonický oscilátor, pro \(x>0\) je potenciál nekonečný.

    Stacionární Schrödingerovu rovnici budeme řešit na každém intervalu zvlášť. V místech, kde se potenciál blíží k nekonečnu, se částice nemůže vyskytovat. Vlnová funkce je zde tedy nulová. Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro \(x<0\) je stejné jako řešení pro lineární harmonický oscilátor. Souhrnně tedy můžeme psát

    \[ \psi_k(x)= \begin{cases} H_k\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x_0}\right)^2} & \quad \text{pro } x<0,\\ 0 & \quad \text{pro } x>0.\\ \end{cases}\]

    Funkce \(\psi_k(x)\) musí být spojitá ve všech bodech, speciálně musíme zajistit spojitost v bodě \(x=0\), z čehož vyplývá požadavek \[\psi_k(0)=0.\]

    Zamysleme se nad tím, jaké hodnoty dostaneme, pokud se \(x\) blíží k nule zleva. Do řešení pro lineární harmonický oscilátor lze přímo dosadit \(x=0\). Hodnota výrazu \(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x_0}\right)^2}\) je rovna jedné. Hodnota Hermitova polynomu \(H_k\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\) je rovna pro sudá \(k\) jeho absolutnímu členu, jež je nenulový. Tedy pouze Hermitovy polynomy pro lichá \(k\) jsou pro \(x=0\) nulové (viz Řešení nápovědy 1). Abychom se nemuseli při číslování řešení omezovat pouze na lichá čísla, ale mohli použít všechna přirozená čísla, zvolíme index \(n\), pro který bude platit \(k=2n+1\).

    Řešením stacionární Schrödingerovy rovnice pro zadaný potenciál \(V\) jsou vlnové funkce \[\varphi_n(x)= \begin{cases} H_{2n+1}\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x_0}\right)^2} & \quad \text{pro } x<0,\\ 0 & \quad \text{pro } x\geq 0,\\ \end{cases}\] kde \(n\) je libovolné přirozené číslo nebo nula, \(H_{2n+1}\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\) jsou Hermitovy polynomy a konstanta \(x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\). Energie tohoto stavu je rovna \[ E_n(x) = \hbar\omega\left(2n+1+\frac{1}{2}\right) = \hbar \omega \left(2n+\frac{3}{2}\right). \]

  • Odpověď

    Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro potenciál \[V(x) \begin{cases} =\frac{1}{2}m\omega^2x^2 & \quad \text{pro } x<0, \\ \to\infty & \quad \text{pro } x>0\\ \end{cases}\] jsou vlnové funkce \[\varphi_n(x)= \begin{cases} H_{2n+1}\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x_0}\right)^2} & \quad \text{pro } x<0, \\ 0 & \quad \text{pro } x\geq 0,\\ \end{cases}\] a energie \[ E_n(x) =\hbar\omega\left(2n+\frac{3}{2}\right)\] kde \(n\) je přirozené číslo, \(H_{2n+1}\!\left(\frac{x}{x_0}\right)\) jsou Hermitovy polynomy a konstanta \(x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze