Poruchová metoda v maticovém formalismu
Úloha číslo: 2267
Uvažujme neporušený hamiltonián \(\hat{H}_{0}\) a poruchu \(\hat{V}\) dané maticemi:
\[\hat{H}_{0}=\begin{pmatrix} 5\epsilon& 0& 0\\ 0& 2\epsilon& 0\\ 0& 0& -1\epsilon \end{pmatrix},\,\,\,\, \hat{V}=\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix},\]kde \(\epsilon\) a \(c\) jsou reálné konstanty a platí \(c\ll\epsilon \).
Určete:
a) Korekci k energii v prvním řádu poruchového počtu.
b) Korekci k energii v druhém řádu poruchového počtu.
c) Korekci k vlastním stavům v prvním řádu poruchového počtu.
d) Nalezněte přesné hodnoty energie a rozviňte je v mocninách \(c\). Porovnejte s předchozími výsledky.
e) Nalezněte přesné tvary porušených vlnových funkcí a rozviňte je v mocninách \(c\). Porovnejte s předchozími výsledky.
Nápověda 1 – Princip stacionární poruchové metody
Stacionární poruchová metoda je jednou z přibližných metod kvantové mechaniky. Její základní myšlenkou je, že pokud dojde k malé změně prostředí, ve kterém se studovaný kvantový systém nachází, dojde pouze k malé změně jeho vlastností. Tedy pokud trochu změníme hamiltonián, trochu se změní jeho vlastní funkce a vlastní čísla (energie). Tato malá změna prostředí se nazývá porucha a musí být časově nezávislá, změněný hamiltonián se nazývá porušený hamiltonián. Systém před zapnutím poruchy nazýváme neporušený.
Porušený hamiltonián \(\hat{H}\) píšeme ve tvaru
\[\hat{H}=\hat{H_0}+\lambda \hat{V},\]kde \(\hat{H_0}\) je neporušený hamiltonián systému, jehož řešení známe, \(\hat{V}\) je operátor uvažované malé změny prostředí a jedná se nejčastěji o příspěvek k potenciální energii. Bezrozměrný pomocný parametr \(\lambda\) \((0\leq\lambda\leq1)\) nám určuje, jak moc se porucha uplatňuje a pomůže nám při výpočtech určit význam jednotlivých členů.
Energie a vlastní vlnové funkce porušeného systému rozepíšeme do mocninného rozvoje v parametru \(\lambda\). Energie \(E_n\) má tvar
\[E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2 E_n^{(2)}+\dots,\]kde \(E_n^{(0)}\) je energie n-tého stavu před zapnutím poruchy (tzv. neporušená energie), \(E_n^{(1)}\) je první oprava energie (tzv. oprava v prvním řádu), poté následují opravy vyšších řádů \(E_n^{(2)}\), \(E_n^{(3)}\), atd. Podobně rozepíšeme vlnovou funkci \(\psi_n\)
\[\psi_n=\psi_n^{(0)}+\lambda \psi_n^{(1)}+\lambda^2 \psi_n^{(2)}+\dots,\]kde \(\psi_n^{(0)}\) je vlnová funkce n-tého stavu před zapnutím poruchy, \(\psi_n^{(1)}\) je oprava vlnové funkce v prvním řádu, poté opět následují opravy vyšších řádů.
Tyto rozvoje se poté dosadí do stacionární Schrödingerovy rovnice
\[\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n.\]Mocniny parametru \(\lambda\) u jednotlivých členů nám pomohou rozpoznat „význam“ jednotlivých členů, z členů se stejnou mocninou parametru \(\lambda\) sestavíme rovnice a pomocí nich hledáme jednotlivé opravy energií a vlnových funkcí.
Nápověda 2
Vyhledejte nebo odvoďte výraz pro první opravu energie n-tého stavu \(E_{n}^{(1)}\), pokud uvažujeme malou poruchu \(\hat{V}.\)
Vyhledejte nebo odvoďte výraz pro opravu energie n-tého stavu \(E_{n}^{(2)}\) v druhém řádu, pokud uvažujeme malou poruchu \(\hat{V}.\)
Nápověda 3
Vyhledejte nebo odvoďte výraz pro první opravu vlnové funkce \(n-\)tého stavu \(\psi_{n}^{(1)}\), pokud uvažujeme malou poruchu \(\hat{V}.\)
Nápověda 4
Skalární součin v maticovém formalismu se počítá stejně, jako klasický skalární součin
\[\left\langle\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\mbox{*}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=a\mbox{*}x+b\mbox{*}y+c\mbox{*}z,\]ale protože uvažujeme vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel, je nutné dbát na komplexní sdružení prvního vektoru.
Řešení a)
Při zjišťování oprav energií a vlnových funkcí potřebujeme nejprve znát vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory neporušeného hamiltoniánu \(\hat{H}_{0}\). Při určování těchto hodnot můžeme postupovat standardním způsobem. Pokud si povšimneme, že neporušený hamiltonián \(\hat{H}_{0}\) je dán diagonální maticí, pak víme, že vlastní čísla jsou prvky na diagonále a vlastní vektory tvoří kanonickou bázi. Tedy \[E_{1}^{(0)}=5\epsilon,\quad\psi_{1}^{(0)}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \] \[E_{2}^{(0)}=2\epsilon,\quad\psi_{2}^{(0)}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\] \[E_{3}^{(0)}=−1\epsilon,\quad\psi_{3}^{(0)}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]
Poté nám stačí dosadit hodnoty do výrazu pro první opravu energie \(n-\)tého stavu \[E_{n}^{(1)}=\left\langle\psi_{n}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{n}^{(0)}\right\rangle.\]
Tedy pro první stav dostáváme
\[E_{1}^{(1)}=\left\langle\psi_{1}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{1}^{(0)}\right\rangle=\left\langle\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ c\\ 0 \end{pmatrix}=0.\]Obdobně spočítáme i opravu energie pro druhý a třetí stav
\[E_{2}^{(1)}=\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}=0,\] \[E_{3}^{(1)}=\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2c \end{pmatrix}=2c.\]Řešení b)
Nyní vypočítáme opravu energie v druhém řádu. Dosadíme příslušné hodnoty do výrazu pro opravu energie n-tého stavu v druhém řádu
\[E_{n}^{(2)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}^{}{\frac{\left|\left\langle\psi_{n}^{(0)}\Bigg| \hat{V}\psi_{k}^{(0)}\right\rangle\right|^2}{E_{n}^{(0)}−E_{k}^{(0)}}},\]
jelikož sčítáme přes všechny ostatní stavy než ty opravované, představuje suma součet dvou členů.
Spočítejme opravu energie prvního stavu v druhém řádu
\[E_{1}^{(2)}=\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{5\epsilon−2\epsilon}+\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{5\epsilon−(−1\epsilon)}=\] \[=\frac{1}{3\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right|^2+\frac{1}{6\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2c \end{pmatrix}\right|^2=\frac{\left|c\right|^2}{3\epsilon}+\frac{0}{6\epsilon}=\frac{\left|c\right|^2}{3\epsilon}.\]
A podobně pro druhý stav
\[E_{2}^{(2)}=\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{2\epsilon−5\epsilon}+\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{2\epsilon−(−1\epsilon)}=\] \[=\frac{1}{−3\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 0&1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ c\\ 0 \end{pmatrix}\right|^2+\frac{1}{3\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2c \end{pmatrix}\right|^2=\frac{\left|c\right|^2}{−3\epsilon}+\frac{0}{3\epsilon}=−\frac{\left|c\right|^2}{3\epsilon}.\]
A pro třetí stav
\[E_{3}^{(2)}=\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{−1\epsilon−5\epsilon}+\frac{\left|\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle\right|^2}{−1\epsilon−2\epsilon}=\] \[=\frac{1}{−6\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ c\\ 0 \end{pmatrix}\right|^2+\frac{1}{−3\epsilon}\left|\begin{pmatrix} 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right|^2=\frac{0}{−6\epsilon}+\frac{0}{−3\epsilon}=0.\]
Řešení c)
Nyní vypočítáme opravu prvního řádu vlnových funkcí. Dosadíme příslušné hodnoty do výrazu pro opravu vlnové funkce k n-tému stavu
\[\psi_{n}^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}^{}{\frac{\left\langle\psi_{k}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{n}^{(0)}\right\rangle}{E_{n}^{(0)}−E_{k}^{(0)}}\psi_{k}^{(0)}}.\] Stejně jako v předchozím oddíle, při výpočtu opravy energie v 2. řádu, i zde sčítáme přes stavy různé od stavu opravovaného, a tedy suma představuje součet dvou členů.
Pro první stav dostaneme
\[\psi_{1}^{(1)}=\frac{\left\langle\psi_{2}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{1}^{(0)}\right\rangle}{E_{1}^{(0)}−E_{2}^{(0)}}\psi_{2}^{(0)}+\frac{\left\langle\psi_{3}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{1}^{(0)}\right\rangle}{E_{1}^{(0)}−E_{3}^{(0)}}\psi_{3}^{(0)}=\] \[=\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle}{5\epsilon−2\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle}{5\epsilon−(−1\epsilon)}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\begin{pmatrix} 0&1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ c\\ 0 \end{pmatrix}}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\begin{pmatrix} 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ c\\ 0 \end{pmatrix}}{6\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{0}{6\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}.\]
Obdobně spočítáme opravu druhého stavu
\[\psi_{2}^{(1)}=\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle}{2\epsilon−5\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right\rangle}{2\epsilon−(−1\epsilon)}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}}{−3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\begin{pmatrix} 0&0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=−\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}=\frac{c}{−3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{0}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=−\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.\]
A třetího stavu
\[\psi_{3}^{(1)}=\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle}{−1\epsilon−5\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\left\langle\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle}{−1\epsilon−2\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\begin{pmatrix} 1&0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2c \end{pmatrix}}{−6\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{\begin{pmatrix} 0&1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2c \end{pmatrix}}{−3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=\frac{0}{−6\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{0}{−3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.\]
Vidíme, že oprava třetího stavu je v prvním řádu nulová.
Řešení d)
Nyní vypočítáme přesné řešení – pomocí metod lineární algebry najdeme vlastní čísla (povelené energie) a v následujícím oddílu i vlastní vektory (stavy). Výsledné energie rozvineme pomocí Taylorova rozvoje do mocnin \(c\).
Vyjdeme ze stacionární Schrödingerovy rovnice
\[(\hat{H}_{0}+\hat{V})\psi=E\psi,\] \[\hat{H}_{0}+\hat{V}=\begin{pmatrix} 5\epsilon& c& 0\\ c& 2\epsilon& 0\\ 0& 0& -1\epsilon+2c \end{pmatrix}.\]Od této matice odečteme jednotkovou matici přenásobenou \(E\), vypočítáme determinant výsledné matice a položíme ho roven nule
\[\begin{vmatrix} 5\epsilon-E& c& 0\\ c& 2\epsilon-E& 0\\ 0& 0& -1\epsilon+2c-E \end{vmatrix}=(5\epsilon-E)(2\epsilon-E)(-1\epsilon+2c-E)-c^2(-1\epsilon+2c-E)=\] \[=(-1\epsilon+2c-E)[(5\epsilon-E)(2\epsilon-E)-c^2]=(-1\epsilon+2c-E)(10\epsilon^2-7\epsilon E+E^2-c^2)=0.\]Z poslední rovnosti určíme přesné hodnoty \(E\)
\[E_{1}=\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right),\] \[E_{2}=\frac{1}{2}\left(7\epsilon-\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right),\] \[E_{3}=-1\epsilon+2c.\]Získaná přesná řešení rozvineme do řady za předpokladu, že \(c\ll\epsilon\)
\[E_{1}=\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)\doteq\frac{\epsilon}{2}\left(7+3+3\frac{2|c|^2}{9\epsilon^2}\right)=5\epsilon+\frac{|c|^2}{3\epsilon},\] \[E_{2}=\frac{1}{2}\left(7\epsilon-\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)\doteq\frac{\epsilon}{2}\left(7-3-3\frac{2|c|^2}{9\epsilon^2}\right)=2\epsilon-\frac{|c|^2}{3\epsilon},\] \[E_{3}=-1\epsilon+2c.\]První členy rozvojů se shodují s příslušnými opravami energií spočítanými pomocí poruchové teorie.
To, že jsme u třetího stavu dostali přesnou hodnotu energie již v prvním řádu opravy, vyplývá z tvaru poruchy. Porucha k energii třetího stavu „přičte“ potenciální energii \(2c\), ale nijak stav nemění (viz první oprava vlnové funkce v předchozím oddílu).
Řešení e)
Nyní nalezneme přesné tvary porušených vlnových funkcí, tedy vlastní vektory matice \[\begin{pmatrix} 5\epsilon−\lambda& c& 0\\ c& 2\epsilon−\lambda& 0\\ 0& 0& −1\epsilon+2c−\lambda \end{pmatrix},\]
pro všechna její vlastní čísla.
Jako první nalezněme vlastní vektor pro vlastní číslo \(\lambda=−1\epsilon+2c\), jedná se o stav \(\psi_3=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\)
\[\begin{pmatrix} 5\epsilon+1\epsilon−2c& c& 0\\ c& 2\epsilon+1\epsilon−2c& 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\vec{o},\] což dává soustavu rovnic \[(6\epsilon−2c)x+cy=0, \] \[cx+(3\epsilon−2c)y=0,\] jejíž řešení je \(x=0\) a \(y=0\).Vlastní vektor má tedy tvar \[\psi_{3}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\] což se shoduje s neporušenou vlnovou funkcí \(\psi_3^{(0)}\).
Podobně vyřešíme i pro ostatní vlastní čísla. Tedy nejprve pro \(\lambda=\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)\), jedná se o stav \(\psi_1=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\) \[\begin{pmatrix} 5\epsilon−\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)& c& 0\\ c& 2\epsilon−\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)& 0\\ 0& 0& −1\epsilon+2c−\frac{1}{2}\left(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\vec{o}\] a dostaneme soustavu rovnic \[\left(3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)x+2cy=0\] \[2cx+\left(−3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)y=0\] \[z=0.\]
První dvě rovnice jsou navzájem lineárně závislé, proto zvolíme \(x\) jako proměnný parametr. Z toho již snadno spočteme
\[\psi_{1}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ \frac{2c}{3\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}\\ 0 \end{pmatrix}.\]A pro poslední vlastní číslo \(\lambda=\frac{1}{2}\left(7\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)\) dostáváme zcela obdobně
\[\begin{pmatrix} 5\epsilon−\frac{1}{2}\left(7\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)& c& 0\\ c& 2\epsilon−\frac{1}{2}\left(7\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right)& 0\\ 0& 0& −1\epsilon+2c−\frac{1}{2}\left(7\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}\right) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\vec{o}\] a soustavu rovnic \[\left[\frac{3\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{2}\right]x+cy=0\] \[cx+\left[\frac{−3\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{2}\right]y=0\] \[z=0.\] Protože teď počítáme vlnovou funkci \(\psi_2\) zvolíme jako parametr \(y\).Z toho
\[\psi_{2}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{2c}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}.\]Získaná přesná řešení rozvineme do řady za předpokladu, že \(c\ll\epsilon\)
\[\psi_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ \frac{2c}{3\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ \frac{3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{−2c} \\ 0 \end{pmatrix}\doteq\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ \frac{3\epsilon−3\epsilon−\frac{2c^2}{3\epsilon}}{−2c} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\] \[\psi_{2}=\begin{pmatrix} \frac{3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{2c}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\doteq\begin{pmatrix} \frac{3\epsilon−3\epsilon−\frac{2c^2}{3\epsilon}}{2c}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}−\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\] \[\psi_{3}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]První členy rozvojů se shodují s příslušnými opravami vlnových funkcí spočítanými pomocí poruchové teorie.
Jelikož kromě diagonály zústaly členy ve třetím sloupci a třetím řádku nulové, tak se vlnová funkce třetího stavu po zapnutí poruchy nemění.
Odpověď
Pro systém s hamiltoniánem \(\hat{H}_{0}\) a poruchou \(\hat{V}\) danými maticemi
\[\hat{H}_{0}=\begin{pmatrix} 5\epsilon& 0& 0\\ 0& 2\epsilon& 0\\ 0& 0& -1\epsilon \end{pmatrix},\,\,\,\, \hat{V}=\begin{pmatrix} 0& c& 0\\ c& 0& 0\\ 0& 0& 2c \end{pmatrix},\]jsou neporušené vlastní funkce doplněné o korekci vlnové funkce prvního řádu a neporušené energie doplněné o korekce prvního a druhého řádu:
\[\psi_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\quad E_{1}=5\epsilon + 0 + \frac{\left|c\right|^2}{3\epsilon},\] \[\psi_{2}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}−\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\quad E_{2}=2\epsilon + 0 −\frac{\left|c\right|^2}{3\epsilon},\] \[\psi_{3}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\quad E_{3}=−1\epsilon+2c+0.\]Přesné hodnoty energií a jejich rozvoje pro \(c\ll\epsilon\) do druhého řádu jsou
\[E_{1}=\frac{1}{2}(7\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2})\doteq5\epsilon+\frac{|c|^2}{3\epsilon},\] \[E_{2}=\frac{1}{2}(7\epsilon-\sqrt{4c^2+9\epsilon^2})\doteq2\epsilon-\frac{|c|^2}{3\epsilon},\] \[E_{3}=-1\epsilon+2c.\]První členy rozvojů se shodují s příslušnými opravami energií spočítanými pomocí poruchové teorie.
Přesné tvary vlastních vlnových funkcí a jejich rozvoje pro \(c\ll\epsilon\) do druhého řádu jsou
\[\psi_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ \frac{2c}{3\epsilon+\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}\\ 0 \end{pmatrix}\doteq\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\] \[\psi_{2}=\begin{pmatrix} \frac{3\epsilon−\sqrt{4c^2+9\epsilon^2}}{2c}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\doteq\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}−\frac{c}{3\epsilon}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\] \[\psi_{3}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]První členy rozvojů se také shodují s příslušnými opravami vlnových funkcí spočítanými pomocí poruchové teorie.
