Diskrétní spektrum

Úloha číslo: 709

Uvažujte elektron v potenciálové jámě hloubky V0 = 1,25 eV a šířky L = 14,5 nm.

Potenciálová jáma konečné hloubky

a) Určete počet diskrétních energetických hladin pro tento případ.

b) Určete přibližně dvě nejnižší hladiny energie.

  • Nápověda

    Stacionární Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci ψ popisující stav částice o hmotnosti m a energii E má tvar

    \[\frac{\mbox{d}^2 \psi}{\mbox{d}x^2}\,+\,\frac{2m(E-V(x))}{\hbar^2}\,\psi=0\,.\]

    Vzhledem k průběhu potenciálu je v tomto případě vhodné přepsat si tuto rovnici zvlášť pro tři oblasti tak, jak je znázorněno v následujícím obrázku.

    Rozdělení na tři oblasti

    Vlnová funkce musí být v bodech x = ± L/2 (tj. v místech s konečnou nespojitostí potenciálu) spojitá a mít v nich spojitou první derivaci. Je nutno splnit tzv. sešívací podmínky:

    \[\psi_I\left(-L/2\right)=\psi_{II}\left(-L/2\right)\,,\] \[\psi_{II}\left(L/2\right)=\psi_{III}\left(L/2\right)\,,\] \[\frac{\mbox{d}\psi_I}{\mbox{d}x}\left(-L/2\right)=\frac{\mbox{d}\psi_{II}}{\mbox{d}x}\left(-L/2\right)\,,\] \[\frac{\mbox{d}\psi_{II}}{\mbox{d}x}\left(L/2\right)=\frac{\mbox{d}\psi_{III}}{\mbox{d}x}\left(L/2\right)\,.\]

    Splněny musí být také okrajové podmínky:

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}\psi_I(x)=0\ \ \mbox{a}\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\psi_{III}(x)=0\,.\]
  • Obecné řešení

    Obecné řešení provedeme ve čtyřech krocích. Nejprve vyřešíme Schrödingerovu rovnici pro danou situaci postupně v oblastech I, II a III. Ze symetrie problému vzhledem k bodu x = 0 vyplývá i určitá symetrie vlastních funkcí hamiltoniánu. Postupně tedy budeme diskutovat sudé a následně liché vlastní funkce. V závěru obecného řešení shrneme vlastní čísla příslušná sudým i lichým vlastním funkcím a provedeme krátkou diskusi o diskrétním energetickém spektru pro danou situaci.

  • Řešení a)

    Počet diskrétních energetických hladin N je dán vztahem (viz obecné řešení výše)

    \[(N-1)\pi\,<\,\sqrt{\frac{2mV_0 L^2}{\hbar^2}}\,<\,N\pi\,,\]

    neboli

    \[N-1\,<\,\frac{L\sqrt{2mV_0} }{\pi\hbar}\,<\,N\,.\]

    Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme

    \[\frac{L\sqrt{2mV_0} }{\pi\hbar}=\frac{14{,}5\,\cdot\,10^{-9}\,\sqrt{2\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,20^{-31}\,\cdot\,1{,}25\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-19}}}{\pi\,\cdot\,1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}\,\dot{=}\, 26{,}4\,.\]

    Bude tedy N = 27.

  • Řešení b)

    Pro přesné určení dvou nejnižších hladin diskrétního energetického spektra bychom museli vyřešit transcendentní rovnice, tj. využít pomoci některého výpočetního matematického programu. Zjistili jsme ale, že v daném případě se v jámě nachází 27 vázaných stavů, což je relativně hodně, a proto první dva průsečíky (viz grafy uvedené v předcházejících sekcích řešení) se zleva dosti blíží bodům, pro které platí kL = π, resp. kL = 2π.

    Hledané hladiny se proto budou blížit energiím

    \[E_1 = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{L}\right)^2=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\]

    a

    \[E_2 = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2=\frac{2\hbar^2 \pi^2}{mL^2}\,,\]

    v nichž poznáváme hladiny energie pro částici o hmotnosti m v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L (viz úloha Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky).

  • Odpovědi

    a) Pro elektron v potenciálové jámě hloubky V0 = 1,25 eV a šířky L = 14,5 nm existuje 27 diskrétních energetických hladin.

    b) Hladiny energie prvních dvou vázaných stavů se zdola blíží energiím

        \(E_1 =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\,\dot{=}\, 1{,}8\ \mbox{meV}\) a \(E_2 =\frac{2\hbar^2 \pi^2}{mL^2}\,\dot{=}\, 7{,}2\ \mbox{meV}.\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze