Komutátory operátorů souřadnice a hybnosti v jednom rozměru

Úloha číslo: 725

Zaveďme operátor souřadnice \(\hat x =x\) a operátor hybnosti \(\hat {p} = - i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\). Spočtěte následující komutátory

a) \(\left[\hat x,\hat {p} \right]\),

b) \(\left[{\hat x}^n, \hat {p} \right]\),

c) \(\left[\hat x, {\hat {p}}^n \right]\).

  • Nápověda – definice komutátoru

    Komutátor dvou operátorů je definován

    \[\left[\hat A,\hat B \right] = \hat A\hat B - \hat B\hat A\,.\]

    Z definice je patrné, že komutátor je operátor.

  • Nápověda

    Operátor působí na nějakou funkci a jeho výsledkem je jiná funkce. Například výsledkem působení operátoru souřadnice \(\hat x\) je funkce vynásobená souřadnici x. Operátor hybnosti nejprve zadanou funkci zderivuje a potom vynásobí konstantou \(-i \hbar\).

    Komutátor je také operátor.

    Pokud nemáte dost zkušeností s výpočty s operátory a komutátory, doporučuje se si za zadaný výraz připsat libovolnou funkci f, výraz upravit a potom přepsat opět bez této funkce jako operátorovou rovnost.

  • Řešení a)

    Označme \(\hat K = \left[\hat x,\hat {p} \right]\). Potom podle definice komutátoru platí

    \[\hat K f = x \left( -i\hbar {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} \right) + i\hbar {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( xf \right) = \]

    provedeme derivaci v druhém členu a upravíme

    \[= -i\hbar x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + i\hbar f + i\hbar x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( f \right)=i\hbar f,\]

    z čehož vyplývá operátorová rovnost

    \[\hat K = \left[\hat x,\hat {p}\right] = i\hbar \,.\]
  • Nápověda pro úkoly b) a c)

    Využijte opakovaně vzorec pro rozklad komutátoru se složeným operátorem na jednodušší komutátory, který byl odvozen v úloze Komutátory složených operátorů. Potom využijte výsledku části a).

  • Řešení b)

    Při výpočtu využijeme vztah pro zjednodušení komutátoru se složeným operátorem (viz úloha Komutátory složených operátorů)

    \[\left[\hat A \hat B,\hat C \right] = \hat A \left[\hat B,\hat C \right] + \left[\hat A,\hat C \right] \hat B\,.\]

    Postupnými úpravami dostáváme

    \[\left[{\hat x}^n, \hat {p} \right] = \left[\hat x\,{\hat x}^{n-1}, \hat {p} \right] = \hat x\left[{\hat x}^{n-1}, \hat {p} \right] + \left[\hat x, \hat {p} \right] {\hat x}^{n-1} =\]

    stejný krok provedeme ještě jednou v prvním komutátoru a do druhého členu dosadíme výsledek úkolu a) této úlohy

    \[ = \hat x\left[\hat x\,{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + i\hbar {\hat x}^{n-1} = \hat x \left( \hat x \left[{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + \left[\hat x, \hat {p} \right] {\hat x}^{n-2} \right) + i\hbar {\hat x}^{n-1} = {\hat x}^2 \left[{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + 2i\hbar {\hat x}^{n-1} = \]

    a podobně budeme postupovat až do okamžiku, kdy v komutátoru zbyde pouze \(\hat x\). Provedeme celkem n kroků, tj. získáme n členů a výsledek is dosazením konkétního tvaru operátoru souřadnice \(\hat x\) je:

    \[ = n \,i \hbar \,x^{n-1}\,.\]

     

    Pokud bychom průběžne nedosazovali hodnotu komutátoru \(\left[\hat x, \hat {p} \right]= i\hbar\), mohli bychom výsledek zapsat pomocí sumy:

    \[ \left[{\hat x}^n, \hat {p} \right] = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {\hat x}^{n-1-i} \, \left[ \hat x, \hat {p}_x \right] \, {\hat x}^{i}=\]

    a po dosazení hodnoty komutátoru

    \[ = \sum\limits_{i=0}^{n-1} i \hbar \,{\hat x}^{n-1} = n \,i \hbar \,x^{n-1}\,.\]
  • Řešení c)

    Tento úkol je obdobný úkolu v části b). Proto uvedeme výpočet již stručněji:

    \[\left[\hat x, {\hat {p}}^n \right] = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {\hat {p}_{\mathrm{x}}}^{n-1-i} \, \left[ \hat x, \hat {p} \right] \, {\hat {p}}^{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} i \hbar \,{\hat {p}}^{n-1} = n \, i \hbar \hat {p}^{n-1} = \]

    kam ještě můžeme dosadit konkrétní tvar operátoru hybnosti \(\hat p\):

    \[= n \, i \hbar \, \left( -i \hbar \right)^{n-1} {\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}} = (-1)^{n-1} \,n \,(i \hbar)^n \,{\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}}\,.\]
  • Odpověď

    a) \(\left[\hat x,\hat {p}_x \right] = i\hbar\)

    b) \(\left[{\hat x}^n, \hat {p}_x \right] = n \,i \hbar \,x^{n-1}\)

    c) \(\left[\hat x, {\hat {p}_x}^n \right] = (-1)^{n-1} \,n \,(i \hbar)^n \,{\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}}\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze