Sbírka řešených úloh

Komutátory operátorů souřadnice a hybnosti v jednom rozměru

Úloha číslo: 725

• Nápověda – definice komutátoru

  Komutátor dvou operátorů je definován

  \[\left[\hat A,\hat B \right] = \hat A\hat B - \hat B\hat A\,.\]

  Z definice je patrné, že komutátor je operátor.

• Nápověda

  Operátor působí na nějakou funkci a jeho výsledkem je jiná funkce. Například výsledkem působení operátoru souřadnice \(\hat x\) je funkce vynásobená souřadnici x. Operátor hybnosti nejprve zadanou funkci zderivuje a potom vynásobí konstantou \(-i \hbar\).

  Komutátor je také operátor.

  Pokud nemáte dost zkušeností s výpočty s operátory a komutátory, doporučuje se si za zadaný výraz připsat libovolnou funkci f, výraz upravit a potom přepsat opět bez této funkce jako operátorovou rovnost.

• Řešení a)

  Označme \(\hat K = \left[\hat x,\hat {p} \right]\). Potom podle definice komutátoru platí

  \[\hat K f = x \left( -i\hbar {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} \right) + i\hbar {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( xf \right) = \]

  provedeme derivaci v druhém členu a upravíme

  \[= -i\hbar x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + i\hbar f + i\hbar x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( f \right)=i\hbar f,\]

  z čehož vyplývá operátorová rovnost

  \[\hat K = \left[\hat x,\hat {p}\right] = i\hbar \,.\]

• Nápověda pro úkoly b) a c)

  Využijte opakovaně vzorec pro rozklad komutátoru se složeným operátorem na jednodušší komutátory, který byl odvozen v úloze Komutátory složených operátorů. Potom využijte výsledku části a).

• Řešení b)

  Při výpočtu využijeme vztah pro zjednodušení komutátoru se složeným operátorem (viz úloha Komutátory složených operátorů)

  \[\left[\hat A \hat B,\hat C \right] = \hat A \left[\hat B,\hat C \right] + \left[\hat A,\hat C \right] \hat B\,.\]

  Postupnými úpravami dostáváme

  \[\left[{\hat x}^n, \hat {p} \right] = \left[\hat x\,{\hat x}^{n-1}, \hat {p} \right] = \hat x\left[{\hat x}^{n-1}, \hat {p} \right] + \left[\hat x, \hat {p} \right] {\hat x}^{n-1} =\]

  stejný krok provedeme ještě jednou v prvním komutátoru a do druhého členu dosadíme výsledek úkolu a) této úlohy

  \[ = \hat x\left[\hat x\,{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + i\hbar {\hat x}^{n-1} = \hat x \left( \hat x \left[{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + \left[\hat x, \hat {p} \right] {\hat x}^{n-2} \right) + i\hbar {\hat x}^{n-1} = {\hat x}^2 \left[{\hat x}^{n-2}, \hat {p} \right] + 2i\hbar {\hat x}^{n-1} = \]

  a podobně budeme postupovat až do okamžiku, kdy v komutátoru zbyde pouze \(\hat x\). Provedeme celkem n kroků, tj. získáme n členů a výsledek is dosazením konkétního tvaru operátoru souřadnice \(\hat x\) je:

  \[ = n \,i \hbar \,x^{n-1}\,.\]

   

  Pokud bychom průběžne nedosazovali hodnotu komutátoru \(\left[\hat x, \hat {p} \right]= i\hbar\), mohli bychom výsledek zapsat pomocí sumy:

  \[ \left[{\hat x}^n, \hat {p} \right] = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {\hat x}^{n-1-i} \, \left[ \hat x, \hat {p}_x \right] \, {\hat x}^{i}=\]

  a po dosazení hodnoty komutátoru

  \[ = \sum\limits_{i=0}^{n-1} i \hbar \,{\hat x}^{n-1} = n \,i \hbar \,x^{n-1}\,.\]

• Řešení c)

  Tento úkol je obdobný úkolu v části b). Proto uvedeme výpočet již stručněji:

  \[\left[\hat x, {\hat {p}}^n \right] = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {\hat {p}_{\mathrm{x}}}^{n-1-i} \, \left[ \hat x, \hat {p} \right] \, {\hat {p}}^{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} i \hbar \,{\hat {p}}^{n-1} = n \, i \hbar \hat {p}^{n-1} = \]

  kam ještě můžeme dosadit konkrétní tvar operátoru hybnosti \(\hat p\):

  \[= n \, i \hbar \, \left( -i \hbar \right)^{n-1} {\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}} = (-1)^{n-1} \,n \,(i \hbar)^n \,{\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}}\,.\]

• Odpověď

  a) \(\left[\hat x,\hat {p}_x \right] = i\hbar\)

  b) \(\left[{\hat x}^n, \hat {p}_x \right] = n \,i \hbar \,x^{n-1}\)

  c) \(\left[\hat x, {\hat {p}_x}^n \right] = (-1)^{n-1} \,n \,(i \hbar)^n \,{\mathrm{d}^{n-1} \over \mathrm{d} x^{n-1}}\)