Oprava základního stavu vodíku pro konečně velké jádro
Úloha číslo: 2299
Uvažujme, že proton je homogenně nabitá koule s poloměrem \(R\approx10^{-15}\,\mathrm{m}\). Vypočítejte opravu energie základního stavu atomu vodíku v prvním řádu poruchové teorie.
Nápověda 1
Připomeňte si princip poruchové metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Poruchová metoda v maticovém formalismu, Nápověda 1 – Princip stacionární poruchové metody na její stručné zopakování.
Nápověda 2
Vyhledejte nebo odvoďte výraz pro první opravu energie n-tého stavu \(E_{n}^{(1)}\), pokud uvažujeme malou poruchu \(\hat{V}.\)
Nápověda 3
Vlnová funkce základního stavu atomu vodíku je
\[\psi_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}},\]kde \(a\doteq 0{,}5·10^{-10}\,\mathrm{m}\) je Bohrův poloměr atomu.
Nápověda 4
Potenciál vně homogenně nabité koule s poloměrem \(R\) a celkovým nábojem \(Q\) ve vzdálenosti \(r\) od středu koule je
\[\varphi(r)=k\frac{Q}{r},\]kde \(k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\).
Potenciál uvnitř této koule ve vzdálenosti \(r\) od středu koule je
\[\varphi(r)=k\frac{Q}{2R}\left(3−\frac{r^2}{R^2}\right).\]Pro odvození můžete nahlédnout do úlohy Pole rovnoměrně nabité koule.
Řešení
Potenciální energie elektronu s nábojem \(−e\) v elektrickém poli protonu jako homogenně nabité koule s celkovým nábojem \(e\) a poloměrem \(R\) je rovna
\[E_p(r)=\left\{\begin{matrix} k\frac{e^2}{2R}\left(\frac{r^2}{R^2}−3\right),\,\,& 0\leq r\leq R, \\ −k\frac{e^2}{r},\, & R\leq r\leq \infty. \end{matrix}\right.\]Rozdíl mezi touto potenciální energií a potenciální energií elektronu v poli protonu jako bodového náboje \(−k\frac{e^2}{r}\) (pro kterou jsou vypočteny stacionární vlnové funkce atomu vodíku) je naše uvažovaná porucha \(\hat{V}\)
\[\hat{V}=\left\{\begin{matrix} k\frac{e^2}{2R}\left(\frac{r^2}{R^2}+\frac{2R}{r}−3\right),\, & 0\leq r\leq R, \\ 0,\, & R\leq r\leq \infty. \end{matrix}\right.\]Dosaďme nyní do výrazu pro opravu energie v prvním řádu
\[E_{n}^{(1)}=\left\langle\psi_{n}^{(0)}\Bigg|\hat{V}\psi_{n}^{(0)}\right\rangle=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\infty} {\psi_{n}^{(0)*}\hat{V}\psi_{n}^{(0)}}r^2\mathrm{sin}\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\]
tvar vlnové funkce základního stavu vodíku (což je neporušené vlnová funkce)
\[\psi_{100}^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}},\] \[E_{1}^{(1)}=\frac{1}{\pi a^3}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\infty} \hat{V}e^{−\frac{2r}{a}}r^2\mathrm{sin}\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi=\] \[=\frac{1}{\pi a^3}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_{0}^{\pi}\mathrm{sin}\theta\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{R} k\frac{e^2}{2R}\left(\frac{r^2}{R^2}+\frac{2R}{r}−3\right)e^{−\frac{2r}{a}}r^2\,\mathrm{d}r.\]Uvažujeme-li \(R\ll a\), tedy \(\frac{2R}{a}\ll 1\), pak exponenciálu aproximujeme 1 a integrál spočítáme \[E_{1}^{(1)}\doteq k\frac{e^2}{2R}\frac{4}{ a^3}\left[\frac{r^5}{5R^2}+{Rr^2}−r^3\right]_0^R,\] dosadíme meze
\[E_{1}^{(1)}\doteq k\frac{e^2}{R}\frac{2}{ a^3}\left[\frac{r^5}{5R^2}+{Rr^2}−r^3\right]_0^R=k\frac{2e^2R^2}{5a^3}.\]Toto je hodnota, o kterou se posune energetická hladina základního stavu atomu vodíku.
Odpověď
Uvažujeme-li proton jako homogenně nabitou kouli s poloměrem \(R\approx 10^{−15}\,\mathrm{m}\), pak oprava energie základního stavu vodíku v prvním řádu poruchové teorie je
\[E_{1}^{(1)}\doteq k\frac{2e^2R^2}{5a^3}.\]Komentář – číselné dosazení
Do výrazu \(E_{1}^{(1)}\doteq k\frac{2e^2R^2}{5a^3}\) dosadíme hodnoty:
- Coulombova konstanta \(k\doteq9·10^{9}\,\mathrm{N·m^2·C^{−2}}\),
- elementární náboj \(e\doteq1{,}6·10^{−19}\,\mathrm{C}\),
- poloměr protonu \(R\approx 10^{−15}\,\mathrm{m}\),
- Bohrův poloměr atomu \(a\doteq0{,}5·10^{−10}\,\mathrm{m}\).
Tedy
\[E_{1}^{(1)}\doteq9·10^{9}\,\mathrm{N·m^2·C^{−2}}\frac{2\cdot(1{,}6·10^{−19}\mathrm{C})^2\cdot(10^{−15}\,\mathrm{m})^2}{5\cdot(0{,}5·10^{−10}\,\mathrm{m})^3}\doteq 7{,}4·10^{−28}\,\mathrm{J}\doteq4{,}9·10^{−9}\,\mathrm{eV}.\]Tato hodnota je oproti energii základního stavu vodíku \(E=−13{,}6\,\mathrm{eV}\) při běžné přesnosti měření zanedbatelná. V extrémně přesných měřeních testujících kvantovou elektrodynamiku se tato korekce již zanedbat nedá.
Komentář – atomy s protonovým číslem Z
Výpočet pro atom s protonovým číslem \(Z\) by byl analogický. Rozdíly nastanou ve vlnové funkci základního stavu elektronu, která má nyní tvar
\[\psi_{100}^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(\frac{Z}{a}\right)^\frac{3}{2}e^{−\frac{Zr}{a}},\]a ve výrazu pro poruchu, která má nyní tvar
\[\hat{V}=\left\{\begin{matrix} k\frac{Ze^2}{2R}\left(\frac{r^2}{R^2}+\frac{2R}{r}−3\right),\, & 0\leq r\leq R, \\ 0,\, & R\leq r\leq \infty. \end{matrix}\right.\]Díky tomu je hodnota, o kterou se posune energetická hladina základního stavu atomu s protonovým číslem \(Z\), rovna
\[E_{1}^{(1)}\doteq k\frac{2e^2R^2}{5a^3}Z^4.\]Pro poloměr jádra \(R\) atomu platí přibližná rovnost
\[R\doteq A^\frac{1}{3}1{,}3·10^{−15}\,\mathrm{m},\]kde \(A\) je atomové číslo. Pro lehké a středně težké atomy navíc platí rovnost
\[Z=\frac{A}{2}.\]
Např. pro neon \((Z=10)\) je posun energetické hladiny základního stavu stodvacetticískrát výraznější, než-li u vodíku, ale při obyčejné přesnosti měření je stále zanedbatelný.
