Sbírka řešených úloh

Obecný spinový stav

Úloha číslo: 2286

• Nápověda 1

  Vyhledejte tvary matic průmětu spinu $\frac{1}{2}$ do osy $x$, $y$ a $z$ a odvoďte nebo vyhledejte jejich vlastní čísla a příslušné vlastní vektory.

• Řešení nápovědy 1

  Operátor průmětu spinu $\frac{1}{2}$ do směru os $x$, $y$, $z$ má tvar

  $$\hat{\vec{S}}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right).$$

  Vlastní čísla jednotlivých matic jsou $\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2}$ a příslušné vlastní vektory jsou

  $$|x+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix},\, |x−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix},$$ $$|y+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix},\, |y−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix},$$ $$|z+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\, |z−\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

• Nápověda 2

  Vyhledejte výraz pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny $F$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$.

• Řešení nápovědy 2

  Střední hodnota fyzikální veličiny $F$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$ je

  $$\left\langle F\right\rangle_{\psi}=\frac{\left\langle\psi| \hat{F}\psi\right\rangle}{\left\langle \psi|\psi\right\rangle},$$

  kde $\hat{F}$ je operátor příslušné fyzikální veličiny.

• Nápověda 3

  Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru $\hat{F}$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$.

• Řešení nápovědy 3

  Je-li stav popsán normovanou vlnovou funkcí $\psi$, kterou rozložíme na lineární kombinaci navzájem kolmých a normovaných vlastních vlnových funkcí $\psi_i$ operátoru $\hat{F}$, tj.

  $$\psi=\sum_{i}c_i\psi_i,$$

  tak pravděpodobnost $P_{\lambda_i}$ naměření vlastního čísla $\lambda_i$ (příslušný vlastní stav je popsán vlnovou funkcí $\psi_i$) je roven

  $$P_{\lambda_i}=|c_i|^2.$$

• Nápověda 4

  Skalární součin v maticovém formalismu se počítá stejně, jako klasický skalární součin

  $$\left\langle\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\mbox{*}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=a\mbox{*}x+b\mbox{*}y,$$

  kdy je nutné dbát na komplexní sdružení prvního vektoru.

• Nápověda 5

  Pokud máme nalézt rozklad nějakého obecného stavu popsaného spinorem $\psi$ do lineární kombinace vektorů ortonormální báze $|n_i\rangle$, pak koeficienty $c_i$ tohoto rozkladu se rovnají skalárnímu součinu

  $$c_i=\langle n_i|\psi\rangle.$$

• Řešení

  Nejprve najdeme normovaný tvar zadaného spinoru popisujícího stav částice:

  $$\psi_n=\frac{\psi}{\sqrt{\left\langle\psi|\psi\right\rangle}}=\frac{\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}{\sqrt{\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}.$$

  Uvažovaný stav rozepíšeme do lineární kombinace vlastních stavů operátoru průmětu spinu $\frac{1}{2}$ do směru os $x$, $y$ a $z$. Přehled operátorů, jejich vlastních čísel a vektorů najdete v řešení nápovědy 1.

  Nejprve proveďme výpočet pro směr osy $z$

  $$\psi_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|z+\rangle+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|z−\rangle.$$

  Protože rozklad do vlastních stavů operátoru $\hat{S}_x$ a $\hat{S}_y$ není vidět na první pohled, využijeme při výpočtu koeficientů skalární součin. Je-li první člen součinu komplexní, nesmíme zapomenout ho komplexně sdružit. Tedy

  $$\left\langle x+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\left\langle x−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ −1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\left\langle y+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\left\langle y−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}.$$

  Nyní můžeme psát

  $$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x+\rangle+\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x−\rangle,$$ $$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y+\rangle+\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y−\rangle.$$

  Jelikož máme spinor popisující stav částice před měřením rozepsaný do lineárních kombinací vlastních stavů a všechny použité spinory jsou normované, jsou pravděpodobnosti naměření vlastních hodnot průmětů spinu do směru jednotlivých os druhé mocniny velikostí příslušných koeficientů v lineární kombinaci. Tedy do směru osy $x$

  $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},$$

  do směru osy $y$

  $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},$$ $$P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},$$

  do směru $z$

  $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.$$

  Jednotlivé pravděpodobnosti v daných směrech os dají v součtu vždy jedničku.

   

  Nakonec vypočítejme střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os dle obecného vztahu

  $$\left\langle S_i\right\rangle_{\psi}=\left\langle\psi| \hat{S}_i\psi\right\rangle.$$

  Dosazením dostáváme

  $$\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b\\ a \end{pmatrix}=$$ $$=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},$$ $$\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & −i \\ i& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} −ib\\ ia \end{pmatrix}=$$ $$=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}(−iba+iab)=0,$$ $$\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}=$$ $$=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.$$

• Odpověď

  Uvažujeme-li částici se spinem $\frac{1}{2}$ ve stavu popsaném spinorem

  $$\psi=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix},$$

  kde $a$, $b$ jsou reálná čísla, pak pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot průmětu spinu $\frac{1}{2}$ do osy $x$, resp. $y$, resp. $z$ jsou

  $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},$$ $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},$$ $$P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.$$

  Střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os jsou

  $$\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},$$ $$\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=0,$$ $$\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.$$