Obecný spinový stav

Úloha číslo: 2286

Uvažujme částici se spinem \(\frac{1}{2}\)ve stavu popsaném spinorem

\[\psi=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix},\]

kde \(a\), \(b\) jsou reálná čísla. Spočítejte pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot a střední hodnotu průmětu spinu do všech tří os \(x\), \(y\), \(z\).

  • Nápověda 1

    Vyhledejte tvary matic průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(x\), \(y\) a \(z\) a odvoďte nebo vyhledejte jejich vlastní čísla a příslušné vlastní vektory.

  • Nápověda 2

    Vyhledejte výraz pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny \(F\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

  • Nápověda 3

    Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

  • Nápověda 4

    Skalární součin v maticovém formalismu se počítá stejně, jako klasický skalární součin

    \[\left\langle\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\mbox{*}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=a\mbox{*}x+b\mbox{*}y,\]

    kdy je nutné dbát na komplexní sdružení prvního vektoru.

  • Nápověda 5

    Pokud máme nalézt rozklad nějakého obecného stavu popsaného spinorem \(\psi\) do lineární kombinace vektorů ortonormální báze \(|n_i\rangle\), pak koeficienty \(c_i\) tohoto rozkladu se rovnají skalárnímu součinu

    \[c_i=\langle n_i|\psi\rangle.\]
  • Řešení

    Nejprve najdeme normovaný tvar zadaného spinoru popisujícího stav částice:

    \[\psi_n=\frac{\psi}{\sqrt{\left\langle\psi|\psi\right\rangle}}=\frac{\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}{\sqrt{\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}.\]

    Uvažovaný stav rozepíšeme do lineární kombinace vlastních stavů operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x\), \(y\) a \(z\). Přehled operátorů, jejich vlastních čísel a vektorů najdete v řešení nápovědy 1.

    Nejprve proveďme výpočet pro směr osy \(z\)

    \[\psi_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|z+\rangle+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|z−\rangle.\]

    Protože rozklad do vlastních stavů operátoru \(\hat{S}_x\) a \(\hat{S}_y\) není vidět na první pohled, využijeme při výpočtu koeficientů skalární součin. Je-li první člen součinu komplexní, nesmíme zapomenout ho komplexně sdružit. Tedy

    \[\left\langle x+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle x−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ −1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle y+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle y−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}.\]

    Nyní můžeme psát

    \[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x+\rangle+\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x−\rangle,\] \[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y+\rangle+\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y−\rangle.\]

    Jelikož máme spinor popisující stav částice před měřením rozepsaný do lineárních kombinací vlastních stavů a všechny použité spinory jsou normované, jsou pravděpodobnosti naměření vlastních hodnot průmětů spinu do směru jednotlivých os druhé mocniny velikostí příslušných koeficientů v lineární kombinaci. Tedy do směru osy \(x\)

    \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},\]

    do směru osy \(y\)

    \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},\] \[P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},\]

    do směru \(z\)

    \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.\]

    Jednotlivé pravděpodobnosti v daných směrech os dají v součtu vždy jedničku.

     

    Nakonec vypočítejme střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os dle obecného vztahu

    \[\left\langle S_i\right\rangle_{\psi}=\left\langle\psi| \hat{S}_i\psi\right\rangle.\]

    Dosazením dostáváme

    \[\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b\\ a \end{pmatrix}=\] \[=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},\] \[\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & −i \\ i& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} −ib\\ ia \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}(−iba+iab)=0,\] \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.\]
  • Odpověď

    Uvažujeme-li částici se spinem \(\frac{1}{2}\) ve stavu popsaném spinorem

    \[\psi=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix},\]

    kde \(a\), \(b\) jsou reálná čísla, pak pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(x\), resp. \(y\), resp. \(z\) jsou

    \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},\] \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},\] \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.\]

    Střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os jsou

    \[\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},\] \[\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=0,\] \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze