Sbírka řešených úloh

Obecný spinový stav

Úloha číslo: 2286

• Nápověda 1

  Vyhledejte tvary matic průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(x\), \(y\) a \(z\) a odvoďte nebo vyhledejte jejich vlastní čísla a příslušné vlastní vektory.

• Řešení nápovědy 1

  Operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x\), \(y\), \(z\) má tvar

  \[\hat{\vec{S}}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right).\]

  Vlastní čísla jednotlivých matic jsou \(\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2}\) a příslušné vlastní vektory jsou

  \[|x+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix},\, |x−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix},\] \[|y+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix},\, |y−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix},\] \[|z+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\, |z−\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2

  Vyhledejte výraz pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny \(F\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 2

  Střední hodnota fyzikální veličiny \(F\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\) je

  \[\left\langle F\right\rangle_{\psi}=\frac{\left\langle\psi| \hat{F}\psi\right\rangle}{\left\langle \psi|\psi\right\rangle},\]

  kde \(\hat{F}\) je operátor příslušné fyzikální veličiny.

• Nápověda 3

  Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 3

  Je-li stav popsán normovanou vlnovou funkcí \(\psi\), kterou rozložíme na lineární kombinaci navzájem kolmých a normovaných vlastních vlnových funkcí \(\psi_i\) operátoru \(\hat{F}\), tj.

  \[\psi=\sum_{i}c_i\psi_i,\]

  tak pravděpodobnost \(P_{\lambda_i}\) naměření vlastního čísla \(\lambda_i\) (příslušný vlastní stav je popsán vlnovou funkcí \(\psi_i\)) je roven

  \[P_{\lambda_i}=|c_i|^2.\]

• Nápověda 4

  Skalární součin v maticovém formalismu se počítá stejně, jako klasický skalární součin

  \[\left\langle\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\mbox{*}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=a\mbox{*}x+b\mbox{*}y,\]

  kdy je nutné dbát na komplexní sdružení prvního vektoru.

• Nápověda 5

  Pokud máme nalézt rozklad nějakého obecného stavu popsaného spinorem \(\psi\) do lineární kombinace vektorů ortonormální báze \(|n_i\rangle\), pak koeficienty \(c_i\) tohoto rozkladu se rovnají skalárnímu součinu

  \[c_i=\langle n_i|\psi\rangle.\]

• Řešení

  Nejprve najdeme normovaný tvar zadaného spinoru popisujícího stav částice:

  \[\psi_n=\frac{\psi}{\sqrt{\left\langle\psi|\psi\right\rangle}}=\frac{\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}{\sqrt{\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}.\]

  Uvažovaný stav rozepíšeme do lineární kombinace vlastních stavů operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x\), \(y\) a \(z\). Přehled operátorů, jejich vlastních čísel a vektorů najdete v řešení nápovědy 1.

  Nejprve proveďme výpočet pro směr osy \(z\)

  \[\psi_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|z+\rangle+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|z−\rangle.\]

  Protože rozklad do vlastních stavů operátoru \(\hat{S}_x\) a \(\hat{S}_y\) není vidět na první pohled, využijeme při výpočtu koeficientů skalární součin. Je-li první člen součinu komplexní, nesmíme zapomenout ho komplexně sdružit. Tedy

  \[\left\langle x+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle x−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ −1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle y+\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}},\] \[\left\langle y−\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}.\]

  Nyní můžeme psát

  \[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x+\rangle+\frac{a−b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|x−\rangle,\] \[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y+\rangle+\frac{−ia+b}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}|y−\rangle.\]

  Jelikož máme spinor popisující stav částice před měřením rozepsaný do lineárních kombinací vlastních stavů a všechny použité spinory jsou normované, jsou pravděpodobnosti naměření vlastních hodnot průmětů spinu do směru jednotlivých os druhé mocniny velikostí příslušných koeficientů v lineární kombinaci. Tedy do směru osy \(x\)

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},\]

  do směru osy \(y\)

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},\] \[P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{a+ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}\frac{a−ib}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2},\]

  do směru \(z\)

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\qquad P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.\]

  Jednotlivé pravděpodobnosti v daných směrech os dají v součtu vždy jedničku.

   

  Nakonec vypočítejme střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os dle obecného vztahu

  \[\left\langle S_i\right\rangle_{\psi}=\left\langle\psi| \hat{S}_i\psi\right\rangle.\]

  Dosazením dostáváme

  \[\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b\\ a \end{pmatrix}=\] \[=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},\] \[\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & −i \\ i& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} −ib\\ ia \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}(−iba+iab)=0,\] \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\left\langle\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\Bigg|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}\right\rangle=\frac{\hbar}{2(a^2+b^2)}\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ −b \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.\]

• Odpověď

  Uvažujeme-li částici se spinem \(\frac{1}{2}\) ve stavu popsaném spinorem

  \[\psi=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix},\]

  kde \(a\), \(b\) jsou reálná čísla, pak pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(x\), resp. \(y\), resp. \(z\) jsou

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(x)}=\frac{(a−b)^2}{2(a^2+b^2)},\] \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(y)}=\frac{1}{2},\] \[P_{\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{a^2}{a^2+b^2},\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}^{(z)}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.\]

  Střední hodnoty průmětu spinu do jednotlivých směrů os jsou

  \[\left\langle S_x\right\rangle_{\psi}=\frac{ab\hbar}{a^2+b^2},\] \[\left\langle S_y\right\rangle_{\psi}=0,\] \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\frac{\hbar}{2}\frac{a^2−b^2}{a^2+b^2}.\]