Komutátory se složkou momentu hybnosti
Úloha číslo: 4334
S využitím kanonické komutační relace vypočtěte následující komutátory
|
a) \(\left [\hat L_z, \hat x \right]\) |
b) \(\left [\hat L_z, \hat y \right]\) |
c) \(\left [\hat L_z, \hat z \right]\) |
|
d) \(\left [\hat L_z, \hat p_x \right]\) |
e) \(\left [\hat L_z, \hat p_y \right]\) |
f) \(\left [\hat L_z, \hat p_z \right]\) |
|
g) \(\left [\hat L_z, \hat L_x \right]\) |
h) \(\left [\hat L_z, \hat L_y \right]\) |
i) \(\left [\hat L_z, \hat L_z \right]\) |
Na základě výsledků z částí a) – i) nejprve odhadněte výsledek a poté ověřte výpočtem následující komutátory
j) \(\left [\hat L_j, \hat x_k \right]\),
k) \(\left [\hat L_j, \hat p_k \right]\),
l) \(\left [\hat L_j, \hat L_k \right]\).
Pozn.: V této úloze využíváme dvojího značení, kde ztotožňujeme \(x\)-ovou složku s první složkou, \(y\)-ovou složku s druhou složkou a \(z\)-ovou složku se třetí složkou, tj. pro souřadnice platí \(\hat x = \hat x_1, \, \hat y = \hat x_2, \, \hat z = \hat x_3\), pro složky hybnosti platí \(\hat p_x = \hat p_1, \, \hat p_y = \hat p_2, \, \hat p_z = \hat p_3\) a pro složky momentu hybnosti platí \(\hat L_x = \hat L_1, \, \hat L_y = \hat L_2, \, \hat L_z = \hat L_3\).
Nápověda 1
Připomeňte si pravidla pro počítání komutátorů a zjednodušování komutátorů složených operátorů.
Nápověda 2
Připomeňte si, jak lze rozepsat složky momentu hybnosti pomocí souřadnic a složek hybnosti. Dále si připomeňte tvar kanonické komutační relace.
Řešení a) – c)
Nejdříve si rozepíšeme \(\hat L_z\) pomocí souřadnic a složek hybnosti. Poté zjednodušíme komutátor složených operátorů
\[ \left [\hat L_z, \hat x \right ] = \left [\hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x, \hat x \right] = \left [\hat x \hat p_y, \hat x \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat x \right] = \hat x \left [\hat p_y, \hat x \right] + \left [\hat x, \hat x \right] \hat p_y - \hat y \left [\hat p_x, \hat x \right] - \left [\hat y, \hat x \right] \hat p_x \, . \]Nyní využijeme toho, že operátory souřadnic navzájem komutují. Druhý a poslední člen jsou tedy nulové. Dále využijeme kanonickou komutační relaci a upravíme
\[ \left [\hat L_z, \hat x \right ] = \hat x \left (-i \hbar \delta_{21} \hat{\mathbb{E}} \right ) + 0 - \hat y \left (-i \hbar \delta_{11} \hat {\mathbb E} \right ) - 0 = i \hbar \hat y \, . \]Postup v případě b) a c) je analogický, proto zde uvedeme pouze stručný výpočet
\[ \left [\hat L_z, \hat y \right ] = \left [\hat x \hat p_y, \hat y \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat y \right] = \hat x \left [ \hat p_y, \hat y \right ] = -i \hbar \hat x \, , \] \[ \left [\hat L_z, \hat z \right ] = \left [\hat x \hat p_y, \hat z \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat z \right] = \hat x \cdot 0 - \hat y \cdot 0 = 0 \, . \]Řešení d) – f)
V této části je postup analogický jako v části předchozí. Nyní zde však místo komutativity souřadnic využijeme komutativitu složek hybnosti. Případ d) spočítáme detailně
\[ \left [\hat L_z, \hat p_x \right ] = \left [\hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x, \hat p_x \right] = \left [\hat x \hat p_y, \hat p_x \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat p_x \right] = \] \[ = \hat x \left [\hat p_y, \hat p_x \right] + \left [\hat x, \hat p_x \right] \hat p_y - \hat y \left [\hat p_x, \hat p_x \right] - \left [\hat y, \hat p_x \right] \hat p_x = 0 + i \hbar \hat p_y - 0 - 0 = i \hbar \hat p_y \, . \]Postup v případech e) a f) je analogický, proto zde výpočty uvedeme stručněji
\[ \left [\hat L_z, \hat p_y \right ] = \left [\hat x \hat p_y, \hat p_y \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat p_y \right] = - \hat p_x \left [ \hat y, \hat p_y \right ] = -i \hbar \hat p_x \, , \] \[ \left [\hat L_z, \hat p_z \right ] = \left [\hat x \hat p_y, \hat p_z \right] - \left [\hat y \hat p_x, \hat p_z \right] = \hat p_y \cdot 0 - \hat p_x \cdot 0 = 0 \, . \]Řešení g) – i)
V této části si ponecháme \(\hat L_z\) v komutátoru a rozepíšeme si složku momentu hybnosti v pravé části komutátoru. Ten si poté zjednodušíme na komutátory jednoduchých operátorů
\[ \left [\hat L_z, \hat L_x \right ] = \left [\hat L_z, \hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y \right] = \left [\hat L_z, \hat y \hat p_z \right] - \left [\hat L_z, \hat z \hat p_y \right] = \] \[ = \hat y \left [\hat L_z, \hat p_z \right] + \left [\hat L_z, \hat y \right] \hat p_z - \hat z \left [\hat L_z, \hat p_y \right] - \left [\hat L_z, \hat z \right] \hat p_y \, . \]Díky předchozím částem můžeme za tyto komutátory dosadit a upravit
\[ \left [\hat L_z, \hat L_x \right ] = 0 + \left (-i \hbar \hat x \right ) \hat p_z - \hat z \left (-i \hbar \hat p_x \right ) - 0 = i \hbar \left ({\hat z} {\hat p_x} - {\hat x} {\hat p_z} \right ) \, . \]Na závěr si uvědomíme, že výraz v závorce je rozepsaná složka momentu hybnosti \(\hat L_y\). Celkově jsme tedy získali
\[ \left [\hat L_z, \hat L_x \right ] = i \hbar {\hat L_y} \, . \]Pro složku \(\hat L_y\) je výpočet analogický, proto jej uvedeme pouze stručně
\[ \left [\hat L_z, \hat L_y \right ] = \left [\hat L_z, \hat z \hat p_x \right] - \left [\hat L_z, \hat x \hat p_z \right] = \hat z \left (i \hbar {\hat p_y} \right ) - \left (i \hbar \hat y \right ) \hat p_z = -i \hbar \hat L_x \, . \]Třetí komutátor je nulový, protože každý operátor komutuje sám se sebou,
\[ \left [\hat L_z, \hat L_z \right ] = 0 \, . \]Nápověda – užitečný vztah
Při výpočtu komutátoru \(\left [\hat L_j, \hat L_k \right ]\) využijeme vztah, který dává do souvislosti Levi‑Civitův symbol a Kroneckerův symbol. Tento vztah je
\[ \varepsilon_{abc} \varepsilon_{ade} = \delta_{bd} \delta_{ce} - \delta_{be} \delta_{cd} \, . \]Řešení j) – l)
Nejprve máme výsledky odhadnout. Provedeme to pro komutátor složky momentu hybnosti a souřadnice (část j). Další části jsou identické.
Na první pohled je zřejmé, že u komutátorů složky operátoru momentu hybnosti a souřadnice se vyskytuje faktor \(i \hbar\). Dále si všimneme, že pro \(j = k\), vyjde komutátor nulový. Dále se zaměříme na znaménko komutátoru. Pro možnost \(j = 3, \, k = 1\) vidíme znaménko \(+\) a pro možnost \(j = 3, \, k = 2\) vidíme znaménko \(-\). Rovněž si povšimneme, že pro obě kombinace různých \(j\) a \(k\) nám vyšla souřadnice „s chybějícím číslem“, tj. pro \(j = 3, \, k = 1\) jsme získali souřadnici \(y\) apod.
To nás vede k myšlence, že v obecném tvaru bude vystupovat Levi‑Civitův symbol. Spojíme-li tyto myšlenky dohromady, získáme odhad
\[ \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l \, . \]Tento odhad nyní ověříme poctivým výpočtem. Rozepíšeme si složku momentu hybnosti a zjednodušíme komutátor složených operátorů
\[ \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] = \left [\varepsilon_{jlm} \hat x_l \hat p_m, \hat x_k \right ] = \varepsilon_{jlm} \left (\hat x_l \left [\hat p_m, \hat x_k \right ] + \left [\hat x_l, \hat x_k \right ] \hat p_m \right ) \, . \]Za tyto komutátory nyní můžeme dosadit. Za první dosadíme z kanonické komutační relace a za druhý dosadíme nulu, neboť operátory souřadnic spolu komutují. Po dosazení upravíme
\[ \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] = \varepsilon_{jlm} \left (\hat x_l \left (-i \hbar \delta_{mk} \right ) \right ) = \varepsilon_{jlm} \delta_{mk} \left (-i \hbar \hat x_l \right ) \, . \]Nyní vysčítáme přes index \(m\)
\[ \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] = \varepsilon_{jlk} \left (-i \hbar \hat x_l \right ) = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l \, . \]Postup uvedený výše je platný i pro úlohy k) a l), jelikož všechny komutátory vyšly v témže tvaru. Odhady jsou tedy
\[ \left [\hat L_j, \hat p_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat p_l \, , \] \[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l \, . \]Ověření výpočtu pro část k) je rovněž velmi podobné, proto jej zde uvedeme stručněji
\[ \left [\hat L_j, \hat p_k \right ] = \varepsilon_{jlm} \left (\hat x_l \left [\hat p_m, \hat p_k \right ] + \left [\hat x_l, \hat p_k \right ] \hat p_m \right ) = \varepsilon_{jlm} \delta_{lk} \left (i \hbar \hat p_m \right ) = i \hbar \varepsilon_{jkm} \hat p_m \, . \]Zde jsme využili komutativitu složek hybnosti. Nyní ještě přeznačíme index \(m\) na index \(l\) a tím získáme výsledek
\[ \left [\hat L_j, \hat p_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkm} \hat p_m = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat p_l \, . \]Při výpočtu části l) si rozepíšeme tu složku momentu hybnosti, která je v komutátoru napravo, abychom mohli použít výsledky určené dříve
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = \varepsilon_{klm} \left (\hat x_l \left [\hat L_j, \hat p_m \right ] + \left [\hat L_j, \hat x_l \right ] \hat p_m \right ) \, . \]Za tyto komutátory nyní dosadíme výše určené hodnoty. Poté vytkneme faktor \(i \hbar\) a provedeme cyklickou záměnu indexů v Levi‑Civitových symbolech tak, aby společný index stál na prvním místě
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = \varepsilon_{klm} \left \{\hat x_l \left (i \hbar \varepsilon_{jmn} \hat p_n \right ) + \left (i \hbar \varepsilon_{jlo} \hat x_o \right ) \hat p_m \right \} = i \hbar \left (\varepsilon_{mkl} \varepsilon_{mnj} \hat x_l \hat p_n + \varepsilon_{lmk} \varepsilon_{loj} \hat x_o \hat p_m \right ) \, . \]Nyní využijeme vztah \(\varepsilon_{abc} \varepsilon_{ade} = \delta_{bd} \delta_{ce} - \delta_{be} \delta_{cd}\) a upravíme
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \left \{ \left (\delta_{kn} \delta_{lj} - \delta_{kj} \delta_{ln} \right ) \hat x_l \hat p_n + \left (\delta_{mo} \delta_{kj} - \delta_{mj} \delta_{ko} \right ) \hat x_o \hat p_m \right \} = \] \[ = i \hbar \left (\delta_{kn} \delta_{lj} \hat x_l \hat p_n - \delta_{kj} \delta_{ln} \hat x_l \hat p_n + \delta_{mo} \delta_{kj} \hat x_o \hat p_m - \delta_{mj} \delta_{ko} \hat x_o \hat p_m \right ) \, . \]V prvním a posledním členu vysčítáme přes oba Kroneckerovy symboly. Ve druhém členu můžeme vysčítat přes Kroneckerův symbol \(\delta_{ln}\) a ve třetím členu přes Kroneckerův symbol \(\delta_{mo}\). Tímto dostaneme
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \left (\hat x_j \hat p_k - \delta_{kj} \hat x_n \hat p_n + \delta_{kj} \hat x_m \hat p_m - \hat x_k \hat p_j \right ) \, . \]Jelikož je ve druhém členu sčítací index různý od indexů Kroneckerova symbolu, můžeme jej přeznačit z \(n\) na \(m\). Po tomto přeznačení se druhý a třetí člen odečtou, čímž dostaneme
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \left (\hat x_j \hat p_k - \delta_{kj} \hat x_m \hat p_m + \delta_{kj} \hat x_m \hat p_m - \hat x_k \hat p_j \right ) = i \hbar \left (\hat x_j \hat p_k - \hat x_k \hat p_j \right ) \, . \]Člen v závorce má stejný tvar, jako složka vektorového součinu, která není obsažena v komutátoru. Označíme-li tuto složku indexem \(l\), získáme výsledek ve tvaru
\[ \left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l \, . \]Zkontrolujme výpočet dosazením indexů \(j = z, \, k = x\)
\[ \left [\hat L_z, \hat L_x \right ] = i \hbar \varepsilon_{zxy} \hat L_y = i \hbar \hat L_y \, , \]tj. dostali jsme stejný výsledek jako v části g).
Odpověď
a) \(\left [\hat L_z, \hat x \right ] = i \hbar \hat y\)
b) \(\left [\hat L_z, \hat y \right ] = -i \hbar \hat x\)
c) \(\left [\hat L_z, \hat z \right ] = 0\)
d) \(\left [\hat L_z, \hat p_x \right ] = i \hbar \hat p_y\)
e) \(\left [\hat L_z, \hat p_y \right ] = -i \hbar \hat p_x\)
f) \(\left [\hat L_z, \hat p_z \right ] = 0\)
g) \(\left [\hat L_z, \hat L_x \right ] = i \hbar \hat L_y\)
h) \(\left [\hat L_z, \hat L_y \right ] = -i \hbar \hat L_x\)
i) \(\left [\hat L_z, \hat L_z \right ] = 0\)
j) \(\left [\hat L_j, \hat x_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l\)
k) \(\left [\hat L_j, \hat p_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat p_l\)
l) \(\left [\hat L_j, \hat L_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat L_l\)
