Vlnové klubko
Úloha číslo: 671
Uvažujme pohyb volné částice v jednom rozměru. Její stav je v daném čase popsán vlnovou funkcí
\[ \psi(x) = \sigma^{-\frac{1}{2}} \,\pi^{-\frac{1}{4}} \,e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\,,\]kterou vzhledem k prostorovému rozložení příslušné pravděpodobnosti výskytu částice v kvantové mechanice nazýváme vlnovým klubkem. Určete střední hodnotu a střední kvadratickou odchylku polohy částice a její neurčitost.
Při řešení můžete využít známé hodnoty tzv. Gaussových určitých integrálů
\(\hspace{30px}\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\ \) a \(\,\int_0^{\infty} t^2\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\frac{1}{4}\sqrt{\pi}\).
Nápověda
Střední kvadratická odchylka polohy se vypočítá jako \(\langle \left( x-\langle x \rangle \right)^2 \rangle\). Lze tento vztah ještě nějak zjednodušit?
Řešení – střední hodnota x
Střední hodnotu polohy vypočteme jako integrál
\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) x\psi(x) \,\mbox{d}x\,.\]Pro naši konkrétní vlnovou funkci získáme
\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \sigma^{-1} \pi^{-\frac{1}{2}} x e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} \,\mbox{d}x = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} \,\mbox{d}x\,.\tag{1}\]Zde je vhodné použít substituci
\[t=\frac{x-m}{\sigma}\,,\] \[x=\sigma t + m\,,\] \[\mbox{d}x = \sigma \,\mbox{d}t\,.\]Dosazením do výše uvedeného integrálu (1) dostáváme
\[\langle x \rangle = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + m) \,e^{-t^2} \,\sigma \,\mbox{d}t\,,\] \[\langle x \rangle = \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t + \frac{m}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t\,.\]Funkce \(f(t)=t\,e^{-t^2}\) je lichá, proto je integrál \(\int_{\infty}^{\infty} t\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t\) roven nule.
Funkce \(f(t)=e^{-t^2}\) je naopak sudá, proto je \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t = 2\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t\,.\)
S využitím známé hodnoty Gaussova integrálu \[\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\] dostáváme, že střední hodnota polohy je rovna
\[ \langle x \rangle = 0 + \frac{m}{\sqrt{\pi}} \cdot\,2\,\cdot\, \frac{1}{2}\sqrt{\pi} = m\,. \]Řešení – střední hodnota x2
Střední hodnotu x2 vypočteme jako integrál
\[\langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) x^2 \,\psi(x) \,\mbox{d}x\,.\]Pro naši konkrétní vlnovou funkci získáme
\[\langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \sigma^{-1} \pi^{-\frac{1}{2}} \,x^2 \,e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} \,\mbox{d}x = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \,e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} \,\mbox{d}x\,.\tag{2}\]
Zde vhodné použít opět substituci
\[t=\frac{x-m}{\sigma}\,,\] \[x=\sigma t + m\,,\] \[\mbox{d}x = \sigma \,\mbox{d}t\,. \]Dosazením do výše uvedeného integrálu (2) dostáváme
\[\langle x^2 \rangle = \frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + m)^2 \,e^{-t^2} \,\sigma \,\mbox{d}t\,,\] \[\langle x^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t^2\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t \,+\, \frac{2\sigma m}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t \,+\, \frac{m^2}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t\,.\]Funkce \(f(t)=t\,e^{-t^2}\) je lichá, proto je integrál \(\int_{\infty}^{\infty} t\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t\) roven nule.
Funkce \(g(t)=e^{-t^2}\) je naopak sudá, proto je \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t = 2\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t\,. \)
Také funkce \(h(t)=t^2\,e^{-t^2}\) je sudá a platí \(\int_{-\infty}^{\infty} t^2 \,e^{-t^2} \,\mbox{d}t = 2\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t\,. \)
S využitím známých integrálů \[\int_0^{\infty} e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\] a \[\int_0^{\infty} t^2\,e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\frac{1}{4}\sqrt{\pi}\,\]
dostáváme, že střední hodnota x2 je rovna
\[ \langle x^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \cdot\,2\,\cdot\,\frac{1}{4}\sqrt{\pi} \,+\, 0 \,+\, \frac{m^2}{\sqrt{\pi}} \cdot\,2\,\cdot\, \frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{\sigma^2}{2}+m^2\,.\]Řešení – střední kvadratická odchylka x
Střední kvadratická odchylka souřadnice x je rovna
\[\langle \left( x-\langle x \rangle \right)^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2\,.\]Dosazením středních hodnot \(\langle x^2 \rangle \) a \(\langle x \rangle ^2\) vypočtených v předcházejících oddílech dostáváme
\[\langle \left( x-\langle x \rangle \right)^2 \rangle = \frac{\sigma^2}{2} + m^2 - m^2 = \frac{\sigma^2}{2}\,.\]Neurčitost polohy \(\Delta x\) je pak odmocninou z kvadratické odchylky, tj.
\[\Delta x = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\,.\]Odpověď
Střední hodnota polohy je rovna \(\langle x \rangle=m\).
Střední kvadratická odchylka je rovna \(\langle \left( x-\langle x \rangle \right)^2 \rangle= \frac{\sigma^2}{2}\).
Neurčitost polohy je rovna \(\Delta x = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\).
Komentář
Analogický výpočet je možno provést pro střední hodnotu, střední kvadratickou odchylku a neurčitost hybnosti. Vychází
\[\Delta p=\frac{\hbar}{\sqrt{2}\sigma}\,.\]Při měřeních prováděných na částici popsané uvedenou vlnovou funkcí tak nikdy nemůžeme dostat přesnou hodnotu polohy, ani přesnou hodnotu hybnosti. Čím přesněji známe polohu (tj. čím menší je σ), tím nepřesněji známe hybnost a naopak. Součin obou neurčitostí dává
\[\Delta x\,\,\cdot\,\Delta p=\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\,\frac{\hbar}{\sqrt{2}\sigma}=\frac{\hbar}{2}\,,\]což je minimální hodnota dovolená Heisenbergovou relací neurčitosti pro polohu a hybnost. Stavy odpovídající rovnítku v relacích neurčitosti v kvantové mechanice nazýváme koherentními.
