Komutátory operátorů souřadnice a hybnosti ve třech rozměrech
Úloha číslo: 726
V trojrozměrném prostoru označme souřadnice polohového vektoru \(\vec{r} = \left( x_1, x_2, x_3 \right)\), souřadnice vektoru hybnosti \(\vec{p} = \left( p_1, p_2, p_3 \right)\) a analogicky souřadnice dalších vektorů.
Pod vektorovými operátory budeme v trojrozměrném prostoru rozumět trojice operátorů, např.
\[\hat{\vec{x}} = \left(x_1, x_2, x_3\right)\] \[\hat{\vec{p}} = \left( -i \hbar {\partial \over \partial x_1}\,,\, -i \hbar {\partial \over \partial x_2}\,,\, -i \hbar {\partial \over \partial x_3} \right).\]Znáte-li operátory souřadnic \(\hat {x}_i = x_i\) a hybností \(\hat {p}_i = -i \hbar {\partial \over \partial x_i}\,, \,i=1{,}2,3\) , spočtěte komutátory (tzv. kanonické komutační relace):
a) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {x}_j \right]\),
b) \(\left[\hat {p}_i\,,\, \hat {p}_j \right]\),
c) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {p}_i \right]\),
d) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {p}_j \right]\).
Nápověda
Pokud si nevíte rady s touto úlohou prostudujte si jednodušší úlohu Komutátory operátorů souřadnice a hybnosti v jednom rozměru. Zejména její část a), tato úloha je obdobná, také se komutátory počítají přímo z definice.
Řešení a)
Napíšeme působení komutátoru na libovolnou funkci f a rozepíšeme podle definice komutátoru:
\[\left[\hat x_{\mathrm{i}}\,,\, \hat x_{\mathrm{j}} \right]\, f = \hat x_{\mathrm{i}} \hat x_{\mathrm{j}} \, f - \hat x_{\mathrm{j}} \hat x_{\mathrm{i}} \, f \]dosadíme konkrétní tva operátorů souřednice a uvědomíme si, že násobení čísel je komutativní
\[ = x_{\mathrm{i}} x_{\mathrm{j}} \, f - x_{\mathrm{j}} x_{\mathrm{i}} \, f =0\,.\]Operátory souřadnice spolu navzájem komutují, tedy:
\[\left[\hat x_{\mathrm{i}}\,,\, \hat x_{\mathrm{j}} \right] = 0\,.\]Řešení b)
Napíšeme působení komutátoru na libovolnou funkci f a rovnou dosadíme konkrétní tvar operátorů hybnosti:
\[\left[\hat p_{\mathrm{i}}\,,\, \hat p_{\mathrm{j}} \right]\, f = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{i}}}\left( -i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_{\mathrm{j}}} \right) + i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{j}}}\left( -i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_{\mathrm{i}}} \right) = - \hbar^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x_{\mathrm{i}} \partial x_{\mathrm{j}}} + \hbar^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x_{\mathrm{j}} \partial x_{\mathrm{i}}}. \]Uvědomíme-li si zámněnnost pořadí derivací, vidíme, že se oba členy odečtou. Operátory hybnosti tedy spolu navzájem komutují, tj.
\[\left[\hat p_{\mathrm{i}}\,,\, \hat p_{\mathrm{j}} \right] = 0.\]Řešení c)
Napíšeme působení komutátoru na libovolnou funkci f a dosadíme konkrétní tvary operátorů:
\[\left[\hat x_i\,,\, \hat p_i \right]\, f = x_i \left( -i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_i} \right) + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_i} \left( x_i f \right)= \]provedeme derivaci součinu v druhém členu a upravíme
\[= -i \hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} + i \hbar f \frac{\partial x_i}{\partial x_i} + \hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = i \hbar f\,.\]Můžeme tedy napsat operátorovou rovnost
\[\left[\hat x_i\,,\, \hat p_i \right] = i \hbar\,.\]Poznámka: Toto byl až na přidání indexu i stejný úkol jako a) v úloze Komutátory operátorů souřadnice a hybnosti v jednom rozměru.
Řešení d)
Začátek výpočtu je stejný jako v části c), jen je třeba si dát pozor na správné indexy:
\[\left[\hat x_i\,,\, \hat p_j \right]\, f = x_i \left( -i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_j} \right) + i \hbar \frac{\partial }{\partial x_j} \left( x_i f \right)= -i \hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} + i \hbar f \frac{\partial x_i}{\partial x_j} + \hbar x_i \frac{\partial f}{\partial x_j} = i \hbar f \frac{\partial x_i}{\partial x_j}=\]pokud se mi v derivaci potkají stejné indexy, je výsledkem derivace 1, pokud různé 0, což elegantně zápíšeme pomocí Kroneckerova symbolu \(\delta_ij \):
\[ = i \hbar \delta_{ij} f\,.\]Operátorová rovnost tedy je
\[\left[\hat x_i\,,\, \hat p_i \right] = i \hbar \delta_{ij}\,.\]Odpověď
a) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {x}_j \right] = 0\)
b) \(\left[\hat {p}_i\,,\, \hat {p}_j \right] = 0\)
c) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {p}_i \right] = i \hbar\)
d) \(\left[\hat {x}_i\,,\, \hat {p}_j \right] = i \hbar \delta_{ij}\)
