Sbírka řešených úloh

Poruchová metoda pro degenerovaný případ v maticovém zápisu

Úloha číslo: 2272

• Nápověda 1

  Připomeňte si princip poruchové metody v kvantové mechanice nejprve v případě nedegenerovaných stavů. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Poruchová metoda v maticovém formalismu, Nápověda 1 – Princip stacionární poruchové metody na její stručné zopakování.

• Nápověda 2

  Zopakujte si, co se změní v poruchové metodě v kvantové mechanice v případě degenerovaných stavů.

• Řešení nápovědy 2

  Počítáme-li korekci pro degenerovanou neporušenou energetickou hladinu, vycházíme ze znalosti řešení neporušené stacionární Schrödingerovy rovnice

  \[\hat{H_0}\phi_{n\alpha}^{(0)}=E_{n}^{(0)}\phi_{n\alpha}^{(0)},\, \alpha=1{,}2,...,d_n,\]

  kde \(n\) je kvantové číslo popisující energetickou hladinu, index \(\alpha\) rozlišuje stavy se stejnou energií a \(d_n\) je stupeň degenerace příslušné hladiny.

  Funkce \(\phi_{n\alpha}^{(0)}\) zvolíme tak, že tvoří jednu z bází \(d_n\)-dimenzionálního podprostoru vlastních stavů odpovídajících stejnému vlastnímu číslu \(E_{n}^{(0)}\). Tato báze je zvolena libovolně až na podmínku ortonormality

  \[\left\langle\phi_{n\alpha}^{(0)}\Big|\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle=\delta_{\alpha\beta}.\]

  Po zapnutí vnější poruchy \(\hat{V}=\lambda\hat{W}\) dostaneme Schrödingerovu rovnici ve tvaru

  \[(\hat{H_0}+\lambda\hat{W})\phi_{n\alpha} = E_{n}^{(0)}\phi_{n\alpha}.\]

  Korekce energie rozvijíme pomocí malého parametru \(\lambda\) do mocniných rozvojů podobně jako v případě poruchové metody nedegenerovaných stavů.

  \[ E_{n\alpha}=E_{n}^{(0)} + \lambda E_{n\alpha}^{(1)}+\lambda^2 E_{n\alpha}^{(2)}+....\]

  V případě korekcí vlnových funkcí narazíme však na problém. Rozviňme funkce \(\phi_{n\alpha}\) do mocninného rozvoje malého parametru \(\lambda\)

  \[\phi_{n\alpha}={\psi}_{n\alpha}^{(0)}+\lambda \phi_{n\alpha}^{(1)}+\lambda^2 \phi_{n\alpha}^{(2)}+....\]

  Do tohoto vzorce nelze jako nultý člen dosadit náhodně zvolenou neporušenou vlnovou funkci \(\phi_{n\alpha}^{(0)}\), ale konkrétní funkci \({\psi}_{n\alpha}^{(0)}\), která je tzv. přizpůsobena poruše. To znamená, že při „vypínání“ poruchy \(\lambda\rightarrow 0\) bude platit \(\phi_{n\alpha}\rightarrow{\psi}_{n\alpha}^{(0)}\) Musíme proto nejprve zjistit vhodnou nultou aproximaci našeho rozvoje, než přejdeme k výpočtu korekcí vyšších řádů.

  Funkce \({\psi}_{n\alpha}^{(0)}\) musí být také řešeními neporušené Schrödingerovy rovnice. Musí jít tedy vyjádřit pomocí námi zvolené báze funkcí \(\phi_{n\alpha}^{(0)}\), takže je budeme hledat ve tvaru

  \[{\psi}_{n\alpha}^{(0)}=\sum_{\beta=1}^{d_n}T_{\alpha\beta}^{(n)}\phi_{n\beta}^{(0)},\]

  kde \(T_{\alpha\beta}^{(n)}\) jsou vhodné koeficienty, takže se vlastně jedná o transformaci od báze tvořené funkcemi \(\phi_{n\alpha}^{(0)}\) k bázi tvořené funkcemi \({\psi}_{n\alpha}^{(0)}\). Budeme požadovat od nové báze, aby byla také ortonormální. Tento požadavek odpovídá limitnímu přechodu pro \(\lambda\rightarrow 0\), protože porušené funkce \(\phi_{n\alpha}\) jsou pro různé energie \(E_{n\alpha}\) také ortonormální.

  Nyní zbývá najít transformační koeficienty \(T_{\alpha\beta}^{(n)}\). Vypišme si členy s \(\lambda\) porušené Schrödingerovy rovnice

  \[\left(\hat{H}_0−E_n^{(0)}\right)\phi_{n\alpha}^{(1)}=\left(\hat{W}−E_{n\alpha}^{(1)}\right)\psi_{n\alpha}^{(0)}.\]

  Vynásobením funkcí \(\phi_{n\gamma}^{(0)}\) skalárně zleva se vynuluje první člen. Dosadíme rozpis funkce \(\psi_{n\alpha}^{(0)}\) a obdržíme rovnost

  \[\left\langle\phi_{n\gamma}^{(0)}\bigg|\left(\hat{W}−E_{n\alpha}^{(1)}\right)\sum_{\beta=1}^{d_n}T_{\alpha\beta}^{(n)}\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle=0.\]

  Využijeme linearitu operátorů

  \[\sum_{\beta=1}^{d_n}T_{\alpha\beta}^{(n)}\left(\left\langle\phi_{n\gamma}^{(0)}\Big|\hat{W}\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle−E_{n\alpha}^{(1)}\left\langle\phi_{n\gamma}^{(0)}\Big|\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle\right)=0.\]

  Jedná se o soustavu \(d_n\) lineárních rovnic (pro jednotlivé hodnoty indexu \(\gamma\)), kde neznámé jsou koeficienty \(T_{\alpha\beta}^{(n)}\).

  Finálními úpravami obdržíme soustavu

  \[\sum_{\beta=1}^{d_n}\left[\left\langle\phi_{n\gamma}^{(0)}\Big|\hat{W}\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle−\left(E−E_n^{(0)}\right)\delta_{\gamma\beta}\right] T_{\alpha\beta}^{(n)}=0,\,\,\gamma=1{,}2,...,d_n,\]

  která má netriviální řešení právě tehdy, když

  \[\mathrm{det}\left[\left\langle\phi_{n\gamma}^{(0)}\Big|\hat{W}\phi_{n\beta}^{(0)}\right\rangle−\left(E−E_n^{(0)}\right)\delta_{\gamma\beta}\right]=0.\]

  Tato rovnice se nazývá sekulární rovnicí a připomíná rovnici pro hledání vlastních čísel. Neznámou v ní je energie \(E\). Protože se obecně jedná o algebraickou rovnici n-tého stupně, může mít až \(n\) různých kořenů.

  Typickým jevem, který přináší zapnutí poruchy, je rozštěpení energetických hladin. Pokud se \(d_n\)-násobně degenerovaná energetická hladina rozštěpí na \(d_n\) různých energetikých hladin, mluvíme o úplném sejmutí degenerace. Pokud je hladin méně, což znamená, že některá ze vzniklých hladin zůstala degenerovaná, mluvíme o částečném sejmutí degenerace.

• Řešení

  Neporušený hamiltonián \(\hat{H}_0\) má jediné vlastní číslo \(E_0\). Energetická hladina \(E_0\) je tedy dvakrát degenerovaná. Vlastními vektory jsou všechny vektory, zvolme tedy např. tuto bázi \[\phi_1^{(0)}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\,\, \phi_2^{(0)}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]

  Řešíme-li korekci energie v prvním řádu poruchové metody pro degenerovaný stav, musíme vyřešit tzv. sekulární rovnici. Uvažujme vlastní stavy přizpůsobené poruše \(\psi_j\) a vlastní stavy \(\phi_n^{(0)}\), kde přesný předpis neznáme. Platí

  \[\langle\psi_j| \hat{V}\phi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(1)}\langle\psi_j|\phi_n^{(0)}\rangle.\]

  Na levé straně rovnice si funkce \(\phi_n^{(0)}\) vyjádřeme pomocí funkcí \(\psi_j\)

  \[\sum_{k}^{ }\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle\langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(1)}\langle\psi_j|\phi_n^{(0)}\rangle.\]

  Člen \(\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle\) je prvek matice rozkladu do báze \(\psi_j\) a člen \(\langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle\) je koeficient rozkladu \(\phi_n^{(0)}\) do báze \(\psi_j\).

  Tuto rovnici dále upravujme

  \[\sum_{k}^{ }(\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle−E_n^{(1)}\hat{\mathbb{E}}) \langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle=0.\]

  Tato soustava má netriviální řešení právě tehdy, když

  \[\mathrm{det}(\hat{V}−E_n^{(1)}\hat{\mathbb{E}})=0.\]

  Toto je tzv. sekulární rovnice, kterou budeme dále řešit

  \[\mathrm{det}\left(\begin{pmatrix} 0& V\\ V& 0 \end{pmatrix}−E_n^{(1)}\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\right)= \mathrm{det}\begin{pmatrix} −E_n^{(1)}& V\\ V& −E_n^{(1)} \end{pmatrix}=0.\]

  A z poslední rovnosti

  \[(−E_n^{(1)})^2−V^2=0,\] \[E_1^{(1)}= V,\] \[E_2^{(1)}=−V.\]

  Toto jsou korekce k energii v prvním řádu poruchové metody.

• Řešení – Přesné energie a porovnání

  Vypočítejme nyní přesné řešení. To znamená, že musíme najít vlastní čísla úplného hamiltoniánu \(\hat{H}=\hat{H}_0+ \hat{V}\)

  \[\hat{H}=\hat{H}_0+ \hat{V}=\begin{pmatrix} E_0& V\\ V& E_0 \end{pmatrix}.\]

  Je-li \(E\) vlastním číslem matice \(\hat{H}\), pak platí

  \[\mathrm{det}(\hat{H}−E\,\hat{\mathbb{E}})=\mathrm{det}\begin{pmatrix} E_0−E& V\\ V& E_0−E \end{pmatrix}=0.\]

  Z toho

  \[(E_0−E)^2−V^2=0,\] \[E=E_0\pm V.\]

  Z poslední rovnosti vidíme, že přidáním poruchy \(\hat{V}\) k hamiltoniánu \(\hat{H}_0\) dojde k úplnému sejmutí degenerace. Hamiltonián \(\hat{H}\) má dvě různá vlastní čísla. Určeme ještě vlastní vektory příslušné daným vlastním číslům

  \[ E=E_0-V\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} V& V \\ V& V \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad \psi_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix},\] \[ E=E_0+V\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} − V& V \\ V&− V \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =0 \quad\Rightarrow\quad \psi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

  V případě poruchy degenerovaného dvoustavového systému získáme poruchovou metodou vždy přesná řešení energií. Je-li porucha popsána maticí diagonální, jsou korekce energií členy na diagonále. Je-li porucha popsána maticí s členy na vedlejší diagonále, je výsledek analogický k výsledkům tohoto příkladu. Je-li porucha popsána maticí, která je kombinací uvažovaných matic, pak jsou příslušné korekce energie kombinace diskutovaných výsledků.

• Odpověď

  Pro systém popsaný hamiltoniánem \(\hat{H}_0\) a poruchou \(\hat{V}\), které jsou zadané maticemi

  \[ \hat{H}_0=\begin{pmatrix} E_0& 0\\ 0& E_0 \end{pmatrix},\,\, \hat{V}=\begin{pmatrix} 0& V\\ V& 0 \end{pmatrix} ,\,\,E_0, V \in \mathbb{R},\]

  je korekce energie v prvním řádu poruchové metody rovna

  \[E_1^{(1)}=V,\] \[E_2^{(1)}=−V.\]

  Tato korekce je rovna přesnému řešení

  \[E=E_0\pm V.\]