Poruchová metoda pro degenerovaný případ v maticovém zápisu

Úloha číslo: 2272

Uvažujte systém popsaný hamiltoniánem \(\hat{H}_0\) a poruchu \(\hat{V}\) obojí zadané maticemi

\[ \hat{H}_0=\begin{pmatrix} E_0& 0\\ 0& E_0 \end{pmatrix},\,\, \hat{V}=\begin{pmatrix} 0& V\\ V& 0 \end{pmatrix} ,\]

kde \(E_0\) a \(V\) jsou realná čísla. Určete korekci energie v prvním řádu poruchové metody. Spočítejte i přesnou změnu energie. Oba výsledky porovnejte.

  • Nápověda 1

    Připomeňte si princip poruchové metody v kvantové mechanice nejprve v případě nedegenerovaných stavů. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Poruchová metoda v maticovém formalismu, Nápověda 1 – Princip stacionární poruchové metody na její stručné zopakování.

  • Nápověda 2

    Zopakujte si, co se změní v poruchové metodě v kvantové mechanice v případě degenerovaných stavů.

  • Řešení

    Neporušený hamiltonián \(\hat{H}_0\) má jediné vlastní číslo \(E_0\). Energetická hladina \(E_0\) je tedy dvakrát degenerovaná. Vlastními vektory jsou všechny vektory, zvolme tedy např. tuto bázi \[\phi_1^{(0)}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\,\, \phi_2^{(0)}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]

    Řešíme-li korekci energie v prvním řádu poruchové metody pro degenerovaný stav, musíme vyřešit tzv. sekulární rovnici. Uvažujme vlastní stavy přizpůsobené poruše \(\psi_j\) a vlastní stavy \(\phi_n^{(0)}\), kde přesný předpis neznáme. Platí

    \[\langle\psi_j| \hat{V}\phi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(1)}\langle\psi_j|\phi_n^{(0)}\rangle.\]

    Na levé straně rovnice si funkce \(\phi_n^{(0)}\) vyjádřeme pomocí funkcí \(\psi_j\)

    \[\sum_{k}^{ }\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle\langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle=E_n^{(1)}\langle\psi_j|\phi_n^{(0)}\rangle.\]

    Člen \(\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle\) je prvek matice rozkladu do báze \(\psi_j\) a člen \(\langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle\) je koeficient rozkladu \(\phi_n^{(0)}\) do báze \(\psi_j\).

    Tuto rovnici dále upravujme

    \[\sum_{k}^{ }(\langle\psi_j|\lambda \hat{W}\psi_k\rangle−E_n^{(1)}\hat{\mathbb{E}}) \langle\psi_k|\phi_n^{(0)}\rangle=0.\]

    Tato soustava má netriviální řešení právě tehdy, když

    \[\mathrm{det}(\hat{V}−E_n^{(1)}\hat{\mathbb{E}})=0.\]

    Toto je tzv. sekulární rovnice, kterou budeme dále řešit

    \[\mathrm{det}\left(\begin{pmatrix} 0& V\\ V& 0 \end{pmatrix}−E_n^{(1)}\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\right)= \mathrm{det}\begin{pmatrix} −E_n^{(1)}& V\\ V& −E_n^{(1)} \end{pmatrix}=0.\]

    A z poslední rovnosti

    \[(−E_n^{(1)})^2−V^2=0,\] \[E_1^{(1)}= V,\] \[E_2^{(1)}=−V.\]

    Toto jsou korekce k energii v prvním řádu poruchové metody.

  • Řešení – Přesné energie a porovnání

    Vypočítejme nyní přesné řešení. To znamená, že musíme najít vlastní čísla úplného hamiltoniánu \(\hat{H}=\hat{H}_0+ \hat{V}\)

    \[\hat{H}=\hat{H}_0+ \hat{V}=\begin{pmatrix} E_0& V\\ V& E_0 \end{pmatrix}.\]

    Je-li \(E\) vlastním číslem matice \(\hat{H}\), pak platí

    \[\mathrm{det}(\hat{H}−E\,\hat{\mathbb{E}})=\mathrm{det}\begin{pmatrix} E_0−E& V\\ V& E_0−E \end{pmatrix}=0.\]

    Z toho

    \[(E_0−E)^2−V^2=0,\] \[E=E_0\pm V.\]

    Z poslední rovnosti vidíme, že přidáním poruchy \(\hat{V}\) k hamiltoniánu \(\hat{H}_0\) dojde k úplnému sejmutí degenerace. Hamiltonián \(\hat{H}\) má dvě různá vlastní čísla. Určeme ještě vlastní vektory příslušné daným vlastním číslům

    \[ E=E_0-V\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} V& V \\ V& V \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad \psi_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix},\] \[ E=E_0+V\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} − V& V \\ V&− V \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =0 \quad\Rightarrow\quad \psi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

    V případě poruchy degenerovaného dvoustavového systému získáme poruchovou metodou vždy přesná řešení energií. Je-li porucha popsána maticí diagonální, jsou korekce energií členy na diagonále. Je-li porucha popsána maticí s členy na vedlejší diagonále, je výsledek analogický k výsledkům tohoto příkladu. Je-li porucha popsána maticí, která je kombinací uvažovaných matic, pak jsou příslušné korekce energie kombinace diskutovaných výsledků.

  • Odpověď

    Pro systém popsaný hamiltoniánem \(\hat{H}_0\) a poruchou \(\hat{V}\), které jsou zadané maticemi

    \[ \hat{H}_0=\begin{pmatrix} E_0& 0\\ 0& E_0 \end{pmatrix},\,\, \hat{V}=\begin{pmatrix} 0& V\\ V& 0 \end{pmatrix} ,\,\,E_0, V \in \mathbb{R},\]

    je korekce energie v prvním řádu poruchové metody rovna

    \[E_1^{(1)}=V,\] \[E_2^{(1)}=−V.\]

    Tato korekce je rovna přesnému řešení

    \[E=E_0\pm V.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze