Nestacionární stav, měření energie a časový vývoj stavu

Úloha číslo: 2013

Částice v jednorozměrné pravoúhlé nekonečně hluboké potenciálové jámě v intervalu \((0, L)\) se v čase \(t=0 \mathrm s\) nachází ve stavu popsaném vlnovou funkcí \[\psi(x, t=0 \mathrm s)=N\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right].\]

a) Vlnovou funkci normujte.

b) Rozložte tento stav na stacionární stavy.

c) Určete, jaké hodnoty energie je možné v tomto stavu naměřit a s jakou pravděpodobností.

d) Určete střední hodnotu energie v tomto stavu.

e) Napište tuto vlnovou funkci v obecném čase \(t\) a v čase \(t=\frac{\pi \hbar}{E_1},\) kde \(E_1\) je energie základního stavu.

Vlnová funkce v nekonečně hluboké jámě
  • Nápověda a)

    Uvědomte si, že normovaná vlnová funkce musí splňovat normovací podmínku.

  • Nápověda b), c)

    Při řešení úlohy rozložíme zadaný obecný stav částice \(\psi\) v jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě na lineární kombinaci stacionárních stavů. Připomeňte si, jaké má řešení stacionární Schrödingerova rovnice pro jednorozměrnou pravoúhlou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu, tedy v jakém tvaru napíšeme stacionární stavy a energie.

    Promyslete si, jak souvisí rozklad obecného stavu na stacionární stavy s pravděpodobností naměření energie.

  • Nápověda d)

    Střední hodnota operátoru \(\hat O\) ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\psi\) se vypočítá pomocí skalárního součinu

    \[\langle \hat O\rangle _\psi=(\psi, \hat O\psi).\]

    Zamyslete se, jaký operátor je přiřazen celkové energii.

    Pokuste se napsat, jak bychom mohli vypočítat střední hodnotu energie pomocí naměřitelných energií a jejich pravděpodobností.

  • Nápověda e)

    Vyhledejte, v jakém tvaru se zapisuje vlnová funkce včetně časové části.

  • Řešení

    Zkoumáme částici v jednorozměrné pravoúhlé nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce \(L\), která se v čase \(t=0 \mathrm{s}\) nachází ve stavu popsaném vlnovou funkcí

    \[ \psi(x,t=0 \mathrm{s})= \begin{cases} N\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right] & \quad \text{pro } x\in (0,L),\\ 0 & \quad \text{jinak.}\\ \end{cases}\]

     

    a) Normovat vlnovou funkci \(\psi\) znamená určit hodnotu normalizační konstanty \(N\). Do normovací podmínky

    \[1=(\psi, \psi)=\int_{-\infty}^\infty{\psi^\ast\psi}\,\mathrm{d}x=\]

    dosadíme zadanou funkci \(\psi\) na intervalu \((0, L)\), neboť jinde je \(\psi\) nulová.

    \[=\int_0^L{N^\ast\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]N\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\]

    Vytkneme normalizační konstantu před integrál a dosadíme hodnotu integrálu (viz oddíl Výpočet integrálů níže).

    \[=|N|^2\int_0^L{\sin^2{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]^2}\,\mathrm{d}x=|N|^2L\]

    Z rovnice \(1=|N|^2L\) vyjádříme velikost normalizační konstanty \[\left |N\right\vert=\frac{1}{\sqrt{L}}.\]

    Normovaná vlnová funkce má tvar \[ \psi(x, t=0 \mathrm{s})= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right] & \quad \text{pro } x\in (0,L),\\ 0 & \quad \text{jinak.}\\ \end{cases}\]

     

    b) Stacionární stavy jsou stavy kvantového systému popsané vlnovými funkcemi \(\varphi_n(x)\), které jsou řešením stacionární Schrödingerovy rovnice \[\hat{H}\varphi_n(x)=E_n\varphi_n(x)\] a mají pro jednorozměrnou pravoúhlou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu o šířce \(L\) normovaný tvar \[ \varphi_n= \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)} & \quad \text{pro } x\in (0,L),\\ 0 & \quad \text{jinak.}\\ \end{cases}\] Zadaný stav částice, popsaný vlnovou funkcí \(\psi(x)\), musí být lineární kombinací stacionárních stavů \(\varphi_n(x)\) \[\psi(x)=\sum_n{c_n\varphi_n(x)},\] kde \(c_n\) jsou koeficienty, pro které platí \[c_n=(\varphi_n, \psi).\]

    Vypočítáme koeficienty \(c_n\) pro zadaný stav \(\psi(x)\) na intervalu \((0, L)\), protože mimo tento interval je \(\psi(x)\) nulová. Dosadíme normované funkce \(\varphi_n(x), \psi(x)\) a upravíme.

    \[c_n=(\varphi_n, \psi)=\int_{0}^L{\varphi_n^\ast\psi}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^L{\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\frac{1}{\sqrt{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{\sqrt{2}}{L}\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x\]

    Po dosazení hodnoty integrálu (viz Výpočet integrálů) získáme koeficienty

    \[c_n=\frac{\sqrt{2}}{L}\cdot 0=0\quad \text{pro }n\geq 3,\] \[c_1=c_2=\frac{\sqrt{2}}{L}\frac{L}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

    Zadaný stav \(\psi(x)\) rozložíme na stacionární stavy \(\varphi_n(x)\)

    \[\psi(x)=\sum_n{c_n\varphi_n(x)}=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\varphi_1(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\varphi_2(x)=\] \[=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right].\]

    Poznámka: Zadaný stav \(\psi(x)\) můžeme velmi jednoduše rozložit na stacionární stavy \(\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\), aniž bychom počítali integrály. Stačí upravit normovaný stav \(\psi(x)\) pomocí vztahu \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\).

    \[\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+2\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right]=\] \[=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\right]\]

    Odtud hned určíme koeficienty \(c_1=c_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

     

    c) Řešením stacionární Schrödingerovy rovnice \[\hat{H}\varphi_n(x)=E_n\varphi_n(x)\] pro jednorozměrnou pravoúhlou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu o šířce \(L\) jsou stacionární stavy \[ \varphi_n= \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)} & \quad \text{pro } x\in (0,L),\\ 0 & \quad \text{jinak}\\ \end{cases}\] a energie \[E_n=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}n^2.\]

    V libovolném stavu můžeme naměřit jen energie odpovídající vlastním číslům \(E_n\) operátoru \(\hat H\), pro které má Schrödingerova rovnice netriviální řešení \(\varphi_n(x)\).

    Zadaný stav popsaný vlnovou funkcí \(\psi(x)\) je složen ze stacionárních stavů \(\varphi_1(x)\) a \(\varphi_2(x)\), můžeme v něm tedy naměřit jen energie \[E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2},\] \[E_2=\frac{2\pi^2 \hbar^2}{mL^2}=4E_1.\]

    Pravděpodobnost \(p_n\), že ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi(x)=\sum_n{c_n\varphi_n(x)}\) naměříme energii \(E_n\) je dána vztahem \[p_n=|c_n|^2.\]

    Po dosazení koeficientů \(c_1=c_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\) vypočítáme pravděpodobnost naměření energie \(E_1\) a energie \(E_2\) v zadaném stavu \(\psi(x)\) \[p_1=p_2=|c_1|^2=|c_2|^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.\] Naměření energie \(E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\) a energie \(E_2=4E_1=\frac{2\pi^2 \hbar^2}{mL^2}\) je stejně pravděpodobné, a to \(\frac{1}{2}\).

     

    d) Střední hodnota energie ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\psi(x)\) se vypočítá pomocí skalárního součinu, což lze upravit na vážený průměr naměřitelných energií \(E_n\), kde váhami jsou pravděpodobnosti \(p_n\) naměření jednotlivých hodnot

    \[\left\langle E\right\rangle_\psi=(\psi,\hat{H}\psi)=\sum_{n}{p_n E_n}=\sum_{n}{\left |c_n\right\vert^2 E_n}.\]

    Po dosazení koeficientů \(c_1=c_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\) a energií \(E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2},\: E_2=4E_1=\frac{2\pi^2 \hbar^2}{mL^2}\) dostáváme střední hodnotu energie pro zadaný stav popsaný vlnovou funkcí \(\psi(x)\) \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\sum_n{\left |c_n\right\vert^2 E_n}=|c_1|^2E_1+|c_2|^2E_2=\frac{1}{2}\left(E_1+4E_1\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}=\frac{5\pi^2 \hbar^2}{4mL^2}.\]

     

    e) Časový vývoj obecného stavu \(\psi(x)\) popisuje vlnová funkce ve tvaru \[\psi(x, t)=\sum_{n}{c_n\varphi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}},\] kde členy \(\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\) představují časovou část jednotlivých vlastních funkcí \(\varphi_n(x)\).

    Dosazením koeficientů \(c_1=c_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\), vlastních funkcí \(\varphi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\), \(\varphi_2(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\) a energií \(E_1\), \(E_2=4E_1\) získáme zadanou vlnovou funkci \(\psi(x, 0)\) v obecném čase \(t\)

    \[\psi(x, t)=\sum_{n}{c_n\varphi_n(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}}= c_1\varphi_1(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\varphi_2(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}=\] \[=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\varphi_1(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+\varphi_2(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{4E_1}{\hbar}t}\right] =\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{4E_1}{\hbar}t}\right].\]

     

    Vlnovou funkci v čase \(t=\frac{\pi\hbar}{E_1}\) určíme dosazením tohoto času do vlnové funkce v obecném čase \(t\) \[\psi\left(x, t=\frac{\pi\hbar}{E_1}\right)= \frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}\frac{\pi\hbar}{E_1}}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{4E_1}{\hbar}\frac{\pi\hbar}{E_1}}\right]=\] \[=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\pi}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i4\pi}\right]=\] a upravením pomocí vztahu \(\,\mathrm{e}^{iz}=\cos z +i\sin z\)

    \[=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}(\cos{(-\pi)}+i\sin{(-\pi)})+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}(\cos{(-4\pi)}+i\sin{(-4\pi)})\right]=\] \[=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[-\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\right].\]
  • Odpověď

    a) Normovaná vlnová funkce má pro \(x\in (0,L)\) tvar \[\psi(x, t=0 \mathrm s)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\left[1+2\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\right].\]

    b) Stav popsaný vlnovou funkcí \(\psi(x)\) lze rozložit na stacionární stavy \(\varphi_n(x)\)

    \[\psi(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\varphi_1(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\varphi_2(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right].\]

    c) Ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi(x)\) je možné naměřit jen energie \[E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2},\] \[E_2=4E_1=\frac{2\pi^2 \hbar^2}{mL^2},\] obě se stejnou pravděpodobností \(\frac{1}{2}\).

    d) Střední hodnota energie ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi(x)\) je \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\frac{5\pi^2 \hbar^2}{4mL^2}.\]

    e) Vlnová funkce v obecném čase \(t\) se vyjádří \[\psi(x, t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\varphi_1(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+\varphi_2(x)\,\mathrm{e}^{-i\frac{4E_1}{\hbar}t}\right] =\frac{1}{\sqrt{L}}\left[\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\,\mathrm{e}^{-i\frac{4E_1}{\hbar}t}\right].\]

    Vlnová funkce v čase \(t=\frac{\pi\hbar}{E_1}\) má tvar \[\psi\left(x, t=\frac{\pi\hbar}{E_1}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\right]=\frac{1}{\sqrt{L}}\left[-\sin{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}+\sin{\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right].\]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze