1D LHO uvnitř kondenzátoru
Úloha číslo: 2292
Lineární harmonický oscilátor s nábojem \(e\) se nachází v čase \(t\rightarrow−\infty\) uvnitř kondenzátoru v základním stavu. Kondenzátor nejprve nabijeme a poté vybijeme. Intenzita elektrického pole uvnitř kondenzátoru \(\mathcal{E}(t)\) je popsána vztahem
\[\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_0e^{−\left(\frac{t}{\tau}\right)^2},\]kde \(\mathcal{E}_0\) a \(\tau\) jsou konstanty. Uvnitř kondenzátoru uvažujte homogenní pole.
Vypočítejte pravděpodobost toho, že v čase \(t\rightarrow\infty\) se bude oscilátor nacházet v excitovaném stavu.
Nápověda 1 – Princip nestacionární poruchové metody
Připomeňte si princip nestacionární poruchové metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Časově konstantní porucha, Řešení nápovědy 1 na její stručné zopakování.
Nápověda 2
V klasické fyzice pro elektrickou sílu \(\vec{F}\) působící na částici s nábojem \(e\) platí
\[\vec{F}=e\vec{\mathcal{E}}=−\mathrm{grad}\,V,\]kde \(\vec{\mathcal{E}}\) je intenzita elektrického pole, \(e\) elementární náboj a \(V\) potenciální energie náboje v elektrickém poli.
Pro jednorozměrný případ platí
\[F=e\mathcal{E}=−\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}V\]a z toho pro homogenní pole s intenzitou \(\mathcal{E}(t)\)
\[V=−e\mathcal{E}(t) x.\]Díky postulátu o fyzikálních veličinách v kvantové mechanice je operátor uvažované poruchy
\[\hat{V}=−e\mathcal{E}(t) \hat{x}.\]Nápověda 3
Vyhledejte tvar vlnové funkce základního, prvního excitovaného a obecně \(n–\)tého stavu pro jednodimenzionální lineární harmonický oscilátor. \(n–\)tý stav zapište pomocí Hermitových polynomů.
Nápověda 4 – Užitečné integrály
Při výpočtu využijeme hodnoty Poissonových integrálů
\[\int_{−\infty}^\infty{e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}},\] \[\int_{−\infty}^\infty{x^2e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^{3}}}.\]Řešení
Nejprve spočtěme, jak přidané elektrostatické pole \(\mathcal{E}(t)\) ovlivní potenciální energii našeho systému. V klasické fyzice vycházíme z rovnice \(\vec{F}=e\vec{\mathcal{E}}=-\mathrm{grad}\,V\), kde \(\vec{F}\) je elektrická síla působící na částici s elementárním nábojem \(e\), \(\vec{\mathcal{E}}\) je intenzita elektrického pole a \(V\) potenciální energie nabité částice v elektrickém poli. A tedy námi uvažovaná porucha, kterou je homogenní elektrické pole uvnitř kondenzátoru, má tvar (pro podrobnější odvození viz Nápověda 2) \[\hat{V}=−e\mathcal{E}(t)\hat{x}.\]
Zajímá nás pravděpodobnost přechodu systému ze základního stavu do n–tého excitovaného stavu vlivem zadané poruchy. Spočítejme proto koeficient \(c_n^{(p)}(t)\), který stojí před vlastním stavem \(\psi_n\) v lineární kombinaci konečného stavu systému v čase \(t\rightarrow \infty\). V prvním řádu poruchové teorie pro nej máme vzorec
\[c_n^{(p)}(t\rightarrow\infty)=\frac{1}{i\hbar}\int_{−\infty}^{\infty}\left\langle\psi_n\Big|\hat{V}(t)\psi_0\right\rangle e^{i\frac{E_n−E_0}{\hbar}t}\, \mathrm{d}t,\]kam dosadíme za operátor poruchy \(\hat{V}=−e\mathcal{E}(t)\hat{x}\) a neporušenou energii \(E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\)
\[c_n^{(p)}(t\rightarrow\infty)=\frac{1}{i\hbar}\int_{−\infty}^{\infty}\left\langle\psi_n\Bigg|-e\mathcal{E}_0\hat{x}e^{−\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}\psi_0\right\rangle e^{i\frac{\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)−\frac{1}{2}\hbar\omega}{\hbar}t}\,\mathrm{d}t=\] \[\frac{-e\mathcal{E}_0}{i\hbar}\int_{−\infty}^{\infty}\left\langle\psi_n|x\psi_0\right\rangle e^{−\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}e^{in\omega t}\,\mathrm{d}t.\]Jelikož \(x\psi_0\) je až na konstantu rovno \(\psi_1\) (viz Nápověda 3), pak skalární součin \[\left\langle\psi_n|x\psi_0\right\rangle\]
je díky ortonormalitě vlastních vlnových funkcí harmonického oscilátoru nenulový pouze pro \(n=1\).
Odvození ještě obecnějšího vztahu naleznete v Harmonický oscilátor (1D) v elektrostatickém poli, Komentář – Řešení přes vlastnosti Hermitových polynomů.
Spočtěme tedy pravděpodobnost přechodu do prvního excitovaného stavu, která je v prvním řádu poruchové teorie jediná nenulová. Pro přehlednost výpočtu si nejprve vypočítáme skalární součin uvnitř integrálu
\[\left\langle\psi_1|x\psi_0\right\rangle=\int_{−\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{2}{x_0\sqrt{\pi}}}\frac{x}{x_0}e^{−\frac{x^2}{2x_{0}^{2}}}\left(-e\mathcal{E}_0x\right)\sqrt{\frac{1}{x_0\sqrt{\pi}}}e^{−\frac{x^2}{2x_{0}^{2}}}\,\mathrm{d}x=\frac{-e\mathcal{E}_0\sqrt{2}}{{x}_0^2\sqrt{\pi}}\int_{−\infty}^{\infty}x^2e^{−\frac{x^2}{x_{0}^{2}}}\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{-e\mathcal{E}_0\sqrt{2}}{{x}_0^2\sqrt{\pi}}\frac{1}{2}\sqrt{\pi{x_0}^6}=\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}.\]Při výpočtu jsme využili známou hodnotu Poissonova integrálu (viz Nápověda 4).
Vraťme se k výpočtu koeficientu \(c_1^{(p)}(t\rightarrow\infty)\)
\[c_1^{(p)}(t\rightarrow\infty)=\frac{1}{i\hbar}\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}\int_{−\infty}^{\infty} e^{−\left(\frac{t}{\tau}\right)^2}e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{i\hbar}\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}\int_{−\infty}^{\infty} e^{−\left(\frac{t}{\tau}−\frac{1}{2}i\omega \tau\right)^2}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{4}}\,\mathrm{d}t.\]Protože v exponenciále je integrovaná proměnná v kvadratickém výrazu, upravili jsme ho na úplný čtverec a provedeme substituci \(z=\left(\frac{t}{\tau}−\frac{1}{2}i\omega \tau\right),\,\mathrm{d}z=\frac{1}{\tau}\mathrm{d}t:\)
\[c_1^{(p)}(t\rightarrow\infty)=\frac{1}{i\hbar}\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{4}}\tau\int_{−\infty}^{\infty} e^{−z^2}\,\mathrm{d}z=\frac{1}{i\hbar}\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{4}}\tau\sqrt{\pi}.\]Z toho určíme pravděpodobnost přechodu
\[P_{0\rightarrow 1}=\left|c_1^{(p)}(t\rightarrow\infty)\right|^2=\left|\frac{1}{i\hbar}\frac{-e\mathcal{E}_0x_0\sqrt{2}}{2}\tau\sqrt{\pi}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{4}}\right|^2=\frac{{x_0}^2\pi\tau^2e^2{\mathcal{E}_0}^2}{2\hbar^2}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{2}}=\frac{\pi\tau^2e^2{\mathcal{E}_0}^2}{2m\omega\hbar}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{2}}.\]Odpověď
Nachází-li se lineární harmonický oscilátor s nábojem \(e\) v čase \(t\rightarrow−\infty\) v základním stavu uvnitř kondenzátoru s homogenním elektrickým polem a je-li intenzita elektrického pole uvnitř kondenzátoru popsána vztahem
\[\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_0e^{−\left(\frac{t}{\tau}\right)^2},\]kde \(\mathcal{E}_0\) a \(\tau\) jsou konstanty, pak pravděpodobost toho, že v čase \(t\rightarrow\infty\) se bude oscilátor nacházet v prvním excitovaném stavu je
\[P_{0\rightarrow 1}=\left|c_1^{(p)}(t\rightarrow\infty)\right|^2=\frac{\pi\tau^2e^2{\mathcal{E}_0}^2}{2m\omega\hbar}e^{−\frac{\omega^2\tau^2}{2}}.\]Do jiných stavů oscilátor vlivem uvedeného pole v rámci prvího řádu poruchové metody přejít nemůže.
