Sbírka řešených úloh

Elektronový a světelný mikroskop

Úloha číslo: 628

• Nápověda

  Podle de Broglieho vztahu  platí mezi vlnovou délkou a hybností částice vztah:

  \[\lambda=\frac{h}{p} ,\]

  kde h = 6,63·10⁻³⁴ Js je Planckova konstanta.

  Energie fotonu  je přímo úměrná jeho frekvenci, tj. nepřímo úměrná jeho vlnové délce.

• Zápis

  λ = 10 pm = 10−11 m	vlnová délka
  Ee = ? (eV)	energie elektronu
  Ef = ? (eV)	energie fotonu

  Z tabulek:

  h = 6,63·10−34 Js	Planckova konstanta
  me = 9,11·10−31 kg	hmotnost elektronu
  c = 3,00·108 m s−1	rychlost světla ve vakuu

• Řešení

  a) Hybnost p_e a vlnová délka λ_e elektronu spolu souvisí podle de Broglieho vztahu:

  \[\lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{e}}} ,\]

  kde h = 6,63·10⁻³⁴ Js je Planckova konstanta.

  Kinetickou energii elektronu E_e určíme z jeho hybnosti p_e

  \[E_{\mathrm{e}}=\frac{p_{\mathrm{e}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{\left(\frac{h}{\lambda_{\mathrm{e}}}\right)^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{h^2}{2m_{\mathrm{e}}\lambda_{\mathrm{e}}^2}=\frac{\left(6{,}63{\cdot}10^{-34}\right)^2}{2{\cdot}9{,}11{\cdot}10^{-31}\cdot\left(10^{-11}\right)^2}\,\mathrm{J}=2{,}4{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}=15\,\mathrm{keV}.\]

   

  b) Energie fotonu E_f se rovná

  \[E_f=hf=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}\cdot3{,}00{\cdot}10^8}{10^{-11}}\,\mathrm{J}=1{,}99{\cdot}10^{-14}\,\mathrm{J}=124\,\mathrm{keV} .\]

   

  c) Prakticky dosažitelnější je elektronový mikroskop – elektrony stačí urychlit napětím 1,5 kV, které není nijak veliké. Ve „světelném“ mikroskopu bychom museli použít velmi tvrdé gama záření (viz elektromagnetické spektrum ), které je jednak obtížně dosažitelné, jednak nebezpečné.

• Odpověď

  Pro dosažení požadované rozlišovací schopnosti by bylo třeba použít elektrony s energií 15 keV nebo fotony s energií 124 keV.