Elektronový a světelný mikroskop

Úloha číslo: 628

Dosažitelná rozlišovací schopnost mikroskopu je dána vlnovou délkou použitých částic. To znamená, že nejmenší detail, který můžeme rozlišit, má velikost přibližně rovnou vlnové délce. Předpokládejme, že chceme vidět dovnitř atomu, který má průměr přibližně 100 pm, tj. chceme rozlišit detaily o velikosti řádově 10 pm.

a) Jakou energii musí mít elektrony, chceme-li použít elektronový mikroskop?

b) Jakou energii musí mít fotony, chceme-li použít světelný mikroskop?

c) Který mikroskop se dá prakticky lépe použít a proč?

  • Nápověda

    Podle de Broglieho vztahu  platí mezi vlnovou délkou a hybností částice vztah:

    \[\lambda=\frac{h}{p} ,\]

    kde h = 6,63·10−34 Js je Planckova konstanta.

    Energie fotonu  je přímo úměrná jeho frekvenci, tj. nepřímo úměrná jeho vlnové délce.

  • Zápis

    λ = 10 pm = 10−11 m vlnová délka
    Ee = ? (eV) energie elektronu
    Ef = ? (eV) energie fotonu

    Z tabulek:

    h = 6,63·10−34 Js Planckova konstanta
    me = 9,11·10−31 kg hmotnost elektronu
    c = 3,00·108 m s−1 rychlost světla ve vakuu
  • Řešení

    a) Hybnost pe a vlnová délka λe elektronu spolu souvisí podle de Broglieho vztahu:

    \[\lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{e}}} ,\]

    kde h = 6,63·10−34 Js je Planckova konstanta.

    Kinetickou energii elektronu Ee určíme z jeho hybnosti pe

    \[E_{\mathrm{e}}=\frac{p_{\mathrm{e}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{\left(\frac{h}{\lambda_{\mathrm{e}}}\right)^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{h^2}{2m_{\mathrm{e}}\lambda_{\mathrm{e}}^2}=\frac{\left(6{,}63{\cdot}10^{-34}\right)^2}{2{\cdot}9{,}11{\cdot}10^{-31}\cdot\left(10^{-11}\right)^2}\,\mathrm{J}=2{,}4{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}=1{,}51\,\mathrm{keV}.\]

     

    b) Energie fotonu Ef se rovná

    \[E_f=hf=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}\cdot3{,}00{\cdot}10^8}{10^{-11}}\,\mathrm{J}=1{,}99{\cdot}10^{-14}\,\mathrm{J}=12{,}4\,\mathrm{keV} .\]

     

    c) Prakticky dosažitelnější je elektronový mikroskop – elektrony stačí urychlit napětím 1,5 kV, které není nijak veliké. Ve „světelném“ mikroskopu bychom museli použít velmi tvrdé gama záření (viz elektromagnetické spektrum ), které je jednak obtížně dosažitelné, jednak nebezpečné.

  • Odpověď

    Pro dosažení požadované rozlišovací schopnosti by bylo třeba použít elektrony s energií 1,51 keV nebo fotony s energií 12,4 keV.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Úloha na výklad, vysvětlení smyslu nebo významu, zdůvodnění
Zaslat komentář k úloze