Částice v „zakázaném“ území
Úloha číslo: 611
Částice o hmotnosti m se pohybuje v poli potenciálu \[V(x)=\frac{1}{2} m\omega^2 x^2 . \] Vlnová funkce základního stavu je
\[ \psi_0(x)=(\pi x^2_0)^{-\frac{1}{4}} \,e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\qquad, \mathrm{kde}\qquad x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} . \]Energie základního stavu je \[E_0=\frac{\hbar \omega}{2}.\]
a) Najděte maximální možnou vzdálenost částice s touto energií od rovnovážné polohy, kterou dovoluje klasická mechanika.
b) S jakou pravděpodobností se částice bude nacházet za touto vzdáleností podle kvantové mechaniky?
Při výpočtu můžete využít znalost integrálů
\[\hspace{30px}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t =\sqrt{\pi}\ \] a \[ \ \int_0^1 e^{-t^2} \,\mbox{d}t \dot{=} 0{,}84 \,\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,^{\,*)} . \]
\(*)\) Tuto hodnotu můžeme spočítat buď numericky rozkladem funkce v řadu, následnou integrací člen po členu a započtením několik prvních relevantních členů nebo s využitím některého matematického programu.
Nápověda k a)
Z pohledu klasické mechaniky je rovnovážná poloha v bodě x = 0 a částice se nemůže dostat do místa s větší potenciální energií, než je její vlastní energie.
Řešení a)
Částice se může z rovnovážné polohy v bodě x = 0 maximálně vychýlit do polohy xmax takové, že její potenciální energie
\[\frac{1}{2}m\omega^2 x_{\mbox{max}}^2 = \frac{\hbar \omega}{2},\]což je celková energie, kterou má částice k dispozici. Z tohoto vztahu už snadno dostaneme, že
\[x_{\mbox{max}}=\pm \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}=\pm x_0. \]Nápověda k b)
Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu
\[ P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x . \]Řešení b)
Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu
\[ P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x .\]Vzhledem k symetrii zadané vlnové funkce \(\psi_0(x)\) můžeme psát
\[P= 2 \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x, \] \[P=2 \int_{x_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0} \,e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \ \mbox{d}x =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t,\tag{♠}\]kde jsme použili substituci \(t=\frac{x}{x_0}.\)
Dále využijeme hodnoty integrálů uvedených v zadání úlohy. Platí
\[\int_0^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2},\]proto je
\[\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\int_0^\infty e^{-t^2}-\int_0^1 e^{-t^2}\,\dot{=}\frac{\sqrt{\pi}}{2}-0{,}84 \,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2} .\]Dosazením této hodnoty do vztahu (♠) dostáváme
\[P\,\dot{=}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16 .\]Odpovědi
a) Z pohledu klasické mechaniky se částice může z rovnovážné polohy vychýlit nejvýše do vzdálenosti x0.
b) Při kvantově mechanickém popisu situace se částice v klasicky „zakázaném“ území nachází s pravděpodobností asi 16 %.
