Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Částice v „zakázaném“ území

Úloha číslo: 611

Částice o hmotnosti m se pohybuje v poli potenciálu V(x)=12mω2x2. Vlnová funkce základního stavu je

ψ0(x)=(πx20)14ex22x20,kdex0=mω.

Energie základního stavu je E0=ω2.

 

a) Najděte maximální možnou vzdálenost částice s touto energií od rovnovážné polohy, kterou dovoluje klasická mechanika.

b) S jakou pravděpodobností se částice bude nacházet za touto vzdáleností podle kvantové mechaniky?

 

Při výpočtu můžete využít znalost integrálů

et2dt=π  a  10et2dt˙=0,84π2).

 

) Tuto hodnotu můžeme spočítat buď numericky rozkladem funkce v řadu, následnou integrací člen po členu a započtením několik prvních relevantních členů nebo s využitím některého matematického programu.

  • Nápověda k a)

    Z pohledu klasické mechaniky je rovnovážná poloha v bodě x = 0 a částice se nemůže dostat do místa s větší potenciální energií, než je její vlastní energie.

  • Řešení a)

    Částice se může z rovnovážné polohy v bodě x = 0 maximálně vychýlit do polohy xmax takové, že její potenciální energie

    12mω2x2max=ω2,

    což je celková energie, kterou má částice k dispozici. Z tohoto vztahu už snadno dostaneme, že

    xmax=±mω=±x0.
  • Nápověda k b)

    Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

    P=x0|ψ0(x)|2dx+x0|ψ0(x)|2dx.
  • Řešení b)

    Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

    P=x0|ψ0(x)|2dx+x0|ψ0(x)|2dx.

    Vzhledem k symetrii zadané vlnové funkce ψ0(x) můžeme psát

    P=2x0|ψ0(x)|2dx, P=2x01πx0ex2x20 dx=2π1et2dt,

    kde jsme použili substituci t=xx0.

     

    Dále využijeme hodnoty integrálů uvedených v zadání úlohy. Platí

    0et2dt=12et2dt=π2,

    proto je

    1et2dt=0et210et2˙=π20,84π2=0,16π2.

    Dosazením této hodnoty do vztahu (♠) dostáváme

    P˙=2π0,16π2=0,16.
  • Odpovědi

    a) Z pohledu klasické mechaniky se částice může z rovnovážné polohy vychýlit nejvýše do vzdálenosti x0.

    b) Při kvantově mechanickém popisu situace se částice v klasicky „zakázaném“ území nachází s pravděpodobností asi 16 %.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze