Sbírka řešených úloh

Částice v „zakázaném“ území

Úloha číslo: 611

• Nápověda k a)

  Z pohledu klasické mechaniky je rovnovážná poloha v bodě x = 0 a částice se nemůže dostat do místa s větší potenciální energií, než je její vlastní energie.

• Řešení a)

  Částice se může z rovnovážné polohy v bodě x = 0 maximálně vychýlit do polohy x_max takové, že její potenciální energie

  $$\frac{1}{2}m\omega^2 x_{\mbox{max}}^2 = \frac{\hbar \omega}{2},$$

  což je celková energie, kterou má částice k dispozici. Z tohoto vztahu už snadno dostaneme, že

  $$x_{\mbox{max}}=\pm \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}=\pm x_0.$$

• Nápověda k b)

  Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x₀ od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

  $$P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x .$$

• Řešení b)

  Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x₀ od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

  $$P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x .$$

  Vzhledem k symetrii zadané vlnové funkce $\psi_0(x)$ můžeme psát

  $$P= 2 \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x,$$ $$P=2 \int_{x_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0} \,e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \ \mbox{d}x =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t,\tag{♠}$$

  kde jsme použili substituci $t=\frac{x}{x_0}.$

   

  Dále využijeme hodnoty integrálů uvedených v zadání úlohy. Platí

  $$\int_0^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2},$$

  proto je

  $$\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\int_0^\infty e^{-t^2}-\int_0^1 e^{-t^2}\,\dot{=}\frac{\sqrt{\pi}}{2}-0{,}84 \,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2} .$$

  Dosazením této hodnoty do vztahu (♠) dostáváme

  $$P\,\dot{=}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16 .$$

• Odpovědi

  a) Z pohledu klasické mechaniky se částice může z rovnovážné polohy vychýlit nejvýše do vzdálenosti x₀.

  b) Při kvantově mechanickém popisu situace se částice v klasicky „zakázaném“ území nachází s pravděpodobností asi 16 %.