Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Částice v „zakázaném“ území
Úloha číslo: 611
Částice o hmotnosti m se pohybuje v poli potenciálu V(x)=12mω2x2. Vlnová funkce základního stavu je
ψ0(x)=(πx20)−14e−x22x20,kdex0=√ℏmω.Energie základního stavu je E0=ℏω2.
a) Najděte maximální možnou vzdálenost částice s touto energií od rovnovážné polohy, kterou dovoluje klasická mechanika.
b) S jakou pravděpodobností se částice bude nacházet za touto vzdáleností podle kvantové mechaniky?
Při výpočtu můžete využít znalost integrálů
∫∞−∞e−t2dt=√π a ∫10e−t2dt˙=0,84√π2∗).
∗) Tuto hodnotu můžeme spočítat buď numericky rozkladem funkce v řadu, následnou integrací člen po členu a započtením několik prvních relevantních členů nebo s využitím některého matematického programu.
Nápověda k a)
Z pohledu klasické mechaniky je rovnovážná poloha v bodě x = 0 a částice se nemůže dostat do místa s větší potenciální energií, než je její vlastní energie.
Řešení a)
Částice se může z rovnovážné polohy v bodě x = 0 maximálně vychýlit do polohy xmax takové, že její potenciální energie
12mω2x2max=ℏω2,což je celková energie, kterou má částice k dispozici. Z tohoto vztahu už snadno dostaneme, že
xmax=±√ℏmω=±x0.Nápověda k b)
Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu
P=∫−x0−∞|ψ0(x)|2dx+∫∞x0|ψ0(x)|2dx.Řešení b)
Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu
P=∫−x0−∞|ψ0(x)|2dx+∫∞x0|ψ0(x)|2dx.Vzhledem k symetrii zadané vlnové funkce ψ0(x) můžeme psát
P=2∫∞x0|ψ0(x)|2dx, P=2∫∞x01√πx0e−x2x20 dx=2√π∫∞1e−t2dt,kde jsme použili substituci t=xx0.
Dále využijeme hodnoty integrálů uvedených v zadání úlohy. Platí
∫∞0e−t2dt=12∫∞−∞e−t2dt=√π2,proto je
∫∞1e−t2dt=∫∞0e−t2−∫10e−t2˙=√π2−0,84√π2=0,16√π2.Dosazením této hodnoty do vztahu (♠) dostáváme
P˙=2√π0,16√π2=0,16.Odpovědi
a) Z pohledu klasické mechaniky se částice může z rovnovážné polohy vychýlit nejvýše do vzdálenosti x0.
b) Při kvantově mechanickém popisu situace se částice v klasicky „zakázaném“ území nachází s pravděpodobností asi 16 %.