Částice v „zakázaném“ území

Úloha číslo: 611

Částice o hmotnosti m se pohybuje v poli potenciálu \[V(x)=\frac{1}{2} m\omega^2 x^2 . \] Vlnová funkce základního stavu je

\[ \psi_0(x)=(\pi x^2_0)^{-\frac{1}{4}} \,e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\qquad, \mathrm{kde}\qquad x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} . \]

Energie základního stavu je \[E_0=\frac{\hbar \omega}{2}.\]

 

a) Najděte maximální možnou vzdálenost částice s touto energií od rovnovážné polohy, kterou dovoluje klasická mechanika.

b) S jakou pravděpodobností se částice bude nacházet za touto vzdáleností podle kvantové mechaniky?

 

Při výpočtu můžete využít znalost integrálů

\[\hspace{30px}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t =\sqrt{\pi}\ \] a \[ \ \int_0^1 e^{-t^2} \,\mbox{d}t \dot{=} 0{,}84 \,\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,^{\,*)} . \]

 

\(*)\) Tuto hodnotu můžeme spočítat buď numericky rozkladem funkce v řadu, následnou integrací člen po členu a započtením několik prvních relevantních členů nebo s využitím některého matematického programu.

  • Nápověda k a)

    Z pohledu klasické mechaniky je rovnovážná poloha v bodě x = 0 a částice se nemůže dostat do místa s větší potenciální energií, než je její vlastní energie.

  • Řešení a)

    Částice se může z rovnovážné polohy v bodě x = 0 maximálně vychýlit do polohy xmax takové, že její potenciální energie

    \[\frac{1}{2}m\omega^2 x_{\mbox{max}}^2 = \frac{\hbar \omega}{2},\]

    což je celková energie, kterou má částice k dispozici. Z tohoto vztahu už snadno dostaneme, že

    \[x_{\mbox{max}}=\pm \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}=\pm x_0. \]
  • Nápověda k b)

    Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

    \[ P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x . \]
  • Řešení b)

    Pravděpodobnost výskytu částice ve vzdálenosti větší než x0 od rovnovážné polohy v bodě x = 0 spočteme v kvantové mechanice podle vztahu

    \[ P=\int_{-\infty}^{-x_0} |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x \,+ \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x .\]

    Vzhledem k symetrii zadané vlnové funkce \(\psi_0(x)\) můžeme psát

    \[P= 2 \int_{x_0}^\infty |\psi_0(x)|^2 \,\mbox{d}x, \] \[P=2 \int_{x_0}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0} \,e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \ \mbox{d}x =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t,\tag{♠}\]

    kde jsme použili substituci \(t=\frac{x}{x_0}.\)

     

    Dále využijeme hodnoty integrálů uvedených v zadání úlohy. Platí

    \[\int_0^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2},\]

    proto je

    \[\int_1^\infty e^{-t^2} \,\mbox{d}t=\int_0^\infty e^{-t^2}-\int_0^1 e^{-t^2}\,\dot{=}\frac{\sqrt{\pi}}{2}-0{,}84 \,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2} .\]

    Dosazením této hodnoty do vztahu (♠) dostáváme

    \[P\,\dot{=}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,0{,}16\,\frac{\sqrt{\pi}}{2}= 0{,}16 .\]
  • Odpovědi

    a) Z pohledu klasické mechaniky se částice může z rovnovážné polohy vychýlit nejvýše do vzdálenosti x0.

    b) Při kvantově mechanickém popisu situace se částice v klasicky „zakázaném“ území nachází s pravděpodobností asi 16 %.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze