Sbírka řešených úloh

Systém energetických hladin atomu vodíku

Úloha číslo: 4335

• Nápověda

  Jaký je vztah pro energii elektronu v atomu vodíku?

• Řešení nápovědy

  Elektron se v atomu vodíku může nacházet v různých stavech, kterým odpovídají různé hodnoty energie. Tyto stavy jsou označovány hlavním kvantovým číslem n, které může nabývat hodnot n = 1, 2, 3...

  Stav s nejnižší hodnotou energie E₁ = −13,6 eV se nazývá základní stav. Stavy s vyššími hodnotami energie než je energie základního stavu se nazývají excitované stavy, jejich energie je dána vztahem \[E_{\mathrm{n}}=\frac{E_1}{n^2} .\] Vidíme, že energie elektronu vázaného v atomu vodíku je kvantovaná – elektron nemůže mít libovolnou energii, ale pouze některou z diskrétních hodnot energie povolených vztahem výše.

• Nápověda 2 – záporná energie

  Uvědomte si nejprve na příkladu klasické částice v elektrostatickém poli, jak souvisí potenciální energie elektrostatického pole se vzdáleností, do kterých se může částice s danou celkovou energií dostat. Stavy s takovou energií, kdy částice nemůže uniknout příliš daleko, nazýváme vázané stavy.

  Jaký je průběh potenciální energie částice s nábojem e v elektrostatickém poli tvořeném jádrem atomu vodíku?

• Řešení nápovědy 2

  Potenciální energie v klasické i kvantové mechanice „omezuje“ pohyb částice a „vymezuje“ tak oblast, do které se částice s danou energií může dostat.

  Uvažujme nejprve klasickou částici v elektrostatickém poli, které je tvořeno kladným nábojem jádra atomu vodíku. Na obrázku níže je průběh potenciální energie elektrostatického pole v závislosti na vzdálenosti od jádra. Částice s celkovou energií E_A by se podle klasické fyziky mohla dostat nejdále do vzdálenosti r_A od jádra. Na to, aby unikla dále od jádra, nemá dostatečnou energii. V klasické fyzice by tak vázaným stavům odpovídaly stavy s takovou energií, která částici neumožňuje uniknout příliš daleko. Naproti tomu částice s celkovou enegrií E_B by měla dostatečnou energii na to, aby unikla do libovolné vzdálenosti od jádra. Takové stavy označujeme jako tzv. rozptylové stavy.

  

  Potenciální energie je určena až na konstantu. Hladinu nulové potenciální energie si tak můžeme zvolit libovolně. Nejčastější a přirozená volba je volba nulové hodnoty potenciální energie v nekonečnu. Potenciální energie částice s nábojem e v elektrostatickém poli má průběh daný vztahem \[V(r) = -k\frac{e^2}{r} + c \,,\] kde c je libovolná konstanta. Při volbě \(V(\infty) = 0\) bude mít známý tvar \[V(r) = -k\frac{e^2}{r} \,.\] Díky této volbě odpovídají vázaným stavům záporné hodnoty energie a rozptylovým stavům nezáporné hodnoty energie. Tato volba navíc odpovídá tomu, že energie vázaných stavů systému je energie, kterou musíme částici dodat, abychom ji ze systému uvolnili.

  Uvažujme nyní elektron v elektrostatickém poli jádra atomu vodíku. V kvantové mechanice je situace stejná s tím rozdílem, že elektron se může dostat i do oblastí, kam to podle klasické fyziky nejde. Tyto oblasti ale nejsou příliš velké, pravděpodobnost nalezení elektronu v klasicky zakázané oblasti rychle klesá, takže vázaným stavům (tj. stavům kdy se elektron „zdržuje“ jen v blízkosti jádra), také odpovídají záporné energie. Kladné energie by pak odpovídaly elektronu, který může uniknout do libovolné vzdálenosti od jádra, tj. elektronu, který „prolétá kolem jádra“ a není už součástí atomu.

  Zásadní rozdíl mezi kvantovým a klasickým případem spočívá v tom, že v kvantovém případě vázané stavy existují jen pro některé diskrétní hodnoty energie, nikoli pro všechny.

• Řešení

  Energie elektronu v atomu vodíku je dána vztahem \[ E_n = \frac{E_1}{n^2} ,\] kde E₁ = −13,6 eV je energie základního stavu atomu vodíku. Číslo n je hlavní kvantové číslo, které může nabývat hodnot n = 1, 2, 3, ...

  Pro první excitovaný stav s kvantovým číslem n = 2 po dosazení dostaneme \[ E_2 = \frac{E_1}{2^2}  = \frac{-13{,}6 \,\text{eV}}{4} = -3{,}4 \,\text{eV} ,\] pro třetí excitovaný stav s kvantovým číslem n = 3 dostaneme \[ E_3 = \frac{E_1}{3^2}  = \frac{-13{,}6 \,\text{eV}}{9} = -1{,}51 \,\text{eV} .\] Podobně vypočteme hodnoty energie pro další hlavní kvantová čísla. Energie prvních několika stavů atomu vodíku jsou vypočteny v tabulce níže.

  hlavní kvantové číslo n	energie En
  n = 1	−13,6 eV
  n = 2	−3,4 eV
  n = 3	−1,51 eV
  n = 4	−0,85 eV
  n = 5	−0,54 eV
  n = 6	−0,38 eV

  Hodnoty energií těchto stavů vyneseme na svislou energetickou osu jako na obrázku níže.

  

  Energie E₁, E₂, E₃, ... na obrázku odpovídají vázaným stavům elektronu v atomu vodíku. Je vidět, že s rostoucím n energie roste jako \(-\frac{1}{n^2}\), energetické hladiny se zahušťují a limitně se přibližují k hladině s nulovou energií.

  Stavy s nezápornou energií by pak odpovídaly elektronu, který „prolétá“ kolem. Tato energie už není kvantovaná, takový elektron může mít libovonou (kladnou) energii.

  Energie vázaných stavů je záporná díky volbě nulové hodnoty potenciální energie v nekonečnu, viz Nápovědu 2. Absolutní hodnota energie vázaných stavů elektronu v atomu vodíku \(\vert E_n \vert\) je energie, kterou musíme elektronu dodat, aby došlo k jeho uvolnění z atomu (tzv. „ionizační energie“).

• Odpověď

  Energetické hladiny atomu vodíku jsou znázorněny na obrázku v Řešení.

  Energie vázaných stavů elektronu v atomu vodíku je záporná díky tomu, že jsme zvolili nulovou hodnotu potenciální energie v nekonečnu, jde tedy o naši volbu.

• Odkaz

  Podobným problémem se zabývá také úloha Energetické hladiny atomu vodíku.