Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Systém energetických hladin atomu vodíku

Úloha číslo: 4335

Načrtněte na svislou energetickou osu hodnoty povolených energií, tzv. energetické hladiny atomu vodíku. Jak je možné, že je energie záporná?
  • Nápověda

    Jaký je vztah pro energii elektronu v atomu vodíku?
  • Nápověda 2 – záporná energie

    Uvědomte si nejprve na příkladu klasické částice v elektrostatickém poli, jak souvisí potenciální energie elektrostatického pole se vzdáleností, do kterých se může částice s danou celkovou energií dostat. Stavy s takovou energií, kdy částice nemůže uniknout příliš daleko, nazýváme vázané stavy.

    Jaký je průběh potenciální energie částice s nábojem e v elektrostatickém poli tvořeném jádrem atomu vodíku?

  • Řešení

    Energie elektronu v atomu vodíku je dána vztahem \[ E_n = \frac{E_1}{n^2} ,\] kde E1 = −13,6 eV je energie základního stavu atomu vodíku. Číslo n je hlavní kvantové číslo, které může nabývat hodnot n = 1, 2, 3, ...

    Pro první excitovaný stav s kvantovým číslem n = 2 po dosazení dostaneme \[ E_2 = \frac{E_1}{2^2}  = \frac{-13{,}6 \,\text{eV}}{4} = -3{,}4 \,\text{eV} ,\] pro třetí excitovaný stav s kvantovým číslem n = 3 dostaneme \[ E_3 = \frac{E_1}{3^2}  = \frac{-13{,}6 \,\text{eV}}{9} = -1{,}51 \,\text{eV} .\] Podobně vypočteme hodnoty energie pro další hlavní kvantová čísla. Energie prvních několika stavů atomu vodíku jsou vypočteny v tabulce níže.

    hlavní kvantové číslo n energie En
    n = 1 −13,6 eV
    n = 2 −3,4 eV
    n = 3 −1,51 eV
    n = 4 −0,85 eV
    n = 5 −0,54 eV
    n = 6 −0,38 eV

    Hodnoty energií těchto stavů vyneseme na svislou energetickou osu jako na obrázku níže.

    Systém energetických hladin atomu vodíku

    Energie E1, E2, E3, ... na obrázku odpovídají vázaným stavům elektronu v atomu vodíku. Je vidět, že s rostoucím n energie roste jako \(-\frac{1}{n^2}\), energetické hladiny se zahušťují a limitně se přibližují k hladině s nulovou energií.

    Stavy s nezápornou energií by pak odpovídaly elektronu, který „prolétá“ kolem. Tato energie už není kvantovaná, takový elektron může mít libovonou (kladnou) energii.

    Energie vázaných stavů je záporná díky volbě nulové hodnoty potenciální energie v nekonečnu, viz Nápovědu 2. Energie vázaných stavů elektronu v atomu vodíku je energie, kterou musíme elektronu dodat, aby došlo k jeho uvolnění z atomu (tzv. „ionizační energie“).

  • Odpověď

    Energetické hladiny atomu vodíku jsou znázorněny na obrázku v Řešení.

    Energie vázaných stavů elektronu v atomu vodíku je záporná díky tomu, že jsme zvolili nulovou hodnotu potenciální energie v nekonečnu, jde tedy o naši volbu.

  • Odkaz

    Podobným problémem se zabývá také úloha Energetické hladiny atomu vodíku.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená graficky
Zaslat komentář k úloze