Moment hybnosti a hamiltonián
Úloha číslo: 4338
a) Určete komutátory \(\left [\hat L_z, \hat r^2 \right ]\) a \(\left [\hat L_z, \hat p^2 \right ]\), kde \(\hat r^2 = \hat x^2 + \hat y^2 + \hat z^2\) a \(\hat p^2 = \hat p_x^2 + \hat p_y^2 + \hat p_z^2\). Výsledek zobecněte i pro ostatní složky momentu hybnosti.
b) Ukažte, že v případě sféricky symetrického potenciálu \(\hat {V} \left (\vec r \right )\) hamiltonián \(\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \hat V\) komutuje se všemi složkami momentu hybnosti.
Nápověda
Připomeňte si pravidla pro počítání komutátorů a zjednodušování komutátorů složených operátorů.
Řešení a)
Nejdříve si v komutátoru rozepíšeme \(\hat r^2\) na součet kvadrátů operátorů souřadnic. Poté zjednodušíme komutátor složených operátorů
\[ \left [\hat L_z, \hat r^2 \right ] = \left [\hat L_z, \hat x^2 + \hat y^2 + \hat z^2 \right ] = \left [\hat L_z, \hat x^2 \right ] + \left [\hat L_z, \hat y^2 \right ] + \left [\hat L_z, \hat z^2 \right ] = \] \[ = \hat x \left [\hat L_z, \hat x \right ] + \left [\hat L_z, \hat x \right ] \hat x + \hat y \left [\hat L_z, \hat y \right ] + \left [\hat L_z, \hat y \right ] \hat y + \hat z \left [\hat L_z, \hat z \right ] + \left [\hat L_z, \hat z \right ] \hat z \, . \]Hodnoty všech komutátorů výše známe z úlohy Komutátory se složkou momentu hybnosti, Řešení a) – c). Můžeme tedy dosadit a upravit, čímž získáme výsledek
\[ \left [\hat L_z, \hat r^2 \right ] = \hat x \left (i \hbar \hat y \right ) + \left (i \hbar \hat y \right ) \hat x + \hat y \left (-i \hbar \hat x \right ) + \left (-i \hbar \hat x \right ) \hat y + \hat z \cdot 0 + 0 \cdot \hat z = \] \[ = i \hbar \left (\hat x \hat y + \hat y \hat x - \hat y \hat x - \hat x \hat y \right ) = 0 \, . \]V případě komutátoru \(\left [\hat L_z, \hat p^2 \right ]\) je postup zcela analogický, proto jej zde uvedeme stručněji
\[ \left [\hat L_z, \hat p^2 \right ] = \hat p_x \left [\hat L_z, \hat p_x \right ] + \left [\hat L_z, \hat p_x \right ] \hat p_x + \hat p_y \left [\hat L_z, \hat p_y \right ] + \left [\hat L_z, \hat p_y \right ] \hat p_y + \hat p_z \left [\hat L_z, \hat p_z \right ] + \left [\hat L_z, \hat p_z \right ] \hat p_z \, . \]Hodnoty všech komutátorů výše známe z úlohy Komutátory se složkou momentu hybnosti, Řešení d) – f). Můžeme tedy dosadit a upravit, čímž získáme výsledek
\[ \left [\hat L_z, \hat p^2 \right ] = i \hbar \left (\hat p_x \hat p_y + \hat p_y \hat p_x - \hat p_y \hat p_x - \hat p_x \hat p_y \right ) = 0 \, . \]Jelikož jsou osy \(x\) a \(y\) rovnocenné s osou \(z\), není žádný fyzikální důvod, aby byly komutační relace pro složky \(\hat L_x\) a \(\hat L_y\) odlišné. Všechny složky momentu hybnosti tedy komutují s operátory \(\hat r^2\) a \(\hat p^2\).
Detailní výpočet těchto komutátorů pro \(i\)–tou složku momentu hybnosti naleznete na konci této úlohy v sekci Moment hybnosti a hamiltonián, Komentář – obecně zapsaný výpočet části a).
Řešení b)
Z části a) víme, že všechny složky momentu hybnosti komutují s operátory \(\hat r^2\) a \(\hat p^2\).
Operátor kinetické energie \(\hat T = \frac{\hat p^2}{2m}\) se liší od operátoru druhé mocniny hybnosti pouze konstantou \(\frac{1}{2m}\), která komutativitu neovlivní. Složky momentu hybnosti tedy komutují s kinetickou energií.
Jelikož uvažujeme sféricky symetrický potenciál, závisí operátor potenciální energie \(\hat V\) pouze na \(r\). Nyní si uvědomíme, že \(r\) je vlastně \(\sqrt{r^2}\). Jelikož složky momentu hybnosti komutují s \(\hat r^2\), komutují i s libovolnou funkcí \(\hat r^2\). Z toho plyne, že komutují i s operátorem potenciální energie \(V \left (\sqrt{\hat r^2} \right )\).
Vzhledem k tomu, že všechny složky momentu hybnosti komutují s operátory kinetické a potenciální energie, komutují i s jejich součtem. V důsledku toho všechny složky momentu hybnosti komutují s hamiltoniánem.
Odpověď
a) Všechny složky momentu hybnosti komutují s operátory \(\hat r^2\) a \(\hat p^2\).
b) Jelikož všechny složky momentu hybnosti komutují s operátory \(\hat r^2\) a \(\hat p^2\), komutují i s hamiltoniánem.
Komentář – obecně zapsaný výpočet části a)
Pro \(j\)-tou složku momentu hybnosti jsou výpočty velmi podobné jako složku \(z\)-ovou. Operátor \(\hat r^2\) si s využitím Einsteinovy sumační konvence zapíšeme jako \(\hat r^2 = \hat x_k \, \hat x_k\). Nyní dosadíme do komutátoru a zjednodušíme
\[ \left [\hat L_j, \hat r^2 \right ] = \left [\hat L_j, \hat x_k \, \hat x_k \right ] = \hat x_k \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] + \left [\hat L_j, \hat x_k \right ] \hat x_k \, . \]Hodnotu tohoto komutátoru známe z úlohy Komutátory se složkou momentu hybnosti, Řešení j) – l). Můžeme tedy dosadit a upravit
\[ \left [\hat L_j, \hat r^2 \right ] = \hat x_k i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l + i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l \hat x_k \, . \]Ve druhém členu přeznačíme index \(k\) na \(l\) a index \(l\) přeznačíme na \(k\). Díky tomu můžeme vytknout a upravit, čímž dostaneme výsledek
\[ \left [\hat L_j, \hat r^2 \right ] = \hat x_k i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat x_l + i \hbar \varepsilon_{jlk} \hat x_k \hat x_l = i \hbar \hat x_k \hat x_l \left (\varepsilon_{jkl} + \varepsilon_{jlk} \right ) = \] \[ = i \hbar \hat x_k \hat x_l \left (\varepsilon_{jkl} - \varepsilon_{jkl} \right ) = 0 \, . \]Analogicky je tomu pro komutátor \(\left [\hat L_j, \hat p^2 \right ]\). Úpravami získáme komutátory tvaru \(\left [\hat L_j, \hat p_k \right ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat p_l\). Výpočet tohoto komutátoru naleznete ve stejné úloze jako výše. Výpočet po dosazení je rovněž analogický, proto ho zde uvedeme stručněji
\[ \left [\hat L_j, \hat p^2 \right ] = \hat p_k \left [\hat L_j, \hat p_k \right ] + \left [\hat L_j, \hat p_k \right ] \hat p_k = \] \[ = i \hbar \hat p_k \hat p_l \left (\varepsilon_{jkl} + \varepsilon_{jlk} \right ) = i \hbar \hat p_k \hat p_l \left (\varepsilon_{jkl} - \varepsilon_{jkl} \right ) = 0 \, . \]
