Elektron mezi kulovými plochami
Úloha číslo: 618
Elektron v základním stavu atomu vodíku je popsán vlnovou funkcí
\[ \psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\, e^{-\frac{r}{a}} ,\]kde \( a=\frac{\hbar^2 4\pi\epsilon_0}{m_e Q_e^2}\) je tzv. Bohrův poloměr.
Určete pravděpodobnost, že se takový elektron nachází mezi kulovými
plochami o poloměrech a a 2a.
Začátek řešení
Pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu vodíku nachází mezi kulovými plochami o poloměrech a a 2a, je rovna
\[P=\int_a^{2a} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\psi(r)|^2\, r^2\, \sin\theta\, \mbox{d}\theta\, \mbox{d}\varphi\, \mbox{d}r .\]Po dosazení dostáváme
\[P= \int_a^{2a} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{r^2}{\pi a^3}\,e^{-\frac{2r}{a}}\, \sin\theta\, \mbox{d}\theta\, \mbox{d}\varphi\, \mbox{d}r .\]Díky separovatelnosti proměnných můžeme tento trojný integrál upravit na součin tří jednoduchých integrálů:
\[P=\int_0^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_0^\pi\sin\theta\, \mbox{d}\theta \int_a^{2a} \frac{r^2}{\pi a^3}\,e^{-\frac{2r}{a}}\,\mbox{d}r .\]Nápověda - jak integrovat
Dospěli jste při výpočtu pravděpodobnosti k integrálu, s kterým si neumíte poradit? Zkuste dvakrát po sobě aplikovat metodu per partes (nebo se podívejte, jak takové řešení vypadá).
Pokračování řešení
Došli jsme k tomu, že pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu vodíku nachází mezi kulovými plochami o poloměrech a a 2a, je rovna
\[P=\int_0^{2\pi} \,\mbox{d}\varphi \int_0^\pi\sin\theta\,\mbox{d}\theta \int_a^{2a} \frac{r^2}{\pi a^3}\,e^{-\frac{2r}{a}}\,\mbox{d}r .\]Integrály přes oba úhly jsou velmi jednoduché a integrál přes r lze po substituci \(x=-\frac{2r}{a}\) spočítat metodou per partes (detailně viz nápověda). Dostáváme tak
\[P=2\pi\,\cdot\,\left[-\cos \theta\right]_0^{\pi}\,\cdot\,\left(-\frac{1}{8\pi}\right)\,\left[e^x\,\left( x^2\,-\,2x\,+\,2 \right)\right]_{-2}^{-4} , \] \[P=2\pi\,\cdot\,2\,\cdot\,\left(-\frac{1}{8\pi}\right)\,\cdot\,\left(26e^{-4}\,-\,10e^{-2}\right) ,\] \[P=5e^{-2}\,-\,13e^{-4}\,\dot{=}\,\,44\,\%\,.\]Odpověď
Pravděpodobnost, že se elektron v základním stavu atomu vodíku nachází mezi kulovými plochami o poloměrech a a 2a, je asi 44 %.
Odkaz
Velmi podobnou situaci řeší také úloha Elektron vně koule této sbírky.
