Skládání operátorů
Úloha číslo: 727
a) Spočtěte kvadrát operátoru \(\hat A={\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}+x\).
b) Spočtěte třetí mocninu operátoru \({\hat B}={\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} + {1 \over x}\).
c) Zjednodušte operátor \({\hat C}=\left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}x \right)^2 - \left( x{\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \right)^2\).
Řešení a)
Za hledaný operátor si připíšeme libovolnou funkci f, na kterou působí a dosadíme definici operátoru \(\hat A\)
\[{\hat A}^2 f =\left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}+x \right) \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}+x \right)f = \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}+x \right) \left( {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x}+xf \right) = \]roznásobíme závorky a provedeme derivaci
\[ = {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2} +x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + {\mathrm{d} xf \over \mathrm{d} x} + x^2 f = {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2} +2x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + (1+x^2) f \,,\]z čehož plyne, že
\[{\hat A}^2 = {\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d} x^2} +2x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} +1+x^2 \,.\]Řešení b)
Budeme postupovat podobně jako v úkolu a)
\[{\hat B}^3 f =\left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} + {1 \over x} \right) \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} + {1 \over x} \right) \left( {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + {f \over x} \right) = \] \[ = \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} + {1 \over x} \right) \left( {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2} + {1 \over x}{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + {\mathrm{d} \frac{f}{x} \over \mathrm{d} x} + {f \over x^2} \right) = \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} + {1 \over x} \right) \left( {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2} + {2 \over x}{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} \right) =\]a ještě jednou roznásobíme a upravíme
\[ = {\mathrm{d}^3 f \over \mathrm{d} x^3} + {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( {2 \over x}{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x}\right) + {1 \over x} {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2} + {2 \over x^2}{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} = {\mathrm{d}^3 f \over \mathrm{d} x^3} + {3 \over x} \, {\mathrm{d}^2 f \over \mathrm{d} x^2}\,,\]z čehož plyne, že
\[{\hat B}^3 = {\mathrm{d}^3 \over \mathrm{d} x^3} + {3 \over x} \, {\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d} x^2} \,.\]Řešení c)
I v tomto úkolu si připíšeme za operátor funkci f, abychom lépe viděli na co působí derivace
\[{\hat C} f = \left(\left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}x \right)^2 - \left( x{\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \right)^2 \right) f = {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left(x {\mathrm{d} xf\over \mathrm{d} x} \right) -x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left(x {\mathrm{d}f \over \mathrm{d} x}\right) = \]provedeme derivace a upravíme
\[= {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \left( xf + x^2{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} \right) - x\left({\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} + x {\mathrm{d^2} f \over \mathrm{d} x^2} \right) = f + x{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} +2x{\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x}+x^2{\mathrm{d^2} f \over \mathrm{d} x^2} -x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} - x^2 {\mathrm{d^2} f \over \mathrm{d} x^2} = 2x {\mathrm{d} f \over \mathrm{d} x} +f \,,\]z čehož plyne, že
\[{\hat C} = 2x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} +1 \,.\]Odpověď
a) \({\hat A}^2 = {\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d} x^2} +2x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} +1+x^2\)
b) \({\hat B}^3 = {\mathrm{d}^3 \over \mathrm{d} x^3} + {3 \over x} \, {\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d} x^2}\)
c) \({\hat C} = 2x {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} +1\)
