Sbírka řešených úloh

Složky spinu a kvadrát velikosti spinu

Úloha číslo: 4333

• Nápověda

  Připomeňte si tvar operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x, \, y, \, z\) s využitím Pauliho matic.

  Dále si připomeňte komutační relace složek momentu hybnosti.

• Řešení nápovědy

  Operátor \(\hat{\vec{S}}\) spinu \(\frac{1}{2}\) má tvar

  \[ \hat{\vec{S}} = \left ( \hat S_x, \hat S_y, \hat S_z \right ) = \frac{\hbar}{2} \left ( \hat \sigma_x, \hat \sigma_y, \hat \sigma_z \right ) = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&−i \\ i&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&−1 \end{pmatrix} \right ) \, , \]

  kde \(\hat{\vec{\sigma}} = \left (\hat \sigma_x, \hat \sigma_y, \hat \sigma_z \right )\) jsou Pauliho matice. Jednotlivé složky operátoru \(\hat{\vec{S}}\) odpovídají průmětům spinu \(\frac{1}{2}\) do jednotlivých os.

  Komutační relace složek momentu hybnosti mají tvar \(\left [ \hat L_i, \hat L_j \right ] = i \hbar \varepsilon _{ijk} \hat L_k\). Detailní výpočet těchto komutačních relací naleznete v úloze Komutátory se složkou momentu hybnosti, Řešení j) – l).

• Řešení a)

  Abychom mohli porovnat tvary komutačních relací pro složky spinu a pro složky momentu hybnosti, musíme určit komutátor složek spinu. Ten si upravíme pomocí Pauliho matic, což nás dovede ke vztahu

  \[ \left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = \left [ \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_i, \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_j \right ] = \frac{{\hbar}^2}{4} \left [ \hat \sigma_i, \hat \sigma_j \right ] \, . \]

  Pro Pauliho matice platí komutační relace ve tvaru \(\left [ \hat{\sigma}_i, \hat{\sigma}_j \right ] = 2i \varepsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k\). Detailní výpočet této skutečnosti naleznete v úloze Pauliho matice, Řešení b), přičemž součiny konkrétních dvojic Pauliho matic naleznete v téže úloze v sekci Pauliho matice, Řešení a). Dosadíme tedy tuto hodnotu a upravíme

  \[ \left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = \frac{{\hbar}^2}{4} 2i \varepsilon_{ijk} \hat \sigma_k = i \hbar \varepsilon_{ijk} \, \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_k = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k \, . \]

  Celkově tedy mají komutační relace pro složky spinu \(\frac{1}{2}\) tvar \(\left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k\).

  Jelikož komutační relace složek momentu hybnosti mají tvar \(\left [ \hat L_i, \hat L_j \right ] = i \hbar \varepsilon _{ijk} \hat L_k\), ověřili jsme tímto, že složky spinu splňují stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti.

• Řešení b)

  K určení operátoru kvadrátu velikosti spinu si jej rozepíšeme jako součet operátorů kvadrátů jednotlivých složek, které upravíme s využitím Pauliho matic

  \[ \hat S^2 = \hat S^2_x + \hat S^2_y + \hat S^2_z = \frac{\hbar ^2}{4} \left ( \hat \sigma^2_x + \hat \sigma^2_y + \hat \sigma^2_z \right ) \, . \]

  Nyní pouze roznásobíme druhé mocniny Pauliho matic a sečteme, čímž obdržíme výsledek

  \[ \hat S^2 = \frac{\hbar ^2}{4} \left [ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&−i \\ i&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&−i \\ i&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&−1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&−1 \end{pmatrix} \right ] = \] \[ = \frac{\hbar ^2}{4} \left [ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \right ] = \frac{3 \hbar ^2}{4} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E} \, . \]

  Celkově tedy platí \(\hat S^2 = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E}\), kde \(\hat{\mathbb{E}}\) je jednotková matice \(2 \times 2\).

• Odpověď

  a) Komutační relace pro složky spinu jsou \(\left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k\). Splňují tedy stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti.

  b) Kvadrát velikosti spinu je \(\hat S^2 = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E}\), kde \(\hat{\mathbb E}\) je jednotková matice \(2 \times 2\).