Složky spinu a kvadrát velikosti spinu

Úloha číslo: 4333

a) Ověřte, že složky spinu \(\frac{1}{2}\) splňují stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti.

b) Vypočtěte operátor kvadrátu velikosti spinu \(\hat S^2\).

  • Nápověda

    Připomeňte si tvar operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x, \, y, \, z\) s využitím Pauliho matic.

    Dále si připomeňte komutační relace složek momentu hybnosti.

  • Řešení a)

    Abychom mohli porovnat tvary komutačních relací pro složky spinu a pro složky momentu hybnost, musíme určit komutátor složek spinu. Ten si upravíme pomocí Pauliho matic, což nás dovede ke vztahu

    \[ \left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = \left [ \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_i, \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_j \right ] = \frac{{\hbar}^2}{4} \left [ \hat \sigma_i, \hat \sigma_j \right ] \, . \]

    Pro Pauliho matice platí komutační relace ve tvaru \(\left [ \hat{\sigma}_i, \hat{\sigma}_j \right ] = 2i \varepsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k\). Detailní výpočet této skutečnosti naleznete v úloze Pauliho matice, Řešení b), přičemž součiny konkrétních dvojic Pauliho matic naleznete v téže úloze v sekci Pauliho matice, Řešení a). Dosadíme tedy tuto hodnotu a upravíme

    \[ \left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = \frac{{\hbar}^2}{4} 2i \varepsilon_{ijk} \hat \sigma_k = i \hbar \varepsilon_{ijk} \, \frac{\hbar}{2} \hat \sigma_k = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k \, . \]

    Celkově tedy mají komutační relace pro složky spinu \(\frac{1}{2}\) tvar \(\left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k\).

    Jelikož komutační relace složek momentu hybnosti mají tvar \(\left [ \hat L_i, \hat L_j \right ] = i \hbar \varepsilon _{ijk} \hat L_k\), ověřili jsme tímto, že složky spinu splňují stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti.

  • Řešení b)

    K určení operátoru kvadrátu velikosti spinu si jej rozepíšeme jako součet operátorů kvadrátů jednotlivých složek, které upravíme s využitím Pauliho matic

    \[ \hat S^2 = \hat S^2_x + \hat S^2_y + \hat S^2_z = \frac{\hbar ^2}{4} \left ( \hat \sigma^2_x + \hat \sigma^2_y + \hat \sigma^2_z \right ) \, . \]

    Nyní pouze roznásobíme druhé mocniny Pauliho matic a sečteme, čímž obdržíme výsledek

    \[ \hat S^2 = \frac{\hbar ^2}{4} \left [ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&−i \\ i&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&−i \\ i&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&−1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&−1 \end{pmatrix} \right ] = \] \[ = \frac{\hbar ^2}{4} \left [ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \right ] = \frac{3 \hbar ^2}{4} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E} \, . \]

    Celkově tedy platí \(\hat S^2 = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E}\), kde \(\hat{\mathbb{E}}\) je jednotková matice \(2 \times 2\).

  • Odpověď

    a) Komutační relace pro složky spinu jsou \(\left [ \hat S_i, \hat S_j \right ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k\). Splňují tedy stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti.

    b) Kvadrát velikosti spinu je \(\hat S^2 = \frac{3 \hbar ^2}{4} \hat{\mathbb E}\), kde \(\hat{\mathbb E}\) je jednotková matice \(2 \times 2\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze