Sbírka řešených úloh

Superpozice dvou vlastních stavů

Úloha číslo: 672

Částice se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L:

V(x) = 0 pro |x| ≤ L/2 a V(x) → ∞ pro |x| > L/2.

Její stav v čase t = 0 popisuje vlnová funkce, která je superpozicí funkce základního a prvního excitovaného stavu:

$$\psi(x,\,t=0)=A \left[ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,-\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,.$$

1) Určete normovací konstantu A.

2) Napište předpis pro normovanou vlnovou funkci ψ(x, t) pro tuto částici včetně její časové závislosti.

3) Určete střední hodnotu energie částice v obecném čase t.

4) Určete pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází

a) někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy,

b) v pravé části jámy (0 < x < L/2),

c) v prostřední části jámy (|x| < L/4).

• Nápověda k 1

  Co to znamená normovat vlnovou funkci (jde-li o funkci jedné souřadnicové proměnné x?

• Řešení nápovědy k 1

  Normovat vlnovou funkci ψ(x) znamená určit volitelnou multiplikativní konstantu tak, aby úhrnná pravděpodobnost výskytu částice kdekoli na ose x byla rovna 1. Matematicky řečeno – integrál z hustoty pravděpodobnosti, tj. z kvadrátu absolutní hodnoty vlnové funkce musí být roven 1:

  $$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,\mbox{d}x=1\,.$$

• Řešení 1

  Mimo interval <−L/2, L/2> je vlnová funkce identicky rovna nule. Dle normovací podmínky tedy musí platit

  $$1=\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,\,t=0)|^2 \,\mbox{d}x=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} |\psi(x,\,t=0)|^2 \,\mbox{d}x\,,$$ $$1=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} A^2 \,\left[ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,-\, \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]^2 \,\mbox{d}x\,,$$ $$\frac{1}{A^2}=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[ \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,-\,2\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\, \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,.$$

  Dále užitím vztahu pro sinus dvojnásobného argumentu a vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu (a vynásobením celé rovnice dvěma) dostáváme

  $$\frac{2}{A^2}=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[2\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\,-\,8\,\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,,$$

  $$\frac{2}{A^2}=\left[2x\,+\,\frac{L}{2\pi}\, \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{L}{4\pi}\, \sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\,+\,\frac{8L}{3\pi}\,\cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\,,$$

  $\frac{2}{A^2}=2L\,,$ odkud již plyne $A=\frac{1}{\sqrt{L}}\,.$

• Nápověda ke 2

  Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě? Jaké jim odpovídají energie? Jak vypadá časová závislost těchto stacionárních stavů?

• Řešení nápovědy ke 2

  Normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě jsou

  $\hspace{40px}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ pro n lichá a

  $\hspace{40px}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ pro n sudá.

  Jim odpovídají energie $E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$.

  (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

   

  Z řešení časové části Schrödingerovy rovnice vyplývá závislost stacionárních stavů na čase přes faktor $e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}$.

  (Podrobnější vysvětlení najdete např. v knize SKÁLA, L. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.)

• Řešení 2

  Výše jsme zjistili, že normovaná vlnová funkce popisující stav částice v čase t = 0 má tvar

  $$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,-\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,.$$

  Zkušený řešitel v ní již vidí lineární kombinaci prvních dvou stacionárních stavů pro případ částice v potenciálové jámě našeho typu.

  Časovou závislost nyní získáme snadno doplněním faktoru $e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\,$ k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 1, a faktoru $e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\,$ k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 2. Výsledná vlnová funkce, zahrnující krom závislosti na poloze částice také časovou závislost, tak nabývá tvaru

  $$\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\right]$$

  neboli

  $$\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}}\right]\,,$$

  kde $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$.

• Nápověda ke 3 – střední hodnota veličiny

  Jak se v kvantové mechanice určují střední hodnoty fyzikálních veličin? Jak určíme střední hodnotu energie, je-li operátorem energie hamiltonián $\hat{H}$?

• Řešení nápovědy ke 3

  Střední hodnotu veličiny A určujeme jako skalární součin $\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A}\psi\rangle$.

  Střední hodnota energie se tedy vypočítá jako $\langle E \rangle = \langle \psi | \hat{H} \psi\rangle$.

• Řešení 3 – první verze (z definice)

  Uvědomíme-li si, že operátorem energie je tzv. Hamiltonův operátor, potom střední hodnotu energie $\langle E(t) \rangle$ v čase t spočteme z definice jako

  $$\langle E(t) \rangle = \langle \hat{H} \rangle = \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \psi*(x,\,t) \,\hat{H}\psi(x,\,t) \,\mbox{d}x\,,$$ $$\langle E(t) \rangle =$$ $$=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{\frac{iE_2 t}{\hbar}}\right] \,\cdot\,\hat{H}\,\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\right]\,\mbox{d}x\,.$$

  Uvědomme si, že pro vlastní funkce hamiltoniánu platí $\hat{H}\psi_n(x,\,t)=E_n\psi_n(x,\,t)\,.$

  Po roznásobení se navíc uprostřed výše uvedeného integrálu objeví kombinace $\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)$, což je součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu. Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto můžeme integrál dále počítat bez nich. Zjednoduší se na

  $$\langle E(t) \rangle = \frac{1}{L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[ E_1 \,\cos^2 \left( \frac{\pi x}{L} \right) \,+\, E_2 \,\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right] \,\mbox{d}x\,.$$

  Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu upravíme výraz do tvaru

  $$\langle E(t) \rangle = \frac{E_1}{2L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[1\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x \,+\, \frac{E_2}{2L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[1\,-\,\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,,$$

  $$\langle E(t) \rangle = \frac{E_1}{2L}\,\left[x\,+\,\frac{L}{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \,+\, \frac{E_2}{2L}\,\left[x\,-\,\frac{L}{4\pi}\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\,,$$

  $$\langle E(t) \rangle = \frac{E_1}{2L}\,\cdot\,L \,+\,\frac{E_2}{2L}\,\cdot\,L\,,$$

  $$\langle E(t) \rangle = \frac{1}{2} \,E_1 \,+\, \frac{1}{2} \,E_2\,,$$

  $\langle E(t) \rangle= \frac{5}{2}\,E_1\,,$ kde $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$.

• Nápověda ke 3 – rozklad do báze ortogonálních funkcí

  Můžeme při výpočtu střední hodnoty energie využít faktu, že vlastní funkce hamiltoniánu tvoří ortogonální systém?

• Řešení nápovědy ke 3

  Střední hodnota energie se podle definice vypočítá jako $\langle E \rangle = \langle \psi | \hat{H} \psi\rangle$. Konkrétně pro vlnovou funkci $\psi(x,\,t)$ závislou na souřadnici a čase je

  $$\langle E(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,\,t) \,\hat{H}\psi(x,\,t)\,\mbox{d}x\,.$$

  Pokud si vlnovou funkci $\psi(x,\,t)$ vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí $\psi_n(x,\,t)$ operátoru $\hat{H}$, $\psi(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \psi_n(x,\,t)$, můžeme díky linearitě operátoru $\hat{H}$ psát

  $$\langle E(t) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a^*_n \psi^*_n(x,\,t)\sum_{m=1}^{\infty}a_m \,\hat{H}\psi_m(x,\,t)\,\mbox{d}x\,,$$ $$\langle E(t) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a^*_n \psi^*_n(x,\,t)\sum_{m=1}^{\infty}a_m \,E_m\psi_m(x,\,t)\,\mbox{d}x\,,$$ $$\langle E(t) \rangle = \sum_{m,n=1}^{\infty} E_m \,a_n^* \,a_m \int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*(x,\,t) \,\psi_n(x,\,t) \,\mbox{d}x\,,$$

  což se díky ortogonalitě systému vlastních funkcí hamiltoniánu, resp. ortonormalitě systému normovaných vlastních funkcí hamiltoniánu zjednoduší na

  $$\langle E(t) \rangle =\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^2 E_n\,.$$

  Dojít k tomuto vztahu dalo trochu práce, zato si ho ale nyní již můžeme pamatovat a příště už po něm rovnou sáhnout.

• Řešení 3 – druhá verze (z ortogonálního rozkladu)

  V řešení předcházející nápovědy jsme odvodili, že pokud vlnovou funkci $\psi(x,\,t)$ vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí $\psi_n(x,\,t)$ operátoru $\hat{H}\,,$ $$\psi(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \psi_n(x,\,t)\,,$$ je střední hodnota energie částice v libovolném čase t rovna

  $$\langle E(t) \rangle =\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^2 E_n.$$

   

  Jak jsme připomněli v řešení nápovědy ke 2, stacionární stavy částice v dané potenciálové jámě jsou popsány funkcemi

  $\psi_n(x,\,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}$ pro n lichá a

  $\psi_n(x,\,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}$ pro n sudá.

  Jim odpovídají energie $$E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.$$

   

  V úkolu 2) jsme našli předpis pro vlnovou funkci v obecném čase t:

  $$\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\right]\,.$$

  Platí $$\psi(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\,,$$

  což je lineární kombinace normovaných vlnových funkcí prvních dvou stacionárních stavů:

  $$\psi(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\psi_1(x,\,t)\,-\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\psi_2(x,\,t)\,,$$

  je proto

  $$\langle E(t) \rangle = \sum_{n=1}^{2} E_n |a_n|^2=E_1 |a_1|^2 \,+\, E_2 |a_2|^2\,,$$ $$\langle E(t) \rangle = E_1 \,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\, E_2 \,\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\,,$$ $$\langle E(t) \rangle = \frac{1}{2} \,E_1 \,+\, \frac{1}{2} \,E_2 = \frac{5}{2}\,E_1\,,$$ kde $$E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.$$

• Nápověda ke 4

  Stav částice, jejíž pohyb je vázán na úsečku <-L/2, L/2>, je v čase t je popsán vlnovou funkcí

  $$\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\,-\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}}\right]\,.$$

  Pravděpodobnost výskytu částice na intervalu (a,b) je rovna integrálu hustoty pravděpodobnosti (tj. čtverce absolutní hodnoty vlnové funkce ψ(x,t)) přes tento interval.

• Řešení 4

  a) Pravděpodobnost výskytu částice na obecném intervalu (a,b) uvnitř jámy je

  $$P=P(x\in (a,\,b),\,t)=\int_a^b |\psi(x,\,t)|^2\,\mbox{d}x\,,$$ $$P=\int_a^b \frac{1}{L}\,\left|\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} -\, \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}}\right|^2 \,\mbox{d}x\,,$$ $$P=\frac{1}{L}\int_a^b \left[\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,+\, \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,-\,\frac{1}{L}\,\int_a^b 2\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\,\mbox{d}x\,.$$

  Dále užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu a vztahu pro sinus dvojnásobného argumentu dostáváme

  $$P=\frac{1}{2L}\int_a^b \left[2\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,-\,\frac{4}{L}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\int_a^b \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,,$$

  což po zintegrování dává

  $$P=\frac{1}{2L}\,\left[2x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_a^b \,+ \,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,.$$

   

  b) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (0, L/2) získáme dosazením do výsledku a):

  $$P=\frac{1}{2L}\,\left[2x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{L/2} \,+\,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{L/2}\,,$$ $$P=\frac{1}{2}\,-\,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\,.$$

  Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem.
  Oscilujemezi hodnotami $\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{4}{3\pi}\,\dot{=}\, 0{,}08$ a $\,\frac{1}{2}\,+\,\frac{4}{3\pi}\,\dot{=}\, 0{,}92$.

  Maxima dosahuje v časech $$t_{max}=\frac{(2k+1)\pi\hbar}{3E_1}$$ a minima v časech $t_{min}=\frac{2k\pi\hbar}{3E_1}$, kde k = 0, 1, 2, ... a $E_1=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$.

   

  c) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (−L/4, L/4) získáme dosazením do výsledku a):

  $$P= \frac{1}{2L}\,\left[2x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{-L/4}^{L/4} \,+\,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{-L/4}^{L/4},$$

  $$P=\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{2\pi}\,\dot{=}\, 0{,}66$$ .

  Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy je nezávisle na čase rovna přibližně 66 %. Časová nezávislost je u nestacionárního stavu spíše výjimečná (jak je vidět z obecného řešení v části a)). Zde je důsledkem symetrie zvoleného intervalu vzhledem ke středu jámy.

• Odpovědi

  1) Normovací konstanta je rovna $A=\frac{1}{\sqrt{L}}$.

   

  2) Vlnová funkce

  $$\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,-\,\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}}\right]\,,$$

  kde $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.$

   

  3) Střední hodnota energie částice v libovolném čase t je rovna $\langle E(t) \rangle = \frac{5}{2}\,E_1\,,$ kde $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.$ Výsledek je v souladu se zákonem zachování energie, který v kvantové mechanice říká, že pro časově nezávislý hamiltonián je také střední hodnota $\langle \hat{H}\rangle$ nezávislá na čase.

   

  4a) Pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy, je rovna

  $$P=\frac{1}{2L}\,\left[2x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_a^b \,+\,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,.$$

   

  4b) Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy na intervalu (0, L/2) je rovna

  $$P=\frac{1}{2}\,-\,\frac{4}{3\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\,.$$

  Osciluje mezi hodnotami $\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{4}{3\pi}$ a $\,\frac{1}{2}\,+\,\frac{4}{3\pi}$, tj. mezi 8 % a 92 %.

  Maxima dosahuje v časech $t_{\mbox{max}}=\frac{(2k+1)\pi\hbar}{3E_1}$ a minima v časech $t_{\mbox{min}}=\frac{2k\pi\hbar}{3E_1}$, k = 0, 1, 2, ..., kde $E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.$

   

  4c) Pravděpodobnost výskytu částice v prostřední části jámy na intervalu (-L/4, L/4) je v libovolném čase t rovna $\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{2\pi}$, což je asi 66 %.

  Časová nezávislost je u nestacionárního stavu spíše výjimečná (jak je vidět z obecného řešení v části a)). Zde je důsledkem symetrie zvoleného intervalu vzhledem ke středu jámy.

• Odkaz

  Podobný problém se řeší také v úlohách Superpozice tří vlastních stavů a Nestacionární stav 1 této sbírky.