Potenciálová jáma typu delta funkce
Úloha číslo: 711
Částice o hmotnosti m se pohybuje v jednom rozměru, kde je potenciální energie popsána vztahem V(x) = −aδ(x), kde δ(x) je Diracova delta funkce*. Jedná se o zvláštní případ potenciálové jámy. Pohyb částice je takový, že není třeba uvažovat relativistické efekty.
Uvažujme částici, která se nachází ve vázaném stavu. Najděte hodnotu x0 takovou, že pravděpodobnost výskytu dané částice v oblasti |x| < x0 je rovna přesně 50 %.
* Více o Diracově delta funkci například zde na české wikipedii.
Nápověda 1
Co to znamená, že částice je ve vázaném stavu?
Řešení Schrödingerovy rovnice
Schrödingerova rovnice má v daném případě tvar
\[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\,-a\delta(x)\right]\,\psi(x)=E\psi(x)\,,\]což efektivně zahrnuje rovnici
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\,\psi(x)=E\psi(x)\]pro x ≠ 0, jejíž řešení splňující vazebné podmínky \(\lim_{x \rightarrow \infty}\psi(x)=0\) jsou
\(\psi(x)=Ae^{kx}\) pro \(x\,<\,0\) a
\(\psi(x)=Ae^{-kx}\) pro \(x\,>\,0\,,\)
kde \(k=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}}\) a \(A\) je vhodná normovací konstanta.
Vzhledem k vyžadované spojitosti vlnové funkce v nule musí být
\[\psi(0)=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\psi(x)=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\psi(x)=A\,.\]Vzhledem k nekonečnému potenciálovému skoku v bodě x = 0 zde nepožadujeme spojitost derivace vlnové funkce.
Nápověda 2
Zkuste zintegrovat výše uvedenou Schrödingerovu rovnici od \(-\epsilon\) do \(+\epsilon\). Diracova delta funkce je rovna nule pro všechna x ≠ 0, proto je zajímavé zkoumat celý problém právě na okolí nuly (číslo \(\epsilon\) zde chápeme jako velmi malé).
Řešení – 1. část
Zintegrováním Schrödingerovy rovnice
\[\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mbox{d^2}}{\mbox{d}x^2}\,-a\delta(x)\right]\,\psi(x)=E\psi(x)\]v mezích od \(-\epsilon\) do \(+\epsilon\) dostaneme
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\,\left[\frac{\mbox{d}\psi(x)}{\mbox{d}x}\right]_{-\epsilon}^{+\epsilon}\,-\,a\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\delta(x)\psi(x)\,\mbox{d}x=E\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\tag{1}\]Jelikož je
\(\hspace{35px}\psi(x)=Ae^{kx}\) pro \(x\,<\,0\,\) a
\(\hspace{35px}\psi(x)=Ae^{-kx}\) pro \(x\,>\,0\,,\)
kde \(k=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^2}}\) a \(A\) je vhodná normovací konstanta, je derivace vlnové funkce rovna
\(\hspace{35px}\frac{\mbox{d}\psi(x)}{\mbox{d}x}=kAe^{kx}\) pro \(x\,<\,0\,\) a
\(\hspace{35px}\frac{\mbox{d}\psi(x)}{\mbox{d}x}=-kAe^{-kx}\) pro \(x\,>\,0\,.\)
Tyto derivace můžeme dosadit do rovnice (1) a dostáváme tak rovnici
\[-\frac{\hbar^2}{m}\,kAe^{k\epsilon}-\,a\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\delta(x)\psi(x)\,\mbox{d}x=E\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\tag{2}\]Nápověda 3
Již víme, že dosud neznámá konstanta A je limitou a hodnotou vlnové funkce v bodě x = 0. Spolu s tím, co víme o chování delta funkce, by mohlo být užitečné zkoumat limitní chování předchozích vztahů v nule. Pro Schrödingerovu rovnici zintegrovanou od \(-\epsilon\) do \(+\epsilon\) proto proveďte limitu \(\epsilon \rightarrow 0\).
Řešení – 2. část
Nejprve si uveďme dva vztahy, které použijeme
Z definice delta funkce platí \(\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\delta(x)\psi(x)\,\mbox{d}x=\psi(0)=A\).
Z vlastností integrálu platí \(\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\,\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\psi(x)\,\mbox{d}x=0\).
Limitováním rovnice (2) z předchozí části řešení
\[\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left(\,-\frac{\hbar^2}{m}\,kAe^{k\epsilon}\,-\,a\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\delta(x)\psi(x)\,\mbox{d}x=E\int_{-\epsilon} ^{+\epsilon}\psi(x)\,\mbox{d}x\,\right)\]tak dojdeme ke vztahu
\[-\frac{\hbar^2}{m}\,kA\,-\,aA=0\,,\] odkud \[k=-\frac{ma}{\hbar^2}\,.\]Nyní již můžeme souhrnně zapsat předpis pro vlnovou funkci
\[\psi(x)=Ae^{-\frac{ma}{\hbar^2}|x|}\]a zbývá určit hodnotu normovací konstanty \(A\).
Vzhledem k symetrii problému je
\[\int_{-\infty}^{\infty} |A|^2 \,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}|x|} \,\mbox{d}x=2\int_{0}^{\infty} |A|^2 \,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}|x|} \,\mbox{d}x =\] \[= 2|A|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}x} \,\mbox{d}x\,.\]Požadujeme
\[2|A|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}x} \,\mbox{d}x=1\,,\] \[2|A|^2 \,\left[-\frac{\hbar^2}{2ma}\,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}x}\right]_{0}^{\infty}=1\,,\] \[2|A|^2\,\frac{\hbar^2}{2ma}=1\,,\] \[|A|^2 = \frac{ma}{\hbar^2}\,,\]takže můžeme volit např.
\[A=\sqrt{\frac{ma}{\hbar^2}}\,.\]Nyní již máme vlnovou funkce zcela kompletní
\[\psi(x)=\sqrt{\frac{ma}{\hbar^2}}\,e^{-\frac{ma}{\hbar^2}|x|}\,.\]Řešení – 3. část
Pravděpodobnost, že se částice, jejíž stav je popsán vlnovou funkcí
\[\psi(x)=\sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}\,e^{-\frac{ma}{\hbar^2}|x|}\,,\]nachází na intervalu (−x0, x0), je rovna
\[P=\int_{-x_0}^{x_0}|\psi(x)|^2\,\mbox{d}x\,.\]Dosadíme tedy nalezenou vlnovou funkci
\[P= \int_{-x_0}^{x_0}\frac{ma}{\hbar^2}\,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}|x|}\,\mbox{d}x\]a integrál spočítáme
\[P=2 \int_{0}^{x_0}\frac{ma}{\hbar^2}\,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}x}\,\mbox{d}x\,,\] \[P=\frac{2ma}{\hbar^2}\left[ -\frac{\hbar^2}{2ma}\,e^{-\frac{2ma}{\hbar^2}x}\right]_0^{x_0}\,,\] \[P=-e^{-\frac{2m a }{\hbar^2}x_0}+\,1\,.\]Hledáme takové x0, aby pro něj platilo \(P=\frac{1}{2}\), tj.
\[P=-e^{-\frac{2m a }{\hbar^2}x_0}+\,1=\frac{1}{2}\,.\]Odtud vyjádříme postupně x0
\[e^{-\frac{2m a }{\hbar^2}x_0}=\frac{1}{2}\,,\] \[-\frac{2m a }{\hbar^2}x_0=\ln\,{\frac{1}{2}}=-\ln\,2\,,\] \[x_0=\frac{\hbar^2}{2ma}\,\ln\,2\,.\]Odpověď
Částice o hmotnosti m v oblasti s potenciální energií V(x) = −aδ(x) se nachází na intervalu (−x0, x0) s pravděpodobností 50 % právě tehdy, když je \(x_0=\frac{\hbar^2}{2ma}\,\ln\,2\).
