Sbírka řešených úloh

Spinový stav daný úhlem θ

Úloha číslo: 2284

• Nápověda 1

  Vyhledejte tvar operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(z\) a vypočtěte nebo vyhledejte jeho vlastní čísla a příslušné vlastní vektory.

• Řešení nápovědy 1

  Operátor průmětu spinu do osy \(z\), jeho vlastní čísla \(\lambda\) a příslušné vlastní vektory jsou

  \[\hat{S_z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}, \,\,\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2},\] \[|z+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\,\, |z−\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2

  Vyhledejte si výraz pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny \(F\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 2

  Střední hodnota fyzikální veličiny \(F\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\) je

  \[\left\langle F\right\rangle_{\psi}=\frac{\left\langle\psi| \hat{F}\psi\right\rangle}{\left\langle \psi|\psi\right\rangle},\]

  kde \(\hat{F}\) je operátor příslušné fyzikální veličiny.

• Nápověda 3

  Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 3

  Je-li stav popsán normovanou vlnovou funkcí \(\psi\), kterou rozložíme na lineární kombinaci navzájem kolmých a normovaných vlastních vlnových funkcí \(\psi_i\) operátoru \(\hat{F}\), tj.

  \[\psi=\sum_{i}c_i\psi_i,\]

  tak pravděpodobnost \(P_{\lambda_i}\) naměření vlastního čísla \(\lambda_i\) (příslušný vlastní stav je popsán vlnovou funkcí \(\psi_i\)) je roven

  \[P_{\lambda_i}=|c_i|^2.\]

• Řešení

  Operátor průmětu spinu do osy \(z\), jeho vlastní čísla \(\lambda\) a příslušné vlastní vektory jsou

  \[\hat{S_z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}, \,\,\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2},\] \[|z+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\,\, |z−\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

  Uvažovaný stav rozepíšeme do lineární kombinace vlastních stavů operátoru průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(z\)

  \[\psi=\begin{pmatrix} \mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}=\mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+\mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right)\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)|z+\rangle+\mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right)|z−\rangle.\]

  Operátor průmětu spinu do osy \(z\) má vlastní čísla \(\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2}\), což jsou jediné možné naměřitelné hodnoty.

  Zkontrolujme normovanost spinoru

  \[\left\langle\psi|\psi\right\rangle=\begin{pmatrix} \mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)& \mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}=\mathrm{cos}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+\mathrm{sin}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=1,\]

  a tedy je stav popsán spinorem v normovaném tvaru a pravděpodobnosti naměření hodnot \(S_z\) jsou

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}=\mathrm{cos}^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\] \[P_{−\frac{\hbar}{2}}=\mathrm{sin}^2\left(\frac{\theta}{2}\right).\]

  Vidíme, že součet pravděpodobností naměření hodnot \(\frac{\hbar}{2}\) a \(−\frac{\hbar}{2}\) dá vždy jedničku. Toto je další způsob, jak zkontrolovat normovanost spinoru.

  Ve speciálním případě, kdy \(\theta=2k\pi\), naměříme pouze hodnotu příslušnou vlastnímu vektoru \(\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\), tedy \(\frac{\hbar}{2}\).

  Ve speciálním případě, kdy \(\theta=(2k+1)\pi\), naměříme pouze hodnotu příslušnou vlastnímu vektoru \(\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\), tedy \(−\frac{\hbar}{2}\).

   

  Nyní určíme střední hodnotu průmětu spinu do osy \(z\) dosazením do

  \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\frac{\left\langle\psi\Big| \hat{S_z}\psi\right\rangle}{\left\langle \psi|\psi\right\rangle},\]

  kde víme z předchozích výpočtů že \(\left\langle \psi|\psi\right\rangle=1\), tedy

  \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\left\langle\begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}\Bigg|\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}\right\rangle=\begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)& \mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ −\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}=\] \[=\frac{\hbar}{2}\left(\mathrm{cos}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)−\mathrm{sin}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)=\frac{\hbar}{2}\cos \theta.\]

  Ve speciálním případě, kdy \(\theta=2k\pi\), je střední hodnota průmětu spinu do osy \(z\) rovna kladnému průmětu, naměříme tedy pouze hodnotu příslušnou vlastnímu vektoru \(\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\), tedy \(\frac{\hbar}{2}\).

  Ve speciálním případě, kdy \(\theta=(2k+1)\pi\), je střední hodnota průmětu spinu do osy \(z\) rovna zápornému průmětu, naměříme tedy pouze hodnotu příslušnou vlastnímu vektoru \(\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\), tedy \(−\frac{\hbar}{2}\).

  Ve speciálním případě, kdy \(\theta=\frac{(2k+1)\pi}{2}\), je střední hodnota průmětu spinu do osy \(z\) rovna nule.

   

  V optice a elektrodynamice jste se setkali se zákonem, který popisoval intenzitu lineárně polarizovaného světla (elektromagnetické vlny), které prošlo lineárním polarizačním filtrem, v závislosti na úhlu, který svírá směr polarizátoru a původní směr polarizace světla. Tento zákon, tzv. Malusův, má tvar

  \[I=I_0\cos^2\theta,\]

  kde \(I_0\) je počáteční intenzita světla (elektromagnetické vlny), \(I\) je intenzita prošlého světla a \(\theta\) je již zmíněný úhel. Pokud polarizačí filtry svírají úhel \(\frac{\pi}{4}\), tak prošlé světlo bude mít poloviční intenzitu. Pokud zařídím, že mi v případě spinu analyzátorem projdou jen kladné průměty, pak abych docílil podobného výsledku, musí bý úhel dvojnásobný \(\frac{\pi}{2}\). Svírají-li polarizátory úhel \(\frac{\pi}{2}\), pak žádné světlo neprojde. V případě spinu (stále uvažujeme pouze kladné průměty) nastavíme pro stejný efekt úhel \(\pi\).

• Odpověď

  Vlastní čísla \(\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2}\) operátoru \(\hat{S}_z\) jsou jediné možné naměřitelné hodnoty \(S_z\).

  Uvažujeme-li částici ve stavu \[\psi=\begin{pmatrix} \mathrm{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \mathrm{sin}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix},\]

  pak jsou pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot \(S_z\)

  \[P_{\frac{\hbar}{2}}=\mathrm{cos}^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\,\,P_{−\frac{\hbar}{2}}=\mathrm{sin}^2\left(\frac{\theta}{2}\right).\]

  Střední hodnota \(S_z\) ve stavu \(\psi\) je

  \[\left\langle S_z\right\rangle_{\psi}=\frac{\hbar}{2}\mathrm{cos}\theta.\]