Moment hybnosti částice na kružnici
Úloha číslo: 616
Částice vázaná na kružnici je příkladem kvantového systému se zajímavými vlastnostmi. Tento hypotetický model nachází uplatnění například při vysvětlení Hückelova pravidla pro stabilitu molekul aromatických uhlovodíků.
V úloze Vlastní stavy částice na kružnici jsme zjistili, že stacionární stavy takové částice popisují vlnové funkce
\[\hspace{30px}\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} ,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Ověřte, že tyto funkce jsou zároveň vlastními funkcemi operátoru z-ové složky momentu hybnosti pro částici, která se pohybuje v rovině xy po kružnici o poloměru R, a určete vlastní hodnoty tohoto operátoru.
Nápověda 1 – operátor momentu hybnosti
Jak vypadá operátor z-ové složky momentu hybnosti ve sférických souřadnicích? Najít ho můžete například na str. 34 ve skriptu Kvantová mechanika pro učitele od Oldřicha Bílka a Vojtěcha Kapsy, dostupném online na adrese http://physics.mff.cuni.cz/kchfo/kapsa/skriptaKM/km.pdf.
Nápověda 2 – rovnice
Řešte problém vlastních čísel operátoru \(\hat{L}_z\)
\[\hat{L}_z\psi(\varphi)=l_z\psi(\varphi) .\]Řešení
Operátor z-ové složky momentu hybnosti je v našem případě roven
\[\hspace{50px}\hat{L}_z=-i\hbar\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi}.\]
Dosaďme zkusmo do rovnice
\[\hspace{50px}\hat{L}_z\psi(\varphi)=l_z\psi(\varphi)\]
pro vlastní čísla operátoru \(\hat{L}_z\) funkce ψm(φ) a snadno uvidíme, že platí
\[-i\hbar\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\right)=m\hbar \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}\right) ,\]takže ψm(φ) jsou současně vlastními funkcemi operátorů \(\hat{L}_z\) i \(\hat{H}\) a vlastní čísla z-ové složky momentu hybnosti jsou
\[\hspace{50px}l_z = m\hbar ,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Odpověď
Ověřili jsme, že funkce
\[\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} ,\] m = 0, ±1, ±2, ... ,
jsou opravdu vlastními funkcemi operátoru z-ové složky momentu hybnosti pro částici, která se pohybuje v rovině xy po kružnici o poloměru R.
Vlastní čísla z-ové složky momentu hybnosti jsou
\[l_z = m\hbar ,\] m = 0, ±1, ±2, ... .
Komentář
V kvantové mechanice platí, že mají-li dva operátory společný systém vlastních funkcí, potom komutují. Opačně platí, že pokud dva operátory komutují, potom existuje jejich společný systém vlastních funkcí. Nebylo tedy předem zřejmé, že vlastní funkce hamiltoniánu uvedené v zadání budou nutně i vlastními funkcemi operátoru z-ové souřadnice momentu hybnosti. Bylo to ovšem možné, neboť tyto dva operátory spolu komutují, jak zde snadno dokážeme přímým výpočtem (v kartézských souřadnicích, na které je čtenář pravděpodobně více zvyklý).
Pro operátory
\[\hat{H}=\frac{\hbar^2}{2m}\,\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\,+\,\frac{\partial^2}{\partial y^2}\,+\,\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) ,\] \[\hat{L}_z=i\hbar\,\left(y\frac{\partial}{\partial x}\,-\,x\frac{\partial}{\partial y}\right)\]a libovolnou funkci \(f=f(x,y,z)\) platí
\[\hat{H}\hat{L}_z f= \frac{i\hbar^3}{2m}\,\left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\,\left(y\frac{\partial f}{\partial x}\,-x\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]\,+\,\frac{i\hbar^3}{2m}\,\left[\frac{\partial^2}{\partial y^2}\,\left(y\frac{\partial f}{\partial x}\,-\,x\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]\,++\,\frac{i\hbar^3}{2m}\,\left[\frac{\partial^2}{\partial z^2}\,\left(y\frac{\partial f}{\partial x}\,-\,x\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right] \] \[ \frac{2m}{i\hbar^3}\ \hat{H}\hat{L}_z f= y\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}\,-\,2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}\,+\,2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x}\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial x}\,-\,x\frac{\partial^3}{\partial z^2 \partial y}\] \[\frac{2m}{i\hbar^3}\ \hat{H}\hat{L}_z f=y\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x}\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial x}\,-\,x\frac{\partial^3}{\partial z^2 \partial y}.\]Pro opačné pořadí operátorů
\[\hat{L}_z\hat{H}f=\frac{i \hbar^3}{2m}\,\left[y\frac{\partial}{\partial x}\,\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,+\,\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,+\,\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \right)\right]\,-\,\frac{i \hbar^3}{2m}\,\left[x\frac{\partial}{\partial y}\,\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,+\,\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,+\,\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \right)\right]\] \[\frac{2m}{i\hbar^3}\ \hat{L}_z\hat{H}f=y\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2 }\,+\,y\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial z^2 }\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x^2 }\,-\,x\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}\,-\,x\frac{\partial^3}{\partial y\partial z^2 }.\]Srovnáním zjišťujeme, že pro libovolnou funkci \(f\) platí
\[\hat{H}\hat{L}_z f=\hat{L}_z \hat{H}f ,\] \[\left[\hat{H}\hat{L}_z\,-\,\hat{L}_z \hat{H}\right]f=0 ,\]neboli
\[\hat{H}\hat{L}_z\,-\,\hat{L}_z \hat{H}\equiv 0 ,\]operátory spolu tedy skutečně komutují.
