Sdružené operátory
Úloha číslo: 993
Označme \({\hat O}^\dagger\) operátor hermitovsky sdružený k operátoru \(\hat O\) a hvězdičkou označme číslo komplexně sdružené.
Dokažte, že platí:
\[\left(\hat A + \hat B\right)^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger, \] \[\left(\hat A \hat B\right)^\dagger = {\hat B}^\dagger {\hat A}^\dagger . \]Uvažujte působení operátorů na prostoru hladkých funkcí \(\psi(x)\), pro které platí
\[\lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \mathrm{.}\]Najděte hermitovsky sdružený operátor k operátorům:
a) \(\hat A = x\),
b) \(\hat B = { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\).
c) \(\hat C = x+ { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\).
d) \(\hat D = g(x)\), kde g(x) je libovolná komplexní funkce,
e) \(\hat E = c\), kde c je libovolná komplexní konstanta,
f) \(\hat F = c{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\), kde c je libovolná komplexní konstanta.
Diskutujte hermitovost (samosdruženost) výše uvedených operátorů.
Nápověda – definice hermitovsky sdruženého operátoru
Operátor \({\hat A}^\dagger\) nazýváme hermitovsky sdružený k operátoru \({\hat A}\), jestliže pro libovolné dvě vlnové funkce \(\psi_1\) a \(\psi_2\) z definičnho oboru operátoru platí \[\langle \psi_1 | {\hat A} \psi_2 \rangle = \langle {\hat A}^\dagger \psi_1 |\psi_2 \rangle,\] nebo-li \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_1^* \,{\hat A} \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} \left({\hat A} \psi_1 \right)^* \psi_2 \mathrm{d} x\mathrm{.}\]
Operátor \({\hat A}\) nazýváme hermitovský (samosdružený), jestliže platí \[{\hat A}^\dagger = {\hat A}.\]
Rozbor – jak na to
Pokud hledámě sdružený operátor k zadanému operátoru, je třeba výraz na levé straně definiční rovnosti upravit tak, aby vyhovoval tvaru pravé strany a odtud „vytáhnout“ tvar sdruženého operátoru.
Nápověda – využití fyzikálního pohledu
Z kvantové fyziky víme, že operátory přiřazené fyzikálním veličinám jsou hermitovské (samosdružené). Pokud si připomeneme definici operátorů souřadnice a hybnosti
\[\hat x = x, \qquad \hat p = -i\hbar{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x},\]můžete např. hermitovsky sdružený operátoru k operátoru \(\hat A\) psát rovnou.
Řešení – sdružení součtu a složení operátorů
Obě požadované rovnosti dokážeme přímo z definice. Začněme součtem operátorů
\[\langle \psi_1 | (\hat A+\hat B) \psi_2 \rangle =\]využijeme linearity skalárního součinu
\[ = \langle \psi_1 | \hat A \psi_2 \rangle + \langle \psi_1 | \hat B \psi_2 \rangle =\]a dosadíme sdružené operátory k operátorům \(\hat A\) a \(\hat B\)
\[ = \langle \hat A^\dagger \psi_1 | \psi_2 \rangle + \langle \hat B^\dagger\psi_1 | \psi_2 \rangle =\]a díky linearitě skalárního součinu opět spojíme
\[ = \langle (\hat A^\dagger +\hat B^\dagger) \psi_1 | \psi_2 \rangle .\]Odtud již dostáváme hledanou rovnost
\[\left(\hat A + \hat B\right)^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger. \]Z výpočtu je vidět, že nezáleží na počtu sčítanců, že sdružení součtu operátorů je rovno součtu sdružených operátorů.
U složení budeme postupovat obdobně. Začneme levou stranou definice hermitovského sdružení
\[\langle \psi_1 | (\hat A\hat B) \psi_2 \rangle =\]což sí můžeme přepsat na
\[ = \langle \psi_1 | \hat A(\hat B \psi_2) \rangle =\]zaměníme operátor \(\hat A\) za sdružený
\[ = \langle \hat A^\dagger \psi_1 | \hat B \psi_2 \rangle =\]a teď to samé pro operátor \(\hat B\)
\[ = \langle \hat B^\dagger \hat A^\dagger \psi_1 | \psi_2 \rangle.\]Odsud dostáváme
\[\left(\hat A \hat B\right)^\dagger = {\hat B}^\dagger {\hat A}^\dagger . \]Z výpočtu je vidět, že v případě, že máme najít sdružený operátor ke složení několika operátorů, musíme složit sdružené operátory v opačném pořadí.
Řešení a) – c)
a) Napíšeme si levou stranu definiční rovnosti sdruženého oprátoru (viz nápověda) a budeme se ji snažit upravit tak, aby vyhovovala tvaru pravé strany:
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 x \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} x \psi^*_1 \psi_2 \mathrm{d} x = \]v předchozím kroku jsme využili komutativitu násobení komplexních čísel a funkcí a dále si uvědomíme, že proměnná (souřadnice) x nabývá pouze reálných hodnot, a proto platí x = x*
\[ =\int_{-\infty}^{\infty} (x \psi_1)^* \psi_2 \mathrm{d} x.\]Odtud je vidět, že pro sdružený operátor platí
\[{\hat A}^\dagger = {x}^\dagger = x =\hat A.\]b) Budeme postupovat stejně jako v předchozím úkole, začneme levou stranou definice sdruženého operátoru
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 {\mathrm{d} \psi_2 \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x = \]Vidíme, že potřebujeme osamostatnit ψ2, tj. „zbavit se“ té derivace. Pomocí pravidla o derivaci součinu ji můžeme „přehodit“ na funkci ψ1
\[ = \int_{-\infty}^{\infty} \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\left( \psi^*_1 \psi_2 \right) - {\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x} \psi_2 \right) \mathrm{d} x = \]V prvním členu se vzájemně ruší derivace a integrál, dostáváme
\[= \Big[ \psi^*_1 \psi_2 \Big]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -{\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x}\right) \psi_2 \mathrm{d} x = \]Pokud si uvědomíme, že podle zadání máme uvažovat pouze takové funkce, která mají limitu v obou nekonečnech nulovou, dojde nám po dosazení mezí do prvního členu nula. Druhý člen už má hledaný tvar, protože diferenciál souřadnice dx je reálný
\[ = 0 {\cdot} 0 - 0 {\cdot} 0 + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -{\mathrm{d} \psi_1 \over \mathrm{d} x}\right)^* \psi_2 \mathrm{d} x \,\mathrm{.}\]Z čehož plyne, že
\[{\hat B}^\dagger = \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \right)^\dagger = -{\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \, \mathrm{.}\]c) I zde bychom mohli postupovat stejně jako v předchozích úkolech, ale zkusme využít předchozích výsledků. Na první pohled je vidět, že platí
\[\hat C = \hat A + \hat B.\]Sdružení součtu operátorů se rovná součtu sdružených operátorů, tj.
\[{\hat C}^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger\]a po dosazení předchozích výsledků
\[{\hat C}^\dagger = x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}.\]Řešení d) – f)
V těchto případech již budeme výpočty komentovat stručněji
d) Začneme opět definicí
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 g(x) \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \psi^*_1 \psi_2 \mathrm{d} x = \]zbývá zahrnout funkci g(x) do komplexního sdružení, ale protože platí, že dvojím komplexním sdružením dostáváme do samé číslo, platí
\[=\int_{-\infty}^{\infty} (g^*(x) \psi_1)^* \psi_2 \mathrm{d} x. \]Odtud
\[{\hat D}^\dagger = \left(g(x)\right)^\dagger = g^*(x) .\]e) Jedná se o speciální případ výše uvedeného úkolu, protože konstantu můžeme chápat jako konstantní funkci:
\[{\hat E}^\dagger = c^*.\]f) Budeme postupovat stejně jako v úkolu b)
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 c {\mathrm{d} \psi_2 \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} \left( c {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\left( \psi^*_1 \psi_2 \right) - c {\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x} \psi_2 \right) \mathrm{d} x = \]První člen vyjde nulový a druhý upravíme stejně jako v b) a d)
\[= 0 + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -c^*{ \mathrm{d} \psi_1 \over \mathrm{d} x}\right)^* \psi_2 \mathrm{d} x .\]Odtud dostáváme
\[(\hat F)^\dagger =\left(c{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\right)^\dagger =-c^*{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}. \]Řešení – samosdruženost
Z úkolu a) je vidět, že operátor \(\hat A\) je hermitovský (samozdružený), jedná se vlastně o operátor souřadnice.
Z úkolů d) a e) plyne, že operátor vynásobení funkcí, resp. konstantou je hermitovský v případě, že je tato funkce, resp. konstanta reálná, tj. platí g(x) = g*(x), resp. c = c*.
Z úkolu b) je vidět, že derivovácí není hermitovským operátorem, ale výsledek úkolu f) ukazuje, že lze hermitovost derivace „zachránit“ vhodnou konstantou. Musí pro ni platit c = −c*, tj. musí být ryze imaginární. Odtud je také vidět, proč v definici operátoru hybnosti
\[\hat p = -i\hbar { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\]musí být imaginární jednotka.
