Sdružené operátory

Úloha číslo: 993

Označme \({\hat O}^\dagger\) operátor hermitovsky sdružený k operátoru \(\hat O\) a hvězdičkou označme číslo komplexně sdružené.

Dokažte, že platí:

\[\left(\hat A + \hat B\right)^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger, \] \[\left(\hat A \hat B\right)^\dagger = {\hat B}^\dagger {\hat A}^\dagger . \]

Uvažujte působení operátorů na prostoru hladkých funkcí \(\psi(x)\), pro které platí

\[\lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \mathrm{.}\]

Najděte hermitovsky sdružený operátor k operátorům:

a) \(\hat A = x\),

b) \(\hat B = { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\).

c) \(\hat C = x+ { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\).

d) \(\hat D = g(x)\), kde g(x) je libovolná komplexní funkce,

e) \(\hat E = c\), kde c je libovolná komplexní konstanta,

f) \(\hat F = c{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\), kde c je libovolná komplexní konstanta.

 

Diskutujte hermitovost (samosdruženost) výše uvedených operátorů.

  • Nápověda – definice hermitovsky sdruženého operátoru

    Operátor \({\hat A}^\dagger\) nazýváme hermitovsky sdružený k  operátoru \({\hat A}\), jestliže pro libovolné dvě vlnové funkce \(\psi_1\) a \(\psi_2\) z definičnho oboru operátoru platí \[\langle \psi_1 | {\hat A} \psi_2 \rangle = \langle {\hat A}^\dagger \psi_1 |\psi_2 \rangle,\] nebo-li \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_1^* \,{\hat A} \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} \left({\hat A} \psi_1 \right)^* \psi_2 \mathrm{d} x\mathrm{.}\]

    Operátor \({\hat A}\) nazýváme hermitovský (samosdružený), jestliže platí \[{\hat A}^\dagger = {\hat A}.\]

  • Rozbor – jak na to

    Pokud hledámě sdružený operátor k zadanému operátoru, je třeba výraz na levé straně definiční rovnosti upravit tak, aby vyhovoval tvaru pravé strany a odtud „vytáhnout“ tvar sdruženého operátoru.

  • Nápověda – využití fyzikálního pohledu

    Z kvantové fyziky víme, že operátory přiřazené fyzikálním veličinám jsou hermitovské (samosdružené). Pokud si připomeneme definici operátorů souřadnice a hybnosti

    \[\hat x = x, \qquad \hat p = -i\hbar{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x},\]

    můžete např. hermitovsky sdružený operátoru k operátoru \(\hat A\) psát rovnou.

  • Řešení – sdružení součtu a složení operátorů

    Obě požadované rovnosti dokážeme přímo z definice. Začněme součtem operátorů

    \[\langle \psi_1 | (\hat A+\hat B) \psi_2 \rangle =\]

    využijeme linearity skalárního součinu

    \[ = \langle \psi_1 | \hat A \psi_2 \rangle + \langle \psi_1 | \hat B \psi_2 \rangle =\]

    a dosadíme sdružené operátory k operátorům \(\hat A\) a \(\hat B\)

    \[ = \langle \hat A^\dagger \psi_1 | \psi_2 \rangle + \langle \hat B^\dagger\psi_1 | \psi_2 \rangle =\]

    a díky linearitě skalárního součinu opět spojíme

    \[ = \langle (\hat A^\dagger +\hat B^\dagger) \psi_1 | \psi_2 \rangle .\]

    Odtud již dostáváme hledanou rovnost

    \[\left(\hat A + \hat B\right)^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger. \]

    Z výpočtu je vidět, že nezáleží na počtu sčítanců, že sdružení součtu operátorů je rovno součtu sdružených operátorů.

     

    U složení budeme postupovat obdobně. Začneme levou stranou definice hermitovského sdružení

    \[\langle \psi_1 | (\hat A\hat B) \psi_2 \rangle =\]

    což sí můžeme přepsat na

    \[ = \langle \psi_1 | \hat A(\hat B \psi_2) \rangle =\]

    zaměníme operátor \(\hat A\) za sdružený

    \[ = \langle \hat A^\dagger \psi_1 | \hat B \psi_2 \rangle =\]

    a teď to samé pro operátor \(\hat B\)

    \[ = \langle \hat B^\dagger \hat A^\dagger \psi_1 | \psi_2 \rangle.\]

    Odsud dostáváme

    \[\left(\hat A \hat B\right)^\dagger = {\hat B}^\dagger {\hat A}^\dagger . \]

    Z výpočtu je vidět, že v případě, že máme najít sdružený operátor ke složení několika operátorů, musíme složit sdružené operátory v opačném pořadí.

  • Řešení a) – c)

    a) Napíšeme si levou stranu definiční rovnosti sdruženého oprátoru (viz nápověda) a budeme se ji snažit upravit tak, aby vyhovovala tvaru pravé strany:

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 x \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} x \psi^*_1 \psi_2 \mathrm{d} x = \]

    v předchozím kroku jsme využili komutativitu násobení komplexních čísel a funkcí a dále si uvědomíme, že proměnná (souřadnice) x nabývá pouze reálných hodnot, a proto platí x = x*

    \[ =\int_{-\infty}^{\infty} (x \psi_1)^* \psi_2 \mathrm{d} x.\]

    Odtud je vidět, že pro sdružený operátor platí

    \[{\hat A}^\dagger = {x}^\dagger = x =\hat A.\]

     

    b) Budeme postupovat stejně jako v předchozím úkole, začneme levou stranou definice sdruženého operátoru

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 {\mathrm{d} \psi_2 \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x = \]

    Vidíme, že potřebujeme osamostatnit ψ2, tj. „zbavit se“ té derivace. Pomocí pravidla o derivaci součinu ji můžeme „přehodit“ na funkci ψ1

    \[ = \int_{-\infty}^{\infty} \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\left( \psi^*_1 \psi_2 \right) - {\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x} \psi_2 \right) \mathrm{d} x = \]

    V prvním členu se vzájemně ruší derivace a integrál, dostáváme

    \[= \Big[ \psi^*_1 \psi_2 \Big]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -{\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x}\right) \psi_2 \mathrm{d} x = \]

    Pokud si uvědomíme, že podle zadání máme uvažovat pouze takové funkce, která mají limitu v obou nekonečnech nulovou, dojde nám po dosazení mezí do prvního členu nula. Druhý člen už má hledaný tvar, protože diferenciál souřadnice dx je reálný

    \[ = 0 {\cdot} 0 - 0 {\cdot} 0 + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -{\mathrm{d} \psi_1 \over \mathrm{d} x}\right)^* \psi_2 \mathrm{d} x \,\mathrm{.}\]

    Z čehož plyne, že

    \[{\hat B}^\dagger = \left( {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \right)^\dagger = -{\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} \, \mathrm{.}\]

     

    c) I zde bychom mohli postupovat stejně jako v předchozích úkolech, ale zkusme využít předchozích výsledků. Na první pohled je vidět, že platí

    \[\hat C = \hat A + \hat B.\]

    Sdružení součtu operátorů se rovná součtu sdružených operátorů, tj.

    \[{\hat C}^\dagger = {\hat A}^\dagger + {\hat B}^\dagger\]

    a po dosazení předchozích výsledků

    \[{\hat C}^\dagger = x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}.\]
  • Řešení d) – f)

    V těchto případech již budeme výpočty komentovat stručněji

    d) Začneme opět definicí

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 g(x) \psi_2 \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \psi^*_1 \psi_2 \mathrm{d} x = \]

    zbývá zahrnout funkci g(x) do komplexního sdružení, ale protože platí, že dvojím komplexním sdružením dostáváme do samé číslo, platí

    \[=\int_{-\infty}^{\infty} (g^*(x) \psi_1)^* \psi_2 \mathrm{d} x. \]

    Odtud

    \[{\hat D}^\dagger = \left(g(x)\right)^\dagger = g^*(x) .\]

    e) Jedná se o speciální případ výše uvedeného úkolu, protože konstantu můžeme chápat jako konstantní funkci:

    \[{\hat E}^\dagger = c^*.\]

     

    f) Budeme postupovat stejně jako v úkolu b)

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_1 c {\mathrm{d} \psi_2 \over \mathrm{d} x} \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{\infty} \left( c {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\left( \psi^*_1 \psi_2 \right) - c {\mathrm{d} \psi^*_1 \over \mathrm{d} x} \psi_2 \right) \mathrm{d} x = \]

    První člen vyjde nulový a druhý upravíme stejně jako v b) a d)

    \[= 0 + \int_{-\infty}^{\infty} \left( -c^*{ \mathrm{d} \psi_1 \over \mathrm{d} x}\right)^* \psi_2 \mathrm{d} x .\]

    Odtud dostáváme

    \[(\hat F)^\dagger =\left(c{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\right)^\dagger =-c^*{ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}. \]
  • Řešení – samosdruženost

    Z úkolu a) je vidět, že operátor \(\hat A\) je hermitovský (samozdružený), jedná se vlastně o operátor souřadnice.

    Z úkolů d) a e) plyne, že operátor vynásobení funkcí, resp. konstantou je hermitovský v případě, že je tato funkce, resp. konstanta reálná, tj. platí g(x) = g*(x), resp. c = c*.

    Z úkolu b) je vidět, že derivovácí není hermitovským operátorem, ale výsledek úkolu f) ukazuje, že lze hermitovost derivace „zachránit“ vhodnou konstantou. Musí pro ni platit c = −c*, tj. musí být ryze imaginární. Odtud je také vidět, proč v definici operátoru hybnosti

    \[\hat p = -i\hbar { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x}\]

    musí být imaginární jednotka.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze