Částice v jámě 2
Úloha číslo: 687
Částice s energií 7500 keV se nachází v jednorozměrné nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě. Víme, že je ve čtvrtém excitovaném stavu (tj. n = 5).
a) Určete energii této částice v základním stavu.
b) Předpokládejte, že se jedná o proton. Jaká je šířka jámy?
Nápověda k a)
Jak závisí energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L na kvantovém čísle n?
Řešení a)
Energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L závisí na kvantovém čísle n kvadraticky, En ~ n2, je proto E5 = 25 E1, odkud
\[E_1=\frac{1}{25}\,E_5=\frac{7500\ \mbox{keV}}{25}=300\ \mbox{keV} .\]Nápověda k b)
Jak závisí energie En na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?
Jaká je hmotnost protonu?
Řešení b)
Energie částice o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .\]
V případě protonu ve stavu s kvantovým číslem n = 5 je
\[E_5=\frac{25 \pi^2 \hbar^2}{2m_p L^2} ,\]odkud vyjádříme šířku jámy L
\[L=\sqrt{\frac{25\pi^2 \hbar^2}{2m_p E_5}}=\sqrt{\frac{\,25(2\pi \hbar)^2}{8m_p E_5}}=\sqrt{\frac{25h^2}{8m_p E_5}} ,\] \[L=\sqrt{\frac{25\,\cdot\,\left(6{,}626\,\cdot\,10^{-34}\right)^2}{8\,\cdot\,1{,}673\,\cdot\,10^{-27}\,\cdot\,7{,}5\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-13}}}\ \mbox{m}=\frac{5\,\cdot\,6{,}626}{2\,\sqrt{15\,\cdot\,1{,}673\,\cdot\,1{,}602}}\,10^{-14}\ \mbox{m}\,\dot{=}\, 2{,}6\,\cdot\,10^{-14}\ \mbox{m}.\]Odpovědi
a) Energie této částice v základním stavu by byla 300 keV.
b) Šířka jámy je přibližně 2,6·10−14 m, což řádově odpovídá rozměrům jádra některých těžších prvků.
Odkaz
Podobný problém se řeší také v úloze Částice v jámě 1 této sbírky.
