Částice v jámě 2

Úloha číslo: 687

Částice s energií 7500 keV se nachází v jednorozměrné nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě. Víme, že je ve čtvrtém excitovaném stavu (tj. n = 5).

a) Určete energii této částice v základním stavu.

b) Předpokládejte, že se jedná o proton. Jaká je šířka jámy?

  • Nápověda k a)

    Jak závisí energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L na kvantovém čísle n?

  • Řešení a)

    Energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L závisí na kvantovém čísle n kvadraticky, En ~ n2, je proto E5 = 25 E1, odkud

    \[E_1=\frac{1}{25}\,E_5=\frac{7500\ \mbox{keV}}{25}=300\ \mbox{keV} .\]
  • Nápověda k b)

    Jak závisí energie En na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?

    Jaká je hmotnost protonu?

  • Řešení b)

    Energie částice o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .\]

    V případě protonu ve stavu s kvantovým číslem n = 5 je

    \[E_5=\frac{25 \pi^2 \hbar^2}{2m_p L^2} ,\]

    odkud vyjádříme šířku jámy L

    \[L=\sqrt{\frac{25\pi^2 \hbar^2}{2m_p E_5}}=\sqrt{\frac{\,25(2\pi \hbar)^2}{8m_p E_5}}=\sqrt{\frac{25h^2}{8m_p E_5}} ,\] \[L=\sqrt{\frac{25\,\cdot\,\left(6{,}626\,\cdot\,10^{-34}\right)^2}{8\,\cdot\,1{,}673\,\cdot\,10^{-27}\,\cdot\,7{,}5\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-13}}}\ \mbox{m}=\frac{5\,\cdot\,6{,}626}{2\,\sqrt{15\,\cdot\,1{,}673\,\cdot\,1{,}602}}\,10^{-14}\ \mbox{m}\,\dot{=}\, 2{,}6\,\cdot\,10^{-14}\ \mbox{m}.\]
  • Odpovědi

    a) Energie této částice v základním stavu by byla 300 keV.

    b) Šířka jámy je přibližně 2,6·10−14 m, což řádově odpovídá rozměrům jádra některých těžších prvků.

  • Odkaz

    Podobný problém se řeší také v úloze Částice v jámě 1 této sbírky.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze