Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Superpozice tří vlastních stavů

Úloha číslo: 673

Částice se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L:

V(x) = 0 pro |x| ≤ L/2 a V(x) → ∞ pro |x| > L/2.

Nekonečně hluboká potenciálová jáma

Její stav popisuje vlnová funkce, která je superpozicí funkce základního a prvního a druhého excitovaného stavu:

ψ(x,t=0)=A[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)].

1) Určete normovací konstantu A.

2) Napište předpis pro normovanou vlnovou funkci ψ(x, t) pro tuto částici včetně její časové závislosti.

3) Určete střední hodnotu energie částice v obecném čase t.

4) Určete pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází

a) někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy,
b) v pravé části jámy (0 < x < L/2),

c) v prostřední části jámy (|x| < L/4).
  • Nápověda k 1

    Co to znamená normovat vlnovou funkci (jde-li o funkci jedné souřadnicové proměnné x?

  • Řešení 1

    Mimo interval <−L/2, L/2> je vlnová funkce identicky rovna nule. Dle normovací podmínky tedy musí platit

    1=|ψ(x,t=0)|2dx=L2L2|ψ(x,t=0)|2dx, 1=L2L2A2[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)]2dx, 1A2=L2L2[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx+L2L26cos(πxL)sin(2πxL)dx+ +L2L24cos(πxL)cos(3πxL)dx+L2L212sin(2πxL)cos(3πxL)dx.

    V posledních třech integrálech vystupuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu (viz úloha Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky). Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto můžeme dále počítat bez nich. (Kdo by si toto neuvědomil, může pokračovat ve výpočtu se všemi integrály a přesvědčit se, že tři poslední vyjdou rovny nule.) Je

    1A2=L2L2[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx.

    Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu (a vynásobením celé rovnice dvěma) dostáváme

    2A2=L2L2[14+cos(2πxL)9cos(4πxL)+4cos(6πxL)]L2L2,

    2A2=[14x+L2πsin(2πxL)9L4πsin(4πxL)+2L3πsin(6πxL)]L2L2,

    2A2=14L, odkud již plyne A=17L.

  • Nápověda ke 2

    Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě? Jaké jim odpovídají energie? Jak vypadá časová závislost těchto stacionárních stavů?
  • Řešení 2

    Výše jsme zjistili, že normovaná vlnová funkce popisující stav částice v čase t = 0 má tvar

    ψ(x,t)=17L[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)],

    Zkušený řešitel v ní již vidí lineární kombinaci prvních tří stacionárních stavů pro případ částice v potenciálové jámě našeho typu.

    Časovou závislost nyní získáme snadno doplněním faktoru eiE1t k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 1, faktoru eiE2t k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 2, a konečně faktoru eiE3t k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 3. Výsledná vlnová funkce, zahrnující krom závislosti na poloze částice také časovou závislost, tak nabývá tvaru

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)eiE2t+17L2cos(3πxL)eiE3t

    neboli

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)ei4E1t+17L2cos(3πxL)ei9E1t,

    kde E1=π222mL2.

  • Nápověda ke 3 – střední hodnota veličiny

    Jak se v kvantové mechanice určují střední hodnoty fyzikálních veličin? Jak určíme střední hodnotu energie, je-li operátorem energie hamiltonián ˆH?

  • Řešení 3 – první verze (z definice)

    Uvědomíme-li si, že operátorem energie je tzv. Hamiltonův operátor, potom střední hodnotu energie E(t) v čase t spočteme z definice jako

    E(t)=ˆH=L2L2ψ(x,t)ˆHψ(x,t)dx.

    Uvědomme si, že pro vlastní funkce hamiltoniánu platí

    ˆHψn(x,t)=Enψn(x,t).

    Dosazením

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)eiE2t+17L2cos(3πxL)eiE3t

    do integrálu pro výpočet střední hodnoty energie získáme dlouhý výraz, který však na třech místech obsahuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu. Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto se celý výpočet zjednoduší na

    E(t)=17LL2L2E1cos2(πxL)dx+17LL2L29E2sin2(2πxL)dx+17LL2L24E3cos2(3πxL)dx.

    Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu upravíme výraz do tvaru

    E(t)= =E114LL2L2[1+cos(2πxL)]dx+9E214LL2L2[1cos(4πxL)]dx+4E314LL2L2[1+cos(6πxL)]dx, E(t)=E114L[x+L2πsin(2πxL)]L2L2+9E214L[xL4πsin(4πxL)]L2L2+4E314L[x+L6πsin(6πxL)]L2L2, E(t)=E114LL+9E214LL+4E314LL, E(t)=114E1+914E2+414E3,

    E(t)=7314E1, kde E1=π222mL2.

  • Nápověda ke 3 – rozklad do báze ortogonálních funkcí

    Můžeme při výpočtu střední hodnoty energie využít faktu, že vlastní funkce hamiltoniánu tvoří ortogonální systém?

  • Řešení 3 – druhá verze (z ortogonálního rozkladu)

    V řešení předcházející nápovědy jsme odvodili, že pokud vlnovou funkci ψ(x,t) vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí ψn(x,t) operátoru ˆH, ψ(x,t)=n=1anψn(x,t), je střední hodnota energie částice v libovolném čase t rovna

    E(t)=n=1|an|2En.

     

    Jak jsme připomněli v řešení nápovědy ke 2, stacionární stavy částice v dané potenciálové jámě jsou popsány funkcemi

    ψn(x,t)=2Lcos(nπxL)eiEnt pro n lichá a

    ψn(x,t)=2Lsin(nπxL)eiEnt pro n sudá.

    Jim odpovídají energie En=n2π222mL2.

     

    V úkolu 2) jsme našli předpis pro vlnovou funkci v obecném čase t:

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)eiE2t+17L2cos(3πxL)eiE3t.

    Platí

    ψ(x,t)=1142Lcos(πxL)eiE1t+3142Lsin(2πxL)eiE2t+2142Lcos(3πxL)eiE3t,

    což je lineární kombinace normovaných vlnových funkcí prvních tří stacionárních stavů:

    ψ(x,t)=114ψ1(x,t)+314ψ2(x,t)+214ψ3(x,t),

    je proto

    E(t)=3n=1En|an|2=E1|a1|2+E2|a2|2+E3|a3|2, E(t)=E1(114)2+E2(314)2+E3(214)2, E(t)=114E1+914E2+414E3,

    E(t)=7314E1, kde E1=π222mL2.

  • Nápověda ke 4

    Stav částice, jejíž pohyb je vázán na úsečku <-L/2, L/2>, je v čase t je popsán vlnovou funkcí

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t++17L3sin(2πxL)ei4E1t+17L2cos(3πxL)ei9E1t.

    Pravděpodobnost výskytu částice na intervalu (a,b) je rovna integrálu hustoty pravděpodobnosti (tj. čtverce absolutní hodnoty vlnové funkce ψ(x,t)) přes tento interval.

  • Nápověda ke 4 – vzorce pro goniometrické funkce

    Při řešení úkolu 4 se vám mohou hodit následující identity.

    cos3y=cosycos2ysinysin2y=cosy(cos2ysin2y)siny2sinycosy=

    =cos3y3cosysin2y=cos3y3cosy(1cos2y)=4cos3y3cosy


    sin3y=sin2ycosy+sinycos2y=2sinycos2y+siny(cos2ysin2y)=

    =3sinycos2ysin3y=3siny(1sin2y)sin3y=3siny4sin3y


    cos5y=cos2ycos3ysin2ysin3y=(2cos2y1)(4cos3y3cosy)sin2y(3siny4sin3y)=

    =8cos5y10cos3y+3cosy2cosy(3sin2y4sin4y)=

    =8cos5y10cos3y+3cosy2cosy(1cos2y)(4cos2y1)=16cos5y20cos3y+5cosy


    cosycos3y=cosy(cosycos2ysinysin2y)=cosy[cosy(cos2ysin2y)siny2sinycosy]=

    =cos2y(cos2y3sin2y)=cos2y(14sin2y)=12(1+cos2y)[12(1cos2y)]=

    =12(1+cos2y)(2cos2y1)=12(2cos22y+cos2y1)=12(1+cos4y+cos2y1)=

    =12(cos4y+cos2y)


    sin2ycos3y=2sinycosy(cosycos2ysinysin2y)=

    =2siny[cos2y(cos2ysin2y)cosysiny2sinycosy]= =2siny[cos2y(2cos2y1)2cos2y(1cos2y)]=2siny(4cos4y3cos2y)

  • Řešení 4

    a) Pravděpodobnost výskytu částice na obecném intervalu (a,b) uvnitř jámy je

    P=P(x(a,b),t)=ba|ψ(x,t)|2dx.

    Dosazením

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)ei4E1t+17L2cos(3πxL)ei9E1t

    do tohoto integrálu dostáváme

    P=17Lba[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx+

    +17Lba6cos(πxL)sin(2πxL)cos(3E1t)dx+

    +17Lba4cos(πxL)cos(3πxL)cos(8E1t)dx+

    +17Lba12sin(2πxL)cos(3πxL)cos(5E1t)dx.


    Dále užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu a dalších identit uvedených v předcházející nápovědě dostáváme postupně

    P=114Lba[14+cos(2πxL)9cos(4πxL)+4cos(4πxL)]dx+

    +127Lcos(3E1t)bacos2(πxL)sin(πxL)dx+

    +27Lcos(8E1t)ba[cos(2πxL)+cos(4πxL)]dx+

    +67Lcos(5E1t)ba[4cos4(πxL)3cos2(πxL)]sin(πxL)dx,


    P=114L[14x+L2πsin(2πxL)9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]ba

    47πcos(3E1t)[cos3(πxL)]ba+

    +114πcos(8E1t)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]ba

    67πcos(5E1t)[45cos5(πxL)cos3(πxL)]ba.


    b) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (0, L/2) získáme dosazením do výsledku a):

    P=114L[14x+L2πsin(2πxL)9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]L20

    47πcos(3E1t)[cos3(πxL)]L20+

    +114πcos(8E1t)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]L20

    67πcos(5E1t)[45cos5(πxL)cos3(πxL)]L20,


    P=12+47πcos(3E1t)635πcos(5E1t).


    Užitím vzorců pro cos3y a cos5y dostáváme

    P=12+47π[4cos3(E1t)3cos(E1t)]635π[16cos5(E1t)20cos3(E1t)+5cos(E1t)],


    P=12+235π[100cos3(E1t)48cos5(E1t)45cos(E1t)].


    Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Řešíme-li problém extrémů této pravděpodobnosti P, zjistíme, že krajních hodnot nabývá právě tehdy, když je cos(E1t)=±51322:


    • v časech tmin=E1(arccos51322+2kπ), k=0,1,2,..., je rovna P=12513(11+513)352π˙=0,28,
    • v časech tmax=E1(arccos51322+2kπ), k=0,1,2,..., je rovna P=12+513(11+513)352π˙=0,72.

    c) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (−L/4, L/4) získáme dosazením do výsledku a):

    P=114L[14x+L2πsin(2πxL)9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]L4L4

    47πcos(3E1t)[cos3(πxL)]L4L4+114πcos(8E1t)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]L4L4

    67πcos(5E1t)[45cos5(πxL)cos3(πxL)]L4L4,


    P=12152π+27πcos(8E1t).


    Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy se mění s časem.
    Osciluje mezi hodnotami 12152π27π˙=0,40 a 12152π+27π˙=0,58. Maxima dosahuje v časech tmax=(2k+1)π8E1 a minima v časech tmin=2kπ8E1,  k = 0, 1, 2, ... .

  • Odpovědi

    1) Normovací konstanta je rovna A=17L.

     

    2) Vlnová funkce

    ψ(x,t)=17Lcos(πxL)eiE1t+17L3sin(2πxL)ei4E1t+17L2cos(3πxL)ei9E1t,

    kde E1=π222mL2.

     

    3) Střední hodnota energie částice v čase t je rovna E(t)=7314E1, kde E1=π222mL2.

     

    4a) Pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy, je rovna

    P=114L[14x+L2πsin(2πxL)9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]ba47πcos(3E1t)[cos3(πxL)]ba+

    +114πcos(8E1t)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]ba67πcos(5E1t)[45cos5(πxL)cos3(πxL)]ba.

     

    4b) Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Osciluje mezi 28 % a 72 % (podrobněji viz Řešení 4).

     

    4c) Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy na intervalu (-L/4, L/4) se mění s časem. Osciluje mezi hodnotami 12152π27π a 12152π+27π, tj. mezi 40 % a 58 %. Maxima dosahuje v časech tmax=(2k+1)π8E1 a minima v časech tmin=2kπ8E1, k = 0, 1, 2, ..., kde E1=π222mL2.

  • Odkaz

    Podobný problém se řeší také v úlohách Superpozice dvou vlastních stavůNestacionární stav 1 této sbírky.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze