Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Superpozice tří vlastních stavů
Úloha číslo: 673
Částice se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L:
V(x) = 0 pro |x| ≤ L/2 a V(x) → ∞ pro |x| > L/2.

Její stav popisuje vlnová funkce, která je superpozicí funkce základního a prvního a druhého excitovaného stavu:
ψ(x,t=0)=A[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)].1) Určete normovací konstantu A.
2) Napište předpis pro normovanou vlnovou funkci ψ(x, t) pro tuto částici včetně její časové závislosti.
3) Určete střední hodnotu energie částice v obecném čase t.
4) Určete pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází
Nápověda k 1
Co to znamená normovat vlnovou funkci (jde-li o funkci jedné souřadnicové proměnné x?
Řešení 1
Mimo interval <−L/2, L/2> je vlnová funkce identicky rovna nule. Dle normovací podmínky tedy musí platit
1=∫∞−∞|ψ(x,t=0)|2dx=∫L2−L2|ψ(x,t=0)|2dx, 1=∫L2−L2A2[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)]2dx, 1A2=∫L2−L2[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx+∫L2−L26cos(πxL)sin(2πxL)dx+ +∫L2−L24cos(πxL)cos(3πxL)dx+∫L2−L212sin(2πxL)cos(3πxL)dx.V posledních třech integrálech vystupuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu (viz úloha Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky). Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto můžeme dále počítat bez nich. (Kdo by si toto neuvědomil, může pokračovat ve výpočtu se všemi integrály a přesvědčit se, že tři poslední vyjdou rovny nule.) Je
1A2=∫L2−L2[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx.Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu (a vynásobením celé rovnice dvěma) dostáváme
2A2=∫L2−L2[14+cos(2πxL)−9cos(4πxL)+4cos(6πxL)]L2−L2,
2A2=[14x+L2πsin(2πxL)−9L4πsin(4πxL)+2L3πsin(6πxL)]L2−L2,
2A2=14L, odkud již plyne A=1√7L.
Nápověda ke 2
Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě? Jaké jim odpovídají energie? Jak vypadá časová závislost těchto stacionárních stavů?Řešení 2
Výše jsme zjistili, že normovaná vlnová funkce popisující stav částice v čase t = 0 má tvar
ψ(x,t)=1√7L[cos(πxL)+3sin(2πxL)+2cos(3πxL)],Zkušený řešitel v ní již vidí lineární kombinaci prvních tří stacionárních stavů pro případ částice v potenciálové jámě našeho typu.
Časovou závislost nyní získáme snadno doplněním faktoru e−iE1tℏ k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 1, faktoru e−iE2tℏ k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 2, a konečně faktoru e−iE3tℏ k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 3. Výsledná vlnová funkce, zahrnující krom závislosti na poloze částice také časovou závislost, tak nabývá tvaru
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−iE2tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−iE3tℏneboli
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−i4E1tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−i9E1tℏ,kde E1=π2ℏ22mL2.
Nápověda ke 3 – střední hodnota veličiny
Jak se v kvantové mechanice určují střední hodnoty fyzikálních veličin? Jak určíme střední hodnotu energie, je-li operátorem energie hamiltonián ˆH?
Řešení 3 – první verze (z definice)
Uvědomíme-li si, že operátorem energie je tzv. Hamiltonův operátor, potom střední hodnotu energie ⟨E(t)⟩ v čase t spočteme z definice jako
⟨E(t)⟩=⟨ˆH⟩=∫L2−L2ψ∗(x,t)ˆHψ(x,t)dx.Uvědomme si, že pro vlastní funkce hamiltoniánu platí
ˆHψn(x,t)=Enψn(x,t).Dosazením
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−iE2tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−iE3tℏdo integrálu pro výpočet střední hodnoty energie získáme dlouhý výraz, který však na třech místech obsahuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu. Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto se celý výpočet zjednoduší na
⟨E(t)⟩=17L∫L2−L2E1cos2(πxL)dx+17L∫L2−L29E2sin2(2πxL)dx+17L∫L2−L24E3cos2(3πxL)dx.Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu upravíme výraz do tvaru
⟨E(t)⟩= =E114L∫L2−L2[1+cos(2πxL)]dx+9E214L∫L2−L2[1−cos(4πxL)]dx+4E314L∫L2−L2[1+cos(6πxL)]dx, ⟨E(t)⟩=E114L[x+L2πsin(2πxL)]L2−L2+9E214L[x−L4πsin(4πxL)]L2−L2+4E314L[x+L6πsin(6πxL)]L2−L2, ⟨E(t)⟩=E114L⋅L+9E214L⋅L+4E314L⋅L, ⟨E(t)⟩=114E1+914E2+414E3,⟨E(t)⟩=7314E1, kde E1=π2ℏ22mL2.
Nápověda ke 3 – rozklad do báze ortogonálních funkcí
Můžeme při výpočtu střední hodnoty energie využít faktu, že vlastní funkce hamiltoniánu tvoří ortogonální systém?
Řešení 3 – druhá verze (z ortogonálního rozkladu)
V řešení předcházející nápovědy jsme odvodili, že pokud vlnovou funkci ψ(x,t) vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí ψn(x,t) operátoru ˆH, ψ(x,t)=∑∞n=1anψn(x,t), je střední hodnota energie částice v libovolném čase t rovna
⟨E(t)⟩=∞∑n=1|an|2En.Jak jsme připomněli v řešení nápovědy ke 2, stacionární stavy částice v dané potenciálové jámě jsou popsány funkcemi
ψn(x,t)=√2Lcos(nπxL)e−iEntℏ pro n lichá a
ψn(x,t)=√2Lsin(nπxL)e−iEntℏ pro n sudá.
Jim odpovídají energie En=n2π2ℏ22mL2.
V úkolu 2) jsme našli předpis pro vlnovou funkci v obecném čase t:
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−iE2tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−iE3tℏ.Platí
ψ(x,t)=1√14√2Lcos(πxL)e−iE1tℏ+3√14√2Lsin(2πxL)e−iE2tℏ+2√14√2Lcos(3πxL)e−iE3tℏ,což je lineární kombinace normovaných vlnových funkcí prvních tří stacionárních stavů:
ψ(x,t)=1√14ψ1(x,t)+3√14ψ2(x,t)+2√14ψ3(x,t),je proto
⟨E(t)⟩=3∑n=1En|an|2=E1|a1|2+E2|a2|2+E3|a3|2, ⟨E(t)⟩=E1(1√14)2+E2(3√14)2+E3(2√14)2, ⟨E(t)⟩=114E1+914E2+414E3,⟨E(t)⟩=7314E1, kde E1=π2ℏ22mL2.
Nápověda ke 4
Stav částice, jejíž pohyb je vázán na úsečku <-L/2, L/2>, je v čase t je popsán vlnovou funkcí
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ++1√7L3sin(2πxL)e−i4E1tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−i9E1tℏ.Pravděpodobnost výskytu částice na intervalu (a,b) je rovna integrálu hustoty pravděpodobnosti (tj. čtverce absolutní hodnoty vlnové funkce ψ(x,t)) přes tento interval.
Nápověda ke 4 – vzorce pro goniometrické funkce
Při řešení úkolu 4 se vám mohou hodit následující identity.
cos3y=cosycos2y−sinysin2y=cosy(cos2y−sin2y)−siny2sinycosy=
=cos3y−3cosysin2y=cos3y−3cosy(1−cos2y)=4cos3y−3cosy
sin3y=sin2ycosy+sinycos2y=2sinycos2y+siny(cos2y−sin2y)=
=3sinycos2y−sin3y=3siny(1−sin2y)−sin3y=3siny−4sin3y
cos5y=cos2ycos3y−sin2ysin3y=(2cos2y−1)(4cos3y−3cosy)−sin2y(3siny−4sin3y)=
=8cos5y−10cos3y+3cosy−2cosy(3sin2y−4sin4y)=
=8cos5y−10cos3y+3cosy−2cosy(1−cos2y)(4cos2y−1)=16cos5y−20cos3y+5cosy
cosycos3y=cosy(cosycos2y−sinysin2y)=cosy[cosy(cos2y−sin2y)−siny2sinycosy]=
=cos2y(cos2y−3sin2y)=cos2y(1−4sin2y)=12(1+cos2y)[1−2(1−cos2y)]=
=12(1+cos2y)(2cos2y−1)=12(2cos22y+cos2y−1)=12(1+cos4y+cos2y−1)=
=12(cos4y+cos2y)
sin2ycos3y=2sinycosy(cosycos2y−sinysin2y)=
=2siny[cos2y(cos2y−sin2y)−cosysiny2sinycosy]= =2siny[cos2y(2cos2y−1)−2cos2y(1−cos2y)]=2siny(4cos4y−3cos2y)
Řešení 4
a) Pravděpodobnost výskytu částice na obecném intervalu (a,b) uvnitř jámy je
P=P(x∈(a,b),t)=∫ba|ψ(x,t)|2dx.Dosazením
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−i4E1tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−i9E1tℏdo tohoto integrálu dostáváme
P=17L∫ba[cos2(πxL)+9sin2(2πxL)+4cos2(3πxL)]dx+
+17L∫ba6cos(πxL)sin(2πxL)cos(3E1tℏ)dx+
+17L∫ba4cos(πxL)cos(3πxL)cos(8E1tℏ)dx+
+17L∫ba12sin(2πxL)cos(3πxL)cos(5E1tℏ)dx.
Dále užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu a dalších identit uvedených v předcházející nápovědě dostáváme postupně
P=114L∫ba[14+cos(2πxL)−9cos(4πxL)+4cos(4πxL)]dx+
+127Lcos(3E1tℏ)∫bacos2(πxL)sin(πxL)dx+
+27Lcos(8E1tℏ)∫ba[cos(2πxL)+cos(4πxL)]dx+
+67Lcos(5E1tℏ)∫ba[4cos4(πxL)−3cos2(πxL)]sin(πxL)dx,
P=114L[14x+L2πsin(2πxL)−9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]ba−
−47πcos(3E1tℏ)[cos3(πxL)]ba+
+114πcos(8E1tℏ)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]ba−
−67πcos(5E1tℏ)[45cos5(πxL)−cos3(πxL)]ba.
b) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (0, L/2) získáme dosazením do výsledku a):
P=114L[14x+L2πsin(2πxL)−9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]L20−
−47πcos(3E1tℏ)[cos3(πxL)]L20+
+114πcos(8E1tℏ)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]L20−
−67πcos(5E1tℏ)[45cos5(πxL)−cos3(πxL)]L20,
P=12+47πcos(3E1tℏ)−635πcos(5E1tℏ).
Užitím vzorců pro cos3y a cos5y dostáváme
P=12+47π[4cos3(E1tℏ)−3cos(E1tℏ)]−635π[16cos5(E1tℏ)−20cos3(E1tℏ)+5cos(E1tℏ)],
P=12+235π[100cos3(E1tℏ)−48cos5(E1tℏ)−45cos(E1tℏ)].
Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Řešíme-li problém extrémů této pravděpodobnosti P, zjistíme, že krajních hodnot nabývá právě tehdy, když je cos(E1tℏ)=±√5−√132√2:
- v časech tmin=ℏE1(arccos√5−√132√2+2kπ), k=0,1,2,..., je rovna P=12−√5−√13(11+5√13)35√2π˙=0,28,
- v časech tmax=ℏE1(arccos−√5−√132√2+2kπ), k=0,1,2,..., je rovna P=12+√5−√13(11+5√13)35√2π˙=0,72.
c) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (−L/4, L/4) získáme dosazením do výsledku a):
P=114L[14x+L2πsin(2πxL)−9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]L4−L4−
−47πcos(3E1tℏ)[cos3(πxL)]L4−L4+114πcos(8E1tℏ)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]L4−L4−−67πcos(5E1tℏ)[45cos5(πxL)−cos3(πxL)]L4−L4,
P=12−152π+27πcos(8E1tℏ).
Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy se mění s časem.
Osciluje mezi hodnotami 12−152π−27π˙=0,40 a 12−152π+27π˙=0,58. Maxima dosahuje v časech tmax=(2k+1)πℏ8E1 a minima v časech tmin=2kπℏ8E1, k = 0, 1, 2, ... .Odpovědi
1) Normovací konstanta je rovna A=1√7L.
2) Vlnová funkce
ψ(x,t)=1√7Lcos(πxL)e−iE1tℏ+1√7L3sin(2πxL)e−i4E1tℏ+1√7L2cos(3πxL)e−i9E1tℏ,kde E1=π2ℏ22mL2.
3) Střední hodnota energie částice v čase t je rovna ⟨E(t)⟩=7314E1, kde E1=π2ℏ22mL2.
4a) Pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy, je rovna
P=114L[14x+L2πsin(2πxL)−9L4πsin(4πxL)+4L6πsin(6πxL)]ba−47πcos(3E1tℏ)[cos3(πxL)]ba+
+114πcos(8E1tℏ)[2sin(2πxL)+sin(4πxL)]ba−67πcos(5E1tℏ)[45cos5(πxL)−cos3(πxL)]ba.
4b) Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Osciluje mezi 28 % a 72 % (podrobněji viz Řešení 4).
4c) Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy na intervalu (-L/4, L/4) se mění s časem. Osciluje mezi hodnotami 12−152π−27π a 12−152π+27π, tj. mezi 40 % a 58 %. Maxima dosahuje v časech tmax=(2k+1)πℏ8E1 a minima v časech tmin=2kπℏ8E1, k = 0, 1, 2, ..., kde E1=π2ℏ22mL2.
Odkaz
Podobný problém se řeší také v úlohách Superpozice dvou vlastních stavů a Nestacionární stav 1 této sbírky.