Sbírka řešených úloh

Superpozice tří vlastních stavů

Úloha číslo: 673

Částice se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L:

V(x) = 0 pro |x| ≤ L/2 a V(x) → ∞ pro |x| > L/2.

Její stav popisuje vlnová funkce, která je superpozicí funkce základního a prvního a druhého excitovaného stavu:

\[ \psi(x,\,t=0)=A \,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,+\, 3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,. \]

1) Určete normovací konstantu A.

2) Napište předpis pro normovanou vlnovou funkci ψ(x, t) pro tuto částici včetně její časové závislosti.

3) Určete střední hodnotu energie částice v obecném čase t.

4) Určete pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází

a) někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy,

b) v pravé části jámy (0 < x < L/2),

c) v prostřední části jámy (|x| < L/4).

• Nápověda k 1

  Co to znamená normovat vlnovou funkci (jde-li o funkci jedné souřadnicové proměnné x?

• Řešení nápovědy k 1

  Normovat vlnovou funkci ψ(x) znamená určit volitelnou multiplikativní konstantu tak, aby úhrnná pravděpodobnost výskytu částice kdekoli na ose x byla rovna 1. Matematicky řečeno – integrál z hustoty pravděpodobnosti, tj. z kvadrátu absolutní hodnoty vlnové funkce musí být roven 1:

  \[\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,\mbox{d}x=1\,.\]

• Řešení 1

  Mimo interval <−L/2, L/2> je vlnová funkce identicky rovna nule. Dle normovací podmínky tedy musí platit

  \[ 1=\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,\,t=0)|^2 \,\mbox{d}x=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} |\psi(x,\,t=0)|^2 \,\mbox{d}x\,, \] \[ 1=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} A^2 \,\left[ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,+\, 3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]^2 \,\mbox{d}x\,, \] \[\frac{1}{A^2}=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\left[ \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,+\, 9\,\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,4\,\cos^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right] \,\mbox{d}x\,+\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} 6\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,+\] \[+\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}4\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,+\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} 12\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,. \]

  V posledních třech integrálech vystupuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu (viz úloha Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky). Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto můžeme dále počítat bez nich. (Kdo by si toto neuvědomil, může pokračovat ve výpočtu se všemi integrály a přesvědčit se, že tři poslední vyjdou rovny nule.) Je

  \[\frac{1}{A^2}= \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[ \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,+\, 9\,\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,+\, 4\,\cos^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right] \,\mbox{d}x\,. \]

  Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu (a vynásobením celé rovnice dvěma) dostáváme

  \[\hspace{20px}\frac{2}{A^2}= \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[ 14\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\,9\,\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\,4\,\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\,,\]

  \[\hspace{20px}\frac{2}{A^2}= \left[ 14x\,+\,\frac{L}{2\pi}\, \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\,\frac{9L}{4\pi}\, \sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\,\frac{2L}{3\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\,,\]

  \(\hspace{20px}\frac{2}{A^2}=14L\,,\) odkud již plyne \(A=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,.\)

• Nápověda ke 2

  Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě? Jaké jim odpovídají energie? Jak vypadá časová závislost těchto stacionárních stavů?

• Řešení nápovědy ke 2

  Normované vlastní funkce hamiltoniánu pro případ částice ve výše popsané nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě jsou

  \(\hspace{40px}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) pro n lichá a

  \(\hspace{40px}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) pro n sudá.

  Jim odpovídají energie \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.\]

  (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

   

  Z řešení časové části Schrödingerovy rovnice vyplývá závislost stacionárních stavů na čase přes faktor \(e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}\).

  (Podrobnější vysvětlení najdete např. v knize SKÁLA, L. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.)

• Řešení 2

  Výše jsme zjistili, že normovaná vlnová funkce popisující stav částice v čase t = 0 má tvar

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,+\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,, \]

  Zkušený řešitel v ní již vidí lineární kombinaci prvních tří stacionárních stavů pro případ částice v potenciálové jámě našeho typu.

  Časovou závislost nyní získáme snadno doplněním faktoru \(e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\) k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 1, faktoru \(e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\,\) k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 2, a konečně faktoru \(e^{-\frac{iE_3 t}{\hbar}}\,\) k té části vlnové funkce, která odpovídá stavu s kvantovým číslem 3. Výsledná vlnová funkce, zahrnující krom závislosti na poloze částice také časovou závislost, tak nabývá tvaru

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{iE_3 t}{\hbar}}\]

  neboli

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i9E_1 t}{\hbar}}\,,\]

  kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \).

• Nápověda ke 3 – střední hodnota veličiny

  Jak se v kvantové mechanice určují střední hodnoty fyzikálních veličin? Jak určíme střední hodnotu energie, je-li operátorem energie hamiltonián \(\hat{H}\)?

• Řešení nápovědy ke 3

  Střední hodnotu veličiny A určujeme jako skalární součin \(\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A}\psi\rangle\).

  Střední hodnota energie se tedy vypočítá jako \(\langle E \rangle = \langle \psi | \hat{H} \psi\rangle\).

• Řešení 3 – první verze (z definice)

  Uvědomíme-li si, že operátorem energie je tzv. Hamiltonův operátor, potom střední hodnotu energie \(\langle E(t) \rangle \) v čase t spočteme z definice jako

  \[\langle E(t) \rangle = \langle \hat{H} \rangle = \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \psi*(x,\,t) \,\hat{H}\psi(x,\,t) \,\mbox{d}x\,.\]

  Uvědomme si, že pro vlastní funkce hamiltoniánu platí

  \[\hat{H}\psi_n(x,\,t)=E_n\psi_n(x,\,t)\,.\]

  Dosazením

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{iE_3 t}{\hbar}}\]

  do integrálu pro výpočet střední hodnoty energie získáme dlouhý výraz, který však na třech místech obsahuje součin dvou vlastních funkcí hamiltoniánu. Tyto funkce jsou ortogonální – integrál z jejich součinu (pravděpodobnost „překrytí” těchto dvou stavů) je roven nule. Proto se celý výpočet zjednoduší na

  \[\langle E(t) \rangle = \frac{1}{7L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} E_1 \,\cos^2 \left( \frac{\pi x}{L} \right) \,\mbox{d}x\,+\,\frac{1}{7L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} 9\,E_2 \,\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,+\,\frac{1}{7L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} 4\, E_3 \,\cos^2 \left( \frac{3\pi x}{L} \right)\,\mbox{d}x\,.\]

  Užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu upravíme výraz do tvaru

  \[\langle E(t) \rangle=\] \[= \frac{E_1}{14L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[1\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,+\,\frac{9E_2}{14L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[1\,-\,\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,+\,\frac{4E_3}{14L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left[1\,+\,\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle E(t) \rangle = \frac{E_1}{14L}\,\left[x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \,+\,\frac{9E_2}{14L}\,\left[x\,-\,\frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \,+\,\frac{4E_3}{14L}\,\left[x\,+\,\frac{L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\,, \] \[ \langle E(t) \rangle = \frac{E_1}{14L}\,\cdot\, L \,+\,\frac{9E_2}{14L}\,\cdot\, L \,+\,\frac{4E_3}{14L}\,\cdot\, L\,, \] \[\langle E(t) \rangle = \frac{1}{14} \,E_1 \,+\, \frac{9}{14} \,E_2 \,+\, \frac{4}{14} \,E_3\,,\]

  \(\langle E(t) \rangle= \frac{73}{14}\,E_1\,, \) kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \).

• Nápověda ke 3 – rozklad do báze ortogonálních funkcí

  Můžeme při výpočtu střední hodnoty energie využít faktu, že vlastní funkce hamiltoniánu tvoří ortogonální systém?

• Řešení nápovědy ke 3

  Střední hodnota energie se tedy vypočítá jako \(\langle E \rangle = \langle \psi | \hat{H} \psi\rangle\). Konkrétně pro vlnovou funkci \(\psi(x,\,t)\) závislou na souřadnici a čase je

  \[\langle E(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,\,t) \,\hat{H}\psi(x,\,t)\,\mbox{d}x\,.\]

  Pokud si vlnovou funkci \(\psi(x,\,t)\) vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí \(\psi_n(x,\,t)\) operátoru \(\hat{H}\) \[\psi(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \psi_n(x,\,t),\] můžeme díky linearitě operátoru \(\hat{H}\) psát

  \[\langle E(t) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a^*_n \psi^*_n(x,\,t)\sum_{m=1}^{\infty}a_m \,\hat{H}\psi_m(x,\,t)\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle E(t) \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a^*_n \psi^*_n(x,\,t)\sum_{m=1}^{\infty}a_m \,E_m\psi_m(x,\,t)\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle E(t) \rangle = \sum_{m,n=1}^{\infty} E_m \,a_n^* \,a_m \int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^*(x,\,t) \,\psi_n(x,\,t) \,\mbox{d}x\,, \]

  což se díky ortogonalitě systému vlastních funkcí hamiltoniánu, resp. ortonormalitě systému normovaných vlastních funkcí hamiltoniánu zjednoduší na

  \[\langle E(t) \rangle =\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^2 E_n\,. \]

  Dojít k tomuto vztahu dalo trochu práce, zato si ho ale nyní již můžeme pamatovat a příště už po něm rovnou sáhnout.

• Řešení 3 – druhá verze (z ortogonálního rozkladu)

  V řešení předcházející nápovědy jsme odvodili, že pokud vlnovou funkci \(\psi(x,\,t)\) vyjádříme jako součet navzájem ortogonálních normovaných vlastních funkcí \(\psi_n(x,\,t)\) operátoru \(\hat{H}\,,\) \(\psi(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \psi_n(x,\,t)\), je střední hodnota energie částice v libovolném čase t rovna

  \[\langle E(t) \rangle =\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^2 E_n\,. \]

   

  Jak jsme připomněli v řešení nápovědy ke 2, stacionární stavy částice v dané potenciálové jámě jsou popsány funkcemi

  \(\psi_n(x,\,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}\) pro n lichá a

  \(\psi_n(x,\,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}\) pro n sudá.

  Jim odpovídají energie \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.\]

   

  V úkolu 2) jsme našli předpis pro vlnovou funkci v obecném čase t:

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{iE_3 t}{\hbar}}\,.\]

  Platí

  \[\psi(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{14}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\,+\,\frac{3}{\sqrt{14}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\,+\,\frac{2}{\sqrt{14}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_3 t}{\hbar}}\,,\]

  což je lineární kombinace normovaných vlnových funkcí prvních tří stacionárních stavů:

  \[\psi(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{14}}\,\psi_1(x,\,t)\,+\,\frac{3}{\sqrt{14}}\,\psi_2(x,\,t)\,+\,\frac{2}{\sqrt{14}}\,\psi_3(x,\,t)\,, \]

  je proto

  \[ \langle E(t) \rangle = \sum_{n=1}^{3} E_n |a_n|^2=E_1 |a_1|^2 \,+\, E_2 |a_2|^2 \,+\, E_3 |a_3|^2\,, \] \[ \langle E(t) \rangle = E_1 \,\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)^2 +\, E_2 \,\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2 +\, E_3 \,\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^2\,, \] \[ \langle E(t) \rangle = \frac{1}{14} \,E_1 \,+\, \frac{9}{14} \,E_2 \,+\, \frac{4}{14} \,E_3\,, \]

  \(\langle E(t) \rangle= \frac{73}{14}\,E_1\,,\) kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,. \)

• Nápověda ke 4

  Stav částice, jejíž pohyb je vázán na úsečku <-L/2, L/2>, je v čase t je popsán vlnovou funkcí

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,++\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i9E_1 t}{\hbar}}\,.\]

  Pravděpodobnost výskytu částice na intervalu (a,b) je rovna integrálu hustoty pravděpodobnosti (tj. čtverce absolutní hodnoty vlnové funkce ψ(x,t)) přes tento interval.

• Nápověda ke 4 – vzorce pro goniometrické funkce

  Při řešení úkolu 4 se vám mohou hodit následující identity.

  \[ \cos 3y=\cos y\, \cos 2y \,-\, \sin y\, \sin 2y=\cos y\,(\cos^2 y\,-\,sin^2 y)\,-\,\sin y\,2\,\sin y\,\cos y=\]

  \[=\cos^3 y\,-\,3\,\cos y\,\sin^2 y=\cos^3 y\,-\,3\,\cos y\,(1\,-\,\cos^2 y)=4\,\cos^3 y\,-\,3\,\cos y\]

  
  

  \[ \sin 3y=\sin 2y\,\cos y\,+\,\sin y\,\cos 2y=2\,\sin y\,\cos^2 y\,+\,\sin y\,(\cos^2 y\,-\,sin^2 y)=\]

  \[=3\,\sin y\,\cos^2 y\,-\,sin^3 y=3\,\sin y\,(1\,-\,\sin^2 y)\,-\,sin^3 y=3\,\sin y\,-\,4\,\sin^3 y\]

  
  

  \[ \cos 5y=\cos 2y\,\cos 3y\,-\,\sin 2y\,\sin 3y=(2\,\cos^2 y\,-\,1)(4\,\cos^3 y\,-\,3\,\cos y)\,-\,\sin 2y\,(3\,\sin y\,-\,4\,\sin^3 y)=\]

  \[=8\,\cos^5 y\,-\,10\,\cos^3 y\,+\,3\,\cos y\,-\,2\,\cos y\,(3\,\sin^2 y\,-\,4\,\sin^4 y)=\]

  \[=8\,\cos^5 y\,-\,10\,\cos^3 y\,+\,3\,\cos y\,-\,2\,\cos y\,(1\,-\,\cos^2 y)(4\,\cos^2 y\,-\,1)=16\,\cos^5 y\,-\,20\,\cos^3 y\,+\,5\,\cos y\]

  
  

  \[ \cos y\, \cos 3y = \cos y\,(\cos y\, \cos 2y \,-\, \sin y\, \sin 2y) =\cos y\, [\cos y\, (\cos^2 y \,-\, \sin^2 y) \,-\, \sin y\, 2\, \sin y\, \cos y]=\]

  \[=\cos^2 y\, (\cos^2 y \,-\, 3\, \sin^2 y)=\cos^2 y\, (1 \,-\, 4\, \sin^2 y)=\frac{1}{2}\, (1\,+\,\cos 2y) [1\,-\,2\,(1\,-\,\cos 2y)]=\]

  \[=\frac{1}{2}\, (1\,+\,\cos 2y)\,(2\,\cos 2y\,-\,1)=\frac{1}{2}\,(2\,\cos^2 2y\,+\,\cos 2y\,-\,1)=\frac{1}{2}\,(1\,+\,\cos 4y\,+\,\cos 2y\,-\,1)=\]

  \[=\frac{1}{2}\,(\cos 4y\,+\,\cos 2y)\]

  
  

  \[\sin 2y\, \cos 3y = 2\,\sin y\,\cos y\,(\cos y\,\cos 2y\,-\,\sin y\, \sin 2y)=\]

  \[=2\,\sin y\,[\cos^2 y\,(\cos^2 y\,-\,\sin^2 y)\,-\,\cos y\,\sin y\,2\,\sin y\,\cos y]=\] \[=2\,\sin y\,[\cos^2 y\,(2\,\cos^2 y\,-\,1)\,-\,2\,\cos^2 y\,(1\,-\,\cos^2 y)]=2\,\sin y\,(4\,\cos^4 y\,-\,3\,\cos^2 y)\]

• Řešení 4

  a) Pravděpodobnost výskytu částice na obecném intervalu (a,b) uvnitř jámy je

  \[P=P(x\in (a,\,b),\,t)=\int_a^b |\psi(x,\,t)|^2\,\mbox{d}x\,.\]

  Dosazením

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}} +\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i9E_1 t}{\hbar}}\]

  do tohoto integrálu dostáváme

  \[P=\frac{1}{7L}\int_a^b \left[\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,+\, 9\,\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,4\,\cos^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,+ \]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{1}{7L}\int_a^b 6\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\,\mbox{d}x\,+\]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{1}{7L}\int_a^b 4\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right)\,\mbox{d}x\,+\]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{1}{7L}\int_a^b 12\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right)\,\mbox{d}x\,.\]

  
  

  Dále užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu a dalších identit uvedených v předcházející nápovědě dostáváme postupně

  \[P=\frac{1}{14L}\int_a^b \left[14\,+\,\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, 9\,\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\,+\, 4\,\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,+\]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{12}{7L}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\int_a^b \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \,\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,+\]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{2}{7L}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right)\int_a^b \left[\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,+\, \cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \right]\,\mbox{d}x\,+\]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{6}{7L}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right)\int_a^b \left[4\,\cos^4\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,-\,3\,\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \right]\,\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,,\]

  
  

  \[P=\frac{1}{14L}\,\left[14x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{9L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\, \frac{4L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right) \right]_a^b \,-\]

  \[\hspace{30px}-\,\frac{4}{7\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,+ \]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{1}{14\pi}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ 2\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,- \]

  \[\hspace{30px}-\,\frac{6}{7\pi}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \frac{4}{5}\,\cos^5\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,-\,\cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b \,.\]

  
  

  b) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (0, L/2) získáme dosazením do výsledku a):

  \[P=\frac{1}{14L}\,\left[14x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{9L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\, \frac{4L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right) \right]_{0}^{\frac{L}{2}}\,-\]

  \[\hspace{30px}-\,\frac{4}{7\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{\frac{L}{2}}\,+ \]

  \[\hspace{30px}+\,\frac{1}{14\pi}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ 2\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{\frac{L}{2}}\,- \]

  \[\hspace{30px}-\,\frac{6}{7\pi}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \frac{4}{5}\,\cos^5\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,-\,\cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{0}^{\frac{L}{2}}\,, \]

  
  

  \[P=\frac{1}{2}\,+\,\frac{4}{7\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right)\,-\,\frac{6}{35\pi}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right)\,. \]

  
  

  Užitím vzorců pro \(\cos 3y\) a \(\cos 5y\) dostáváme

  \[P=\frac{1}{2}\,+\,\frac{4}{7\pi}\,\left[4\,\cos^3\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\,-\,3\,\cos\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\right]\,-\,\frac{6}{35\pi}\,\left[16\,\cos^5\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\,-\,20\,\cos^3\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\,+\,5\,\cos\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\right]\,, \]

  
  

  \[P=\frac{1}{2}\,+\,\frac{2}{35\pi}\,\left[100\,\cos^3\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\,-\,48\,\cos^5\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\,-\, 45\,\cos\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\right]\,. \]

  
  

  Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Řešíme-li problém extrémů této pravděpodobnosti P, zjistíme, že krajních hodnot nabývá právě tehdy, když je \[\cos\left(\frac{E_1 t}{\hbar}\right)=\pm\frac{\sqrt{5-\sqrt{13}}}{2\sqrt{2}}\,:\]

  
  

  • v časech \(t_{min}=\frac{\hbar}{E_1}\left(\arccos \frac{\sqrt{5-\sqrt{13}}}{2\sqrt{2}}\,+\,2k\pi\right),\ k=0,\,1,\,2,\,...,\) je rovna \[P=\frac{1}{2}\,-\,\frac{\sqrt{5-\sqrt{13}}\,(11+5\sqrt{13})}{35\sqrt{2}\pi}\,\dot{=}\, 0{,}28, \]
  • v časech \(t_{max}=\frac{\hbar}{E_1}\left(\arccos \frac{-\sqrt{5-\sqrt{13}}}{2\sqrt{2}}\,+\,2k\pi\right),\ k=0,\,1,\,2,\,...,\) je rovna \[P=\frac{1}{2}\,+\,\frac{\sqrt{5-\sqrt{13}}\,(11+5\sqrt{13})}{35\sqrt{2}\pi}\,\dot{=}\, 0{,}72\,. \]

  
  

  c) Pravděpodobnost nalezení částice na intervalu (−L/4, L/4) získáme dosazením do výsledku a):

  \[P=\frac{1}{14L}\,\left[14x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{9L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\, \frac{4L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right) \right]_{-\frac{L}{4}}^{\frac{L}{4}} \,- \]

  \[-\,\frac{4}{7\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{4}}^{\frac{L}{4}}\,+ \,\frac{1}{14\pi}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ 2\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{4}}^{\frac{L}{4}}\,-\]

  \[-\,\frac{6}{7\pi}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \frac{4}{5}\,\cos^5\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,-\,\cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{-\frac{L}{4}}^{\frac{L}{4}}\,, \]

  
  

  \[P=\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{52\pi}\,+\,\frac{2}{7\pi}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right)\,. \]

  
  

  Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy se mění s časem.
  Osciluje mezi hodnotami \(\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{52\pi}\,-\,\frac{2}{7\pi}\,\dot{=}\, 0{,}40\) a \(\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{52\pi}\,+\,\frac{2}{7\pi}\,\dot{=}\, 0{,}58\,.\) Maxima dosahuje v časech \(t_{\mbox{max}}=\frac{(2k+1)\pi\hbar}{8E_1}\) a minima v časech \(t_{\mbox{min}}=\frac{2k\pi\hbar}{8E_1}\),  k = 0, 1, 2, ... .

• Odpovědi

  1) Normovací konstanta je rovna \(A=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,.\)

   

  2) Vlnová funkce

  \[\psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{7L}}\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}} \,+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,3\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,e^{-\frac{i4E_1 t}{\hbar}}+\,\frac{1}{\sqrt{7L}}\,2\,\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i9E_1 t}{\hbar}}\,,\]

  kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,.\)

   

  3) Střední hodnota energie částice v čase t je rovna \( \langle E(t) \rangle = \frac{73}{14}\,E_1\,,\) kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,. \)

   

  4a) Pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází někde na intervalu (a,b) uvnitř jámy, je rovna

  \[P=\frac{1}{14L}\,\left[14x\,+\,\frac{L}{2\pi}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \,-\, \frac{9L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \,+\, \frac{4L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right) \right]_a^b \,-\,\frac{4}{7\pi}\,\cos\left(\frac{3E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,+ \]

  \[+\,\frac{1}{14\pi}\,\cos\left(\frac{8E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ 2\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,+\,\sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,-\,\frac{6}{7\pi}\,\cos\left(\frac{5E_1 t}{\hbar}\right) \,\left[ \frac{4}{5}\,\cos^5\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,-\,\cos^3\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_a^b\,. \]

   

  4b) Pravděpodobnost výskytu částice v pravé části jámy se mění s časem. Osciluje mezi 28 % a 72 % (podrobněji viz Řešení 4).

   

  4c) Pravděpodobnost výskytu částice ve střední části jámy na intervalu (-L/4, L/4) se mění s časem. Osciluje mezi hodnotami \(\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{52\pi}\,-\,\frac{2}{7\pi}\) a \(\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{52\pi}\,+\,\frac{2}{7\pi}\), tj. mezi 40 % a 58 %. Maxima dosahuje v časech \(t_{max}=\frac{(2k+1)\pi\hbar}{8E_1}\) a minima v časech \(t_{min}=\frac{2k\pi\hbar}{8E_1}\), k = 0, 1, 2, ..., kde \( E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\,. \)

• Odkaz

  Podobný problém se řeší také v úlohách Superpozice dvou vlastních stavů a Nestacionární stav 1 této sbírky.