Sbírka řešených úloh

Změna parametru LHO

Úloha číslo: 2302

• Nápověda 1

  Vyhledejte tvar vlnové funkce základního stavu jednodimenzionálního lineárního harmonického oscilátoru.

• Řešení nápovědy 1

  Vlnová funkce základního stavu LHO (bez členu určující vývoj v čase) je

  \[\psi_{0}=\sqrt{\frac{1}{x_0\sqrt{\pi}}}e^{−\frac{x^2}{2x_{0}^{2}}},\]

  kde konstanta \(x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\) je tzv. charakteristický rozměr.

• Nápověda 2

  Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 2

  Je-li stav popsán normovanou vlnovou funkcí \(\psi\), kterou rozložíme na lineární kombinaci navzájem kolmých a normovaných vlastních vlnových funkcí \(\psi_i\) operátoru \(\hat{F}\), tj.

  \[\psi=\sum_{i}c_i\psi_i,\]

  tak pravděpodobnost \(P_{\lambda_i}\) naměření vlastního čísla \(\lambda_i\) (příslušný vlastní stav je popsán vlnovou funkcí \(\psi_i\)) je roven

  \[P_{\lambda_i}=|c_i|^2.\]

  Koeficienty \(c_i\) můžeme vypočítat pomocí skalárního součinu

  \[c_i=\left\langle\psi_i|\psi\right\rangle=\int_{−\infty}^{\infty}\psi_i^{*}(x)\psi(x)\,\mathrm{d}x.\]

• Nápověda 3 − Užitečný vzorec

  Při výpočtu využijeme hodnotu Poissonova integrálu

  \[\int_{−\infty}^\infty{e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.\]

• Řešení

  Uvažujeme-li nekonečně rychlou změnu parametru LHO z \(k\) na \(2k\), pak předpokládáme, že částice a tedy i její vlnová funkce „nestihne“ zareagovat na tyto změny. Tedy po této změně zůstane částice v základním stavu \(\psi_0\)

  \[\psi_{0}(x)=\sqrt{\frac{1}{x_0\sqrt{\pi}}}e^{−\frac{x^2}{2x_{0}^{2}}},\]

  kde konstanta \(x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\) je tzv. charakteristický rozměr. Tato vlnová funkce již není vlastní vlnovou funkcí změněného systému.

  Jelikož \(\omega=\sqrt\frac{k}{m}\), pak úhlová rychlost změněného systému \(\omega'\) je

  \[\omega'=\sqrt{2}\omega.\]

  Vyjádřeme vlnovou funkci původního základního stavu \(\psi_0\) a vlnovou funkci základního stavu změněného systému \(\phi_0\) pomocí \(\omega\) dosazením za \(x_0\)

  \[\psi_{0}(x)=\left({\frac{m\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{4}}e^{−\frac{m\omega x^2}{2\hbar}},\] \[\phi_{0}(x)=\left({\frac{m\sqrt{2}\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{4}}e^{−\frac{m\sqrt{2}\omega x^2}{2\hbar}}.\]

  Koeficient lineární kombinace rozkladu původního stavu \(\psi_0\) do báze nových vlastních stavů stojící před \(\phi_{0}\) je roven

  \[c=\left\langle\phi_{0}(x)\Big|\psi_0(x)\right\rangle=\int_{−\infty}^{\infty}\phi_{0}^{*}(x)\psi_0(x)\,\mathrm{d}x=\int_{−\infty}^{\infty}\left({\frac{m\sqrt{2}\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{4}}e^{−\frac{m\sqrt{2}\omega x^2}{2\hbar}}\left({\frac{m\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{4}}e^{−\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}\,\mathrm{d}x=\] \[=2^\frac{1}{8}\left({\frac{m\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{−\infty}^{\infty}e^{−\frac{m(\sqrt{2}+1)\omega x^2}{2\hbar}}\,\mathrm{d}x=2^\frac{1}{8}\left({\frac{m\omega}{\hbar\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{2\hbar\pi}{(\sqrt{2}+1) m \omega}}=2^\frac{5}{8}\sqrt{\frac{\sqrt{2}−1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}−1)}}=2^\frac{5}{8}\sqrt{\sqrt{2}−1}.\]

  Při výpočtu jsme využili známou hodnotu Poissonova integrálu (viz Nápověda 3). Tedy pravděpodobnost nalezení částice v základním stavu nového systému je

  \[P=|c|^2=2^\frac{5}{4}(\sqrt{2}−1)\doteq0{,}985.\]

• Odpověď

  Uvažujeme-li částici s hmotností \(m\) v jednodimenzionálním lineárním harmonickém oscilátoru s potenciální energií \(\frac{1}{2}kx^2\) v základním stavu \(\psi_0\) a okamžitou změnu parametru popisujícího rozevřenost paraboly na dvojnásobek, poté pravděpodobnost, že částici po této změně nalezneme v novém základním stavu změněného systému je

  \[P=2^\frac{5}{4}(\sqrt{2}−1)\doteq0{,}985.\]