Stupňovitá pravoúhlá jáma

Úloha číslo: 705

Částice se nachází uvnitř nekonečně hluboké potenciálové jámy znázorněné na obrázku níže. Její stav je v čase t = 0 popsán vlnovou funkcí

\[\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\ \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\] pro \(x \in \langle 0,\,L\rangle\) a

\(\psi(x)=0\) pro \(x \not\in \langle 0,\,L\rangle\).

Nekonečně hluboká schodovitá potenciálová jáma

1) Rozhodněte, zda je \(\psi(x)\) vlastní funkcí hamiltoniánu.

2) Vypočtěte střední hodnotu polohy \(\langle \hat{x} \rangle\) v čase t = 0.

3) Vypočtěte střední hodnotu hybnosti \(\langle \hat{p}_x \rangle\) v čase t = 0.

4) Vypočtěte střední hodnotu energie \(\langle \hat{H} \rangle\) v čase t = 0.

  • Nápověda k 1

    Jaký tvar má Schrödingerova rovnice v „levé” části jámy a jaký tvar má v „pravé“ části jámy?

  • Řešení 1

    V „levé” části potenciálové jámy má Schrödingerova rovnice po úpravě tvar

    \[\frac{\mbox{d}^2 \psi(x)}{\mbox{d} x^2}\,+\,\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\,\psi(x)=0\,.\]

    V „pravé” části potenciálové jámy má tvar

    \[\frac{\mbox{d}^2 \psi(x)}{\mbox{d} x^2}\,+\,\frac{2mE}{\hbar^2}\,\psi(x)=0\,.\]

    Má-li být nějaká funkce vlastní funkcí hamiltoniánu uvnitř jámy, pak musí být jeho vlastní funkcí v „levé“ i „pravé“ části jámy.

    Dosazením zadané funkce

    \[\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\ \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\]

    do obou uvedených rovnic dostáváme

    \[-\frac{9\pi^2}{L^2}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,+\,\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)=0\,,\]

    po úpravě

    \[\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\left(-\frac{9\pi^2}{L^2}\,+\,\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\right)=0\tag{1}\]

    a zároveň

    \[-\frac{9\pi^2}{L^2}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,+\,\frac{2mE}{\hbar^2}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)=0\,,\]

    po úpravě

    \[\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\left(-\frac{9\pi^2}{L^2}\,+\,\frac{2mE}{\hbar^2}\right)=0\,.\tag{2}\]

    Rovnice (1) a (2) si ale protiřečí, neboť pro V0 > 0 nemůže být zároveň

    \(E=V_0 \,+\, \frac{9\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\ \) a \(\,E=\frac{9\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\).

    Z toho vyplývá, že uvedená funkce ψ(x) není vlastní funkcí hamiltoniánu.

  • Nápověda k 2, 3 a 4

    Pro částici, jejíž stav je v daném čase popsán vlnovou funkcí \(\psi(x)\), je střední hodnota operátoru \(\hat{O}\) definována jako integrál

    \[\langle \hat{O} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\,\hat{O}\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\]
  • Řešení 2

    Střední hodnota polohy je v čase t = 0 rovna

    \[\langle \hat{x} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\,x\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\]

    Dosazením za \(\psi(x)\) dostáváme

    \[\langle \hat{x} \rangle = \frac{2}{L}\int_0^L x\,\sin^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle \hat{x} \rangle = \frac{1}{L}\int_0^L x\,\left[1\,-\,\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\]

    a dále metodou per partes

    \[\langle \hat{x} \rangle = \frac{1}{L}\,\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^L -\,\frac{1}{L}\,\left[\frac{L}{6\pi}\,x\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_0^L -\,\frac{1}{L}\,\left[\frac{L^2}{36\pi^2}\,\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_0^L\,= \frac{L}{2}\,.\]
  • Řešení 3

    Střední hodnota hybnosti částice je v čase t = 0 rovna

    \[\langle \hat{p}_x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\,(-i\hbar)\frac{\mbox{d}\psi(x)}{\mbox{d}x}\,\mbox{d}x\,.\]

    Dosazením za ψ(x) dostáváme

    \[\langle \hat{p}_x \rangle =\frac{2}{L}\int_0^L \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,(-i\hbar)\left[\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle \hat{p}_x \rangle =-\frac{2i\hbar}{L}\int_0^L \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,\left[\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,.\tag{3}\]

    Tento integrál je jako stvořený pro substituci. Označme

    \[t=\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\,.\]

    Pak je

    \[\mbox{d}t=\left[\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\,\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\]

    a integrál (3) můžeme počítat jako

    \[\langle \hat{p}_x \rangle = -\frac{2i\hbar}{L}\int_0^0 t\,\mbox{d}t=0\,.\]
  • Řešení 4

    Střední hodnotu hamiltoniánu vypočteme klasicky z definice. Platí

    \[\langle \hat{H} \rangle = \int_0^L \psi^*(x)\,\hat{H}\psi(x)\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle \hat{H} \rangle = \int_0^L \psi^*(x)\,(\hat{T}+\hat{V})\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\]

    Vzhledem k linearitě integrálu ho můžeme rozdělit na součet dvou

    \[\langle \hat{H} \rangle = \int_0^L \psi^*(x)\,\hat{T}\psi(x)\,\mbox{d}x\,+\int_0^L \psi^*(x)\,\hat{V}\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\]

    Vzhledem k nulové potenciální energii na intervalu (2L/3, L) můžeme změnit meze druhého integrálu a psát

    \[\langle \hat{H} \rangle = \int_0^L \psi^*(x)\,\hat{T}\psi(x)\,\mbox{d}x\,+\int_0^{2L/3} \psi^*(x)\,\hat{V}\psi(x)\,\mbox{d}x\,.\]

    Nyní dosadíme za kinetickou a potenciální energii odpovídající výrazy:

    \[\langle \hat{H} \rangle = \int_0^{L} \psi^*(x)\,\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\right)\,\frac{\mbox{d}^2 \psi(x)}{\mbox{d}x^2} \,\mbox{d}x\,+\int_0^{2L/3} \psi^*(x)\,V_0\,\psi(x)\,\mbox{d}x\,,\] \[\langle \hat{H} \rangle = V_0 \int_0^{2L/3} |\psi(x)|^2\,\mbox{d}x\,-\,\frac{\hbar^2}{2m}\int_{0}^L \psi^*(x)\,\frac{\mbox{d}^2 \psi(x)}{\mbox{d}x^2}\,\mbox{d}x\,.\]

     

    Dosazením vlnové funkce

    \[\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\ \sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\]

    dostáváme

    \[\langle \hat{H} \rangle=\frac{2V_0}{L}\int_0^{2L/3} \sin^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\mbox{d}x\,-\,\frac{\hbar^2}{2m}\frac{2}{L}\,\left(-\frac{9\pi^2}{L^2}\right)\int_0^L \sin^2\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\mbox{d}x. \]

    Užitím vztahu pro sinus polovičního argumentu upravíme integrály do tvaru

    \[\langle \hat{H} \rangle=\frac{V_0}{L}\int_0^{2L/3} \left[1-\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,+\, \frac{9\pi^2\hbar^2}{2mL^3}\int_0^L \left[1-\cos\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x\,, \] \[\langle \hat{H} \rangle=\frac{V_0}{L}\, \left[x-\frac{L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_0^{2L/3}+\, \frac{9\pi^2\hbar^2}{2mL^3}\,\left[x-\frac{L}{6\pi}\,\sin\left(\frac{6\pi x}{L}\right)\right]_0^L\,, \] \[\langle \hat{H} \rangle= \frac{2V_0}{3}\,+\,\frac{9\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\,.\]
  • Odpovědi

    1) Funkce ψ(x) není vlastní funkcí hamiltoniánu.

    2) Střední hodnota polohy částice je v čase t = 0 rovna \(\langle \hat{x} \rangle = \frac{L}{2}\) (střed jámy).

    3) Střední hodnota hybnosti částice je v čase t = 0 rovna \(\langle \hat{p}_x \rangle = 0\).

    4) Střední hodnota energie částice je v čase t = 0 rovna \(\langle \hat{H} \rangle= \frac{2V_0}{3}\,+\,\frac{9\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\).

  • Aplet

    Pokud vás zajímá, jak asi vypadají vlastní funkce hamiltoniánu v jámě tohoto typu, otevřete si stránku http://webphysics.davidson.edu/physletprob/ch10_modern/default.html a prozkoumejte aplet dostupný v levém menu pod názvem Finite Well. Do prázdného pole Potential, které se nachází pod grafem, napište například

    2000-step(x+0.75)*1500-step(x-0.25)*500+step(x-0.75)*2000,

    čímž vytvoříte stupňovitou potenciálovou jámu podobnou té, s níž jsme počítali v této úloze. Stejná být nemůže už jen proto, že výše potenciálu na levé a pravé straně je omezená a jde tedy vždy o konečně hlubokou jámu. Na druhou stranu, exponenciální pokles v klasicky nedostupné oblasti je poměrně rychlý a průběh vlnové funkce ani hladiny energie se pro malá n nebudou dramaticky lišit od řešení pro jámu nekonečně hlubokou. Hodnoty kvantového čísla n volte postupně od 1 do 20 (pro 21 a vyšší se již dostanete mimo rozsah zobrazované oblasti).

    Sledujte, jak se mění tvar vlnové funkce a jak se posouvají energetické hladiny. Osa, kolem které „sinusoida“ vlnové funkce osciluje, je pro názornost posunuta vždy na úroveň dané energie.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze