Kvartický potenciál
Úloha číslo: 2246
Uvažujme částici, která je vázána na přímku a její potenciální energie je dána vztahem \[V(x)=bx^4,\]
kde \(b>0\). Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu tohoto systému, pokud minimalizaci provedeme na třídě vlnových funkcí tvaru \[\psi(x;\lambda)=Ae^{−\lambda^2 x^2},\] kde \(A\) je normalizační konstanta a \(\lambda\) je reálný parametr.
Pozn.: Hledaná funkce tvarem odpovídá funkci základního stavu lineárního harmonického oscilátoru.
Nápověda 1
Připomeňte si princip variační metody v kvantové mechanice. Nemáte-li přístup k vlastním poznámkám, můžete nahlédnout v sekci Potenciál tvaru Gaussovy křivky, Řešení nápovědy 1 na její stručné zopakování.
Nápověda 2
Sestavme funkcionál pro hledání střední hodnoty energie
\[\mathbb{F}(\psi)=\frac{\langle\psi|\hat{H}\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi|(\hat{T}+\hat{V})\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi|(−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+V)\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.\]Připomeňte si hledání jeho minima.
Nápověda 3 – Poissonovy integrály
Při řešení úlohy využijeme známých hodnot Poissonových integrálů \[\int_{−\infty}^\infty{e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}},\] \[\int_{−\infty}^\infty{x^2e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^{3}}},\] \[\int_{−\infty}^\infty{x^4e^{−ax^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\pi}{a^{5}}}.\]
Řešení
Základem variační metody je hledání minima funkcionálu střední energie částice v daném stavu. Sestavme funkcionál, jehož minimum budeme hledat
\[\mathbb{F}(\psi)=\frac{\langle\psi|\hat{H}\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi|(\hat{T}+\hat{V})\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi|(−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+V)\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.\]Nejprve si vypočítáme jmenovatel funkcionálu
\[{\langle\psi|\psi\rangle}=\int_{−\infty}^\infty{|A|^2e^{−2\lambda^2 x^2}}\,\mathrm{d}x=|A|^2\sqrt{\frac{\pi}{2\lambda^2}}.\]Zde jsme využili známých hodnot Poissonových integrálů (viz nápověda).
Dále si pro přehlednost výpočtu rozepíšeme Hamiltonův operátor \(\hat{H}\) do konkrétního tvaru \[\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=−\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+bx^4.\]
Nyní si vypočítáme střední hodnoty jednotlivých členů Hamiltoniánu ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi(x;\lambda)\). Využijeme při tom Poissonovy integrály, které naleznete v nápovědě.
Nejprve vypočteme střední hodnotu potenciální energie \[\langle\psi|\hat{V}\psi\rangle=\int_{−\infty}^\infty{A^{*}e^{−\lambda^2x^2}bx^4Ae^{−\lambda^2x^2}}\,\mathrm{d}x=b|A|^2\int_{−\infty}^\infty{x^4e^{−2\lambda^2x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{3}{4}b|A|^2\sqrt{\frac{\pi}{(2\lambda^2)^{5}}}.\]
Dále si vypočítáme druhé derivace \(\psi\) podle \(x\), které použijeme ve výpočtu střední hodnoty kinetické energie \(\hat{T}\)
\[\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} Ae^{−\lambda^2 x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(−2A\lambda^2 xe^{−\lambda^2 x^2})=(−2A\lambda^2+ 4A\lambda^4 x^2)e^{−\lambda^2 x^2}.\]Nyní spočítáme střední hodnotu kinetické energie, využijeme toho, že působení operátoru kinetické energie \(\hat{T}\) na funkci \(\psi\) jsme si připravili výše:
\[\langle\psi|\hat{T}\psi\rangle=|A|^2\int_{−\infty}^\infty−e^{−\lambda^2 x^2}\frac{\hbar^2}{2m}\left (−2\lambda^2+ 4\lambda^4 x^2\right )e^{−\lambda^2 x^2}\,\mathrm{d}x=\] \[=|A|^2\left(\int_{−\infty}^\infty −\frac{\hbar^2}{m}2\lambda^4 x^2 e^{−2\lambda^2 x^2}\,\mathrm{d}x+\int_{−\infty}^\infty\frac{\hbar^2}{m}\lambda^2 e^{−2\lambda^2 x^2}\,\mathrm{d}\right)=\] \[=|A|^2\left[ −\frac{\hbar^2}{m} \left(2\lambda^4 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(2\lambda^2)^3}} -\lambda^2 \sqrt{\frac{\pi}{2\lambda^2}}\right)\right]=\] \[=|A|^2\left(\frac{1}{2}\frac{\hbar^2}{m}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\lambda\right).\]Střední hodnotu energie našeho systému získáme vydělením výrazu \(\langle\psi|\hat{H}\psi\rangle=\langle\psi|\hat{T}\psi\rangle+\langle\psi|\hat{V}\psi\rangle\) hodnotou \({\langle\psi|\psi\rangle}\) tedy
\[E(\lambda)=\langle\hat{H}\rangle_\psi=\frac{\langle\psi|\hat{H}\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}= \frac{|A|^2\left(\frac{1}{2}\frac{\hbar^2}{m}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\lambda+b\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{16\lambda^5} \right)}{|A|^2\sqrt{\frac{\pi}{2\lambda^2}}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\hbar^2}{m}\lambda^2+b\frac{3}{8\lambda^4}\right).\]
Nyní pro zjištění minimální energie využijeme drobný trik. Získaný výraz si šikovně rozložíme a využijeme A-G nerovnost (nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem), která říká, že pro všechna kladná čísla \(a\), \(b\), \(c\) platí \[\frac{1}{3}(a+b+c)\geq(abc)^\frac{1}{3}.\]
Získaný vztah pro střední hodnotu energie můžeme tedy upravit na tvar
\[\langle\hat{H}\rangle=\frac{1}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\lambda^2+\frac{\hbar^2}{2m}\lambda^2+b\frac{3}{8\lambda^4}\right)\geq \frac{3}{2}\left(\frac{\hbar^4}{4m^2}\frac{3b}{8}\right)^\frac{1}{3},\]který je výhodný, protože na pravé straně nerovnosti není neznámý parametr \(\lambda\). Nerovnost nám tedy říká, že pro libovolnou hodnotu \(\lambda\) je střední hodnota energie větší nebo rovna výrazu na pravé straně.
Z vlastností A-G nerovnost dále plyne, že rovnost nastává právě tehdy, když se čísla \(a\), \(b\), \(c\) navzájem rovnají. V našem případě tedy pokud
\[\frac{\hbar^2}{2m}\lambda^2=b\frac{3}{8\lambda^4}.\]Z toho dostáváme
\[\lambda=\sqrt[6]{\frac{3bm}{4\hbar^2}}.\]A dosazením dostáváme odhad minimální energie systému
\[\langle E_{min} \rangle_\psi=\frac{3}{2}\left(\frac{\hbar^4}{4m^2}\frac{3b}{8}\right)^\frac{1}{3}.\]Odpověď
Odhad energie základního stavu pro náš systém s potenciální energií \(V(x)=bx^4,\) kde \(b>0\), pomocí variační metody na třídě funkcí \(\psi=Ae^{−\lambda^2 x^2}\), kde \(A\) je normalizační konstanta a \(\lambda\) je reálný parametr, je \[\langle E_{min} \rangle_\psi=\frac{3}{2}\left(\frac{\hbar^4}{4m^2}\frac{3b}{8}\right)^\frac{1}{3},\]
což odpovídá hodnotě parametru \(\lambda\)
\[\lambda=\sqrt[6]{\frac{3bm}{4\hbar^2}}.\]
