Vektorový součin momentu hybnosti
Úloha číslo: 4336
Vypočítejte vektorový součin \(\hat{\vec L} \times \hat{\vec L}\).
Porovnejte výsledek s klasickým výpočtem \(\vec L \times \vec L\) a zdůvodněte případné rozdíly.
Nápověda – jak postupovat
V této úloze doporučujeme postupně určovat jednotlivé složky vektorového součinu.
S využitím obecného zápisu pomocí Levi‑Civitova symbolu pro výpočet \(i\)-té složky vektorového součinu je také možné tuto úlohu vypočítat, nicméně jde o výrazně složitější postup.
Řešení – výpočet s operátory
Postupně určíme jednotlivé složky vektorového součinu. Začneme s první složkou, kterou rozepíšeme
\[ \left ( \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} \right )_1 = \varepsilon_{1jk} \hat L_j \hat L_k = \hat L_2 \hat L_3 - \hat L_3 \hat L_2 \, . \]Nyní si povšimneme, že výraz na pravé straně rovnosti výše je rozepsaný komutátor druhé a třetí složky momentu hybnosti. Výsledek tohoto komutátoru známe z úlohy Komutátory se složkou momentu hybnosti, Odpověď. Můžeme tedy dosadit, čímž získáme výsledek
\[ \left ( \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} \right )_1 = \left [\hat L_2, \hat L_3 \right ] = i \hbar \hat L_1 \, . \]Analogicky určíme zbylé dvě složky vektorového součinu
\[ \left ( \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} \right )_2 = \varepsilon_{2jk} \hat L_j \hat L_k = \hat L_3 \hat L_1 - \hat L_1 \hat L_3 = \left [\hat L_3, \hat L_1 \right ] = i \hbar \hat L_2 \, , \] \[ \left ( \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} \right )_3 = \varepsilon_{3jk} \hat L_j \hat L_k = \hat L_1 \hat L_2 - \hat L_2 \hat L_1 = \left [\hat L_1, \hat L_2 \right ] = i \hbar \hat L_3 \, . \]Celkově tedy platí
\[ \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} = i \hbar \left (\hat L_1, \hat L_2, \hat L_3 \right ) = i \hbar \hat{\vec L} \, . \]Řešení – klasický výpočet
Nyní se podíváme, jak tomu je v klasickém případě, tj. \(\vec L \times \vec L\).
V klasickém výpočtu je vektorový součin vektoru se sebou samým nulový, tj. \(\vec L \times \vec L = \vec 0\).
Rozdíl ve výsledcích kvantového a klasického výpočtu je způsoben nekomutativitou operátorů složek momentu hybnosti.
Odpověď
Určili jsme
\[ \hat{\vec L} \times \hat{\vec L} = i \hbar \hat{\vec L} \, , \] \[ \vec L \times \vec L = \vec 0 \, . \]Rozdíl ve výsledcích je způsoben nekomutativitou složek operátoru momentu hybnosti, což je efekt, který se v klasickém výpočtu nevyskytuje.
