Stupeň degenerace energetických hladin atomu vodíku
Úloha číslo: 4337
Určete stupeň degenerace n-té energetické hladiny atomu vodíku vůči kvantovým číslům l a m
a) bez uvažování spinu elektronu,
b) se spinem elektronu.
Nápověda 1
Degenerace energetické hladiny znamená, že různé vlastní stavy mají stejnou energii. Počet různých vlastních stavů se stejnou energií označujeme jako tzv. stupeň degenerace gn.
Energie stavu atomu vodíku je určena hlavním kvantovým číslem n, ale nezávisí na vedlejším kvantovém čísle l ani na magnetickém kvantovém čísle m, ani na spinu elektronu. To znamená, že dva stavy, které mají stejné hlavní kvantové číslo n, mají stejnou energii, i když se liší v kvantových číslech l a m nebo ve spinu elektronu. Naše otázka je tedy stejná, jako kdybychom se ptali, kolik různých stavů atomu vodíku existuje pro dané hlavní kvantové číslo n.
Nápověda 2
Jakých hodnot může nabývat vedlejší kvantové číslo l pro dané hlavní kvantové číslo n?Nápověda 3 – počet možností magnetického kvantového čísla m
Jakých hodnot může nabývat magnetické kvantové číslo m pro danou dvojici kvantových čísel n, l?Nápověda 4
Kolik existuje různých dvojic vedlejšího a magnetického kvantvého čísla n, l pro dané hlavní kvantové číslo n?Nápověda 5 – součet aritmetické posloupnosti
Součet prvních N členů aritmetické posloupnosti \[\sum_{i=0}^N a_i = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_N\] můžeme vypočítat podobně jako malý Gauss ve známém příběhu, který si uvědomil, že součet prvního a posledního členu, druhého a předposledního členu atd. je vždy stejný. Takových dvojic se stejným součtem je dohromady \(\frac{N}{2}\).
Součet prvních N členů aritmetické posloupnosti tedy můžeme zapsat jako \[\sum_{i=0}^N a_i = \frac{N}{2}(a_0+a_N) \,.\]
Řešení a)
Degenerace znamená, že různé vlastní stavy mají stejnou energii. Počet různých vlastních stavů se stejnou energií označujeme jako tzv. stupeň degenerace gn.
Energie stavu atomu vodíku je určena hlavním kvantovým číslem n a nezávisí na vedlejším kvantovém čísle l, na magnetickém kvantovém čísle m a na spinu elektronu. To znamená, že dva stavy, které mají stejné hlavní kvantové číslo n, mají stejnou energii, i když se liší v kvantových číslech l a m nebo ve spinu elektronu. Naše otázka je tedy stejná, jako kdybychom se ptali, kolik různých stavů atomu vodíku existuje pro dané hlavní kvantové číslo n.
Nejprve se podívejme na počet možností vedlejšího kvantového čísla l pro dané hlavní kvantové číslo n.
Vedlejší kvantové číslo může nabývat hodnot přirozených čísel včetně nuly a musí splňovat podmínku \[n > l \,.\]
Z této podmínky plyne, že pro pevně zvolené hlavní kvantové číslo n může vedlejší kvantové číslo nabývat hodnot l = 0, 1, 2, ..., (n−1). Pro každé hlavní kvantové číslo n tak existuje n možných hodnot vedlejšího kvantového čísla l.
Nyní se podívejme na počet možných hodnot magnetického kvantového čísla m pro danou dvojici kvantových čísel n, l.
Magnetické kvantové číslo m může nabývat hodnot celých čísel a musí splňovat podmínku \[\vert m \vert \leq l\,.\] Z této podmínky plyne, že pro pevně zvolené hlavní a vedlejší kvantové číslo n, l může magnetické kvantové číslo nabývat hodnot m = −l, ..., 0, ..., l. Pro každé vedlejší kvantové číslo l tak existuje 2l + 1 možných hodnot magnetického kvantového čísla m.
Chceme-li zjistit stupeň degenerace gn, musíme určit počet různých dvojic vedlejšho a magnetického kvantového čísla l, m pro pevně zvolené hlavní kvantové číslo n, který odpovídá počtu všech možných různých stavů elektronu v atomu vodíku. Projdeme postupně možné hodnoty vedlejšího kvantového čísla l a sečteme počet možných hodnot magnetického kvantového čísla m pro každé z nich. Již víme, že pro dané vedlejší kvantové číslo l máme 2l + 1 možných hodnot magnetického kvantového čísla m, dostaneme tedy součet aritmetické řady \begin{align} g_n = \sum_{l=0}^{n-1}(2l + 1) \,. \end{align}
Součet této aritmetické posloupnosti můžeme vypočítat jako \[g_n = \sum_{l=0}^{n-1} (2l + 1) = \frac{n}{2}(1 + 2(n-1) + 1) = n^2 \,.\]
Stupeň degenerace každé energetické hladiny atomu vodíku vůči kvantovým číslům l a m je tedy n2.
Nápověda b)
Kolik možných hodnot průmětu spinu do zvoleného směru má elektron v atomu vodíku?Řešení nápovědy b)
Elektron v atomu vodíku má dvě možnosti průmětu spinu do libovolné zvoleného směru \(\pm\frac{\hbar}{2}\). Nejčastěji volíme průmět do osy z.Řešení b)
Pro každý stav popsaný kvantovými čísly (n, l, m) má elektron dvě možnosti průmětu spinu \(\pm\frac{\hbar}{2} \,.\) Každý stav tak při uvažování spinu dostaneme ve dvou variantách, které se někdy označují jako stavy s průmětem spinu „nahoru“ nebo „dolů.“
Degenerace n-té energetické hladiny tak bude dvojnásobná oproti případu, ve kterém jsme neuvažovali spin, tedy 2n2.
Odpověď
a) Stupeň degenerace n-té energetické hladiny atomu vodíku vůči kvantovým číslům l a m bez uvažování spinu elektornu je n2.
b) Stupeň degenerace n-té energetické hladiny atomu vodíku vůči kvantovým číslům l a m při uvažování spinu elektronu je 2n2.
Komentář
V této úloze jsme pracovali s takovým modelem atomu vodíku, ve kterém energie závisela pouze na hlavním kvantovém čísle n. Při použití přesnějšího modelu atomu vodíku (např. při uvažování relativistických efektů, spin-orbitální interakce a interakce spinu elektronu se spinem jádra) energie závisí kromě hlavního kvantového čísla také na dalších kvantových číslech a degenerace energetických hladin vůči kvantovým číslům l a m tedy částečně nebo zcela mizí.
