Sbírka řešených úloh

Střední a nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu

Úloha číslo: 610

• Nápověda k a) – hodnoty konstant

  ħ = 1,055·10−34 J·s	redukovaná Planckova konstanta
  ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2	permitivita vakua
  me = 9,11·10−31 kg	hmotnost elektronu
  Qe = 1,602·10−19 C	náboj elektronu

• Řešení a)

  Číselnou hodnotu a získáme dosazením hodnot uvedených v předcházející nápovědě do vzorce \( a=\frac{\hbar^2 \,4\pi\epsilon_0}{m_e \,Q_e^2} \) uvedeného v zadání. Je

  \[ a=\frac{\left(1{,}055 \,\cdot\, 10^{-34}\right)^2 \,\cdot\,4\pi \,\cdot\, 8{,}85 \,\cdot\, 10^{-12}}{9{,}11\,\cdot\,10^{-31}\,\cdot\, \left(1{,}602\,\cdot\,10^{-19}\right)^2}\ \mbox{m}\,\dot{=}\ 5{,}3\,\cdot\,10^{-11}\,\mbox{m}. \]

• Nápověda k b) – střední hodnota polohy

  Střední hodnotu operátoru \(\hat{r}\) je v kulově symetrické úloze, jako je takto, vhodné počítat s použitím sférických souřadnic. Objemový element má ve sférických souřadnicích tvar \[\mbox{d}V=r^2 \,\sin\theta\, \mbox{d}\varphi\,\mbox{d}\theta\,\mbox{d}r.\] Jak tedy bude vypadat vztah pro výpočet \(\langle \hat{r}\rangle\)?

• Řešení nápovědy

  Střední hodnotu operátoru \(\hat{r}\) vypočítáme z definice jako integrál

  \[\langle \hat{r} \rangle =\int_V \psi^\ast(r) r \psi (r) \,\mbox{d}V\]

  a ve sférických souřadnicích tedy jako trojný integrál

  \[\langle \hat{r} \rangle = \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \psi^\ast(r) r \psi (r) \,r^2\,\sin\theta\,\mbox{d}\varphi\,\mbox{d}\theta\,\mbox{d}r.\]

• Nápověda k b) – jak integrovat

  Dospěli jste při výpočtu střední polohy částice k integrálu, s kterým si neumíte poradit? Zkuste třikrát po sobě aplikovat metodu per partes (nebo se podívejte, jak takové řešení vypadá).

• Řešení nápovědy

  K výpočtu střední hodnoty polohy částice se může hodit integrál

  \[ I=\int x^3 e^x \,\mbox{d}x, \]

  který vypočteme trojím použitím metody per partes:

  \[ I= x^3 e^x \,- \int 3x^2 e^x \,\mbox{d}x, \] \[ I= x^3 e^x \,-\, 3x^2 e^x \,+ \int 6xe^x \,\mbox{d}x, \] \[ I= x^3 e^x \,-\, 3x^2 e^x \,+\, 6xe^x \,-\, 6e^x, \] \[ I= e^x \,\left(x^3 \,-\, 3x^2 \,+\, 6x \,-\, 6\right). \]

• Řešení b)

  Podle definice střední hodnoty platí

  \[\langle \hat{r} \rangle =\int_V \psi^\ast(r) r \psi (r) \,\mbox{d}V,\]

  neboli ve sférických souřadnicích

  \[\langle \hat{r} \rangle = \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \psi^\ast(r) r \psi (r) \,r^2\,\sin\theta\,\mbox{d}\varphi\,\mbox{d}\theta\,\mbox{d}r,\] \[\langle \hat{r} \rangle = \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{r^3}{\pi a^3}\, e^{-\frac{2r}{a}}\,\sin\theta\,\mbox{d}\varphi\,\mbox{d}\theta\,\mbox{d}r.\]

  Tento trojný integrál můžeme díky separovatelnosti proměnných upravit na součin tří jednoduchých integrálů:

  \[\langle \hat{r} \rangle = \int_0^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_0^\pi \sin\theta \,\mbox{d}\theta \int_0^\infty \frac{r^3}{\pi a^3} \,e^{-\frac{2r}{a}} \,\mbox{d}r.\]

  Integrály přes oba úhly jsou velmi jednoduché a integrál přes r lze po substituci

  \[x=-\frac{2r}{a}\] spočítat metodou per partes (detailně viz předcházející nápověda).

  Dostáváme tak

  \[\langle \hat{r} \rangle =2\pi\,\cdot\,\left[-\cos \theta\right]_0^{\pi}\,\cdot\,\frac{a}{16\pi}\,\left[e^t\,\left( t^3\,-\,3t^2\,+\,6t\,-\,6 \right)\right]_0^{-\infty}, \] \[ \langle \hat{r} \rangle = 2\pi\,\cdot\,2\,\cdot\,\frac{a}{16\pi} \,\cdot\, 6=1{,}5\,a\,\dot{=}\, 7{,}9\,\cdot\,10^{-11}\ \mbox{m}.\]

• Nápověda k c) – pravděpodobnost

  Řekneme-li, že elektron se nachází ve vzdálenosti r od jádra, nespecifikujeme tím jeho polohu úplně přesně. Víme ovšem, že se nachází někde na sféře o poloměru r (se středem v jádře). Jestliže tedy hledáme jeho nejpravděpodobnější vzdálenost od jádra, hledáme vlastně sféru, na níž se elektron nachází s největší pravděpodobností. Pravděpodobnost výskytu elektronu na sféře o poloměru r získáme integrací kvadrátu absolutní hodnoty dané vlnové funkce přes tuto sféru.

• Řešení nápovědy

  Ve sférických souřadnicích bude mít integrál pro pravděpodobnost výskytu částice na sféře o poloměru r tvar

  \[ P(r)=r^2 \int_0^{2\pi} |\psi(r)|^2 \,\mbox{d}\varphi \int_0^\pi \sin\theta \,\mbox{d}\theta.\]

• Nápověda k c) – extrém

  Hledáme nejpravděpodobnější vzdálenost r, tj. hledáme extrém funkce P(r). Funkce P(r), kterou dostaneme, má spojité všechny derivace, proto má-li v nějakém bodě extrém, musí tam mít nutně nulovou derivaci. Hledáme tedy r takové, že P'(r) = 0.

• Řešení c)

  Jestliže hledáme nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu od jádra, hledáme vlastně sféru, na níž se elektron nachází s největší pravděpodobností. Pravděpodobnost výskytu elektronu na sféře o poloměru r získáme integrací kvadrátu absolutní hodnoty dané vlnové funkce přes tuto sféru:

  \[ P(r)=r^2 \int_0^{2\pi} |\psi(r)|^2 \,\mbox{d}\varphi \int_0^\pi \sin\theta \,\mbox{d}\theta,\] \[ P(r) = \frac{r^2}{\pi a^3} \,e^{-\frac{2r}{a}} \,\cdot\,2\pi \,\cdot\, 2, \] \[ P(r)=\frac{4r^2}{a^3}\,e^{-\frac{2r}{a}}. \]

  Hledáme nejpravděpodobnější vzdálenost r, tj. hledáme extrém funkce P(r). Funkce P(r), kterou dostaneme, má spojité všechny derivace, proto má-li v nějakém bodě extrém, musí tam mít nutně nulovou derivaci. Hledáme tedy r takové, že P'(r) = 0. Platí

  \[P^{\prime}(r)=\frac{8r}{a^3}\, e^{-\frac{2r}{a}}\,+\,\frac{4r^2}{a^3}\, e^{-\frac{2r}{a}}\,\left( -\frac{2}{a} \right),\] \[P^{\prime}(r)=-\frac{8r}{a^4}\, e^{-\frac{2r}{a}}\,(a-r).\]

  \(P^{\prime}(r)=0\) nastane pro r = 0 a pro r = a. Dosazením těchto dvou hodnot do P(r) vidíme, že v případě r = 0 jde o minimální pravděpodobnost, zatímco v případě r = a jde o hledanou maximální pravděpodobnost.

• Odpovědi

  a) Hodnota a je rovna přibližně 5,3·10⁻¹¹ m.

  b) Střední vzdálenost elektronu od jádra je rovna 1,5a , tj. přibližně 7,9·10⁻¹¹ m.

  c) Nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu od jádra je rovna a ≈ 5,3·10⁻¹¹ m.

• Komentář

  Konstanta a se nazývá Bohrův poloměr atomu. Bohrův model atomu jako předchůdce kvantového modelu není dostatečný k řešení složitějších problémů, ale jak je vidět z právě vypočteného, v případě atomu vodíku poskytuje velmi dobrou představu o pohybu jediného přítomného elektronu (zde v základním stavu).