Sbírka řešených úloh

Letící elektron

Úloha číslo: 678

• Nápověda 1

  Z relací neurčitosti víme, že zpřesňování určení polohy částice vždy probíhá na úkor přesnosti určení jiné veličiny. O kterou takovou veličinu nebo veličiny se jedná?

• Řešení nápovědy 1

  Přesnější určení polohy částice probíhá na úkor přesnosti informací o jejím pohybu. Zvyšuje se tedy neurčitost rychlosti, hybnosti a kinetické energie částice (tyto tři veličiny se dají navzájem jedna z druhé vyjádřit).

  Vzpomenete si na konkrétní tvar nějaké takové relace neurčitosti?

• Řešení nápovědy 1

  Relace neurčitosti pro polohu a hybnost má (v 1D) tvar $$\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} .$$

  Jako neurčitost hybnosti v tomto případě berte absolutní chybu určení hybnosti.

• Nápověda 2

  Co to je relativní chyba měření? Jak se přenáší relativní chyba z jedné veličiny na druhou? Co když je jedna veličina součinem jiných dvou, které jsou zatíženy jistou chybou?

• Řešení nápovědy 2

  Relativní chyba je bezrozměrná veličina (často uváděná v procentech). Spočteme ji jako podíl absolutní chyby při měření dané veličiny a naměřené hodnoty. Značíme ji například písmenem η.

  Je-li veličina C součinem veličin A a B, pak platí η(C) = η(A) + η(B).

• Zápis

  me = 9,11·10−31 kg	klidová hmotnost elektronu
  v = 1000 km·s−1	rychlost elektronu
  Δv = 1 km·s−1	absolutní chyba rychlosti
  Δx = ? (m)	neurčitost polohy

• Řešení

  Pro odhad neurčitosti Δx z relace neurčitosti $$\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$ potřebujeme znát neurčitost Δp. Za neurčitost hybnosti v tomto případě považujme absolutní chybu určení hybnosti. Hybnost elektronu je součinem jeho hmotnosti a rychlosti, p = m_e·v. Bereme-li hmotnost elektronu jako přesně určenou konstantu, odvíjí se chyba určení hybnosti pouze od chyby určení rychlosti. Pro relativní chyby těchto veličin tedy platí vztah η(p) = η(v). Dále je z definice absolutní a relativní chyby Δp = η(p)·p. Pro Δx tak z relace neurčitosti $$\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$ dostáváme

  $$\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\Delta p} ,$$ $$\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(p)\cdot p} ,$$ $$\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(v)\cdot mv} ,$$ $$\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\frac{\Delta v}{v}\cdot mv} ,$$ $$\Delta x \ge \frac{1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}{2\,\cdot\,\frac{1}{1000}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\, 10^{-25}}\ \mbox{m} ,$$ $$\Delta x \ge 5{,}8\,\cdot\,10^{-8}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,60\ \mbox{nm} .$$

  Neurčitost polohy uvedeného elektronu nemůžeme z principiálních důvodů určit s přesností větší než jsou desítky nanometrů, což v mikrosvětě znamená vzdálenosti řádově stokrát větší než jsou charakteristické rozměry atomu. Z pohledu elektronu je proto tato neurčitost poměrně podstatná.

• Diskuse

  Lorentzův faktor

  $$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{1}{300}\right)^2}}=\sqrt{\frac{90\,000}{89\,999}}\,\dot{=}\, 1{,}000 006 .$$

  Je-li tedy hybnost našeho elektronu řádově 10⁻²⁴ kg·m·s⁻¹, promítly by se relativistické efekty až v řádu 10⁻³⁰ kg·m·s⁻¹, proto je můžeme zanedbat.

• Odpověď

  Minimální neurčitost polohy elektronu je přibližně 60 nm.