Letící elektron

Úloha číslo: 678

Elektron se pohybuje v jednom rozměru rychlostí (1000 ± 1) km · s−1. S jakou největší přesností můžeme teoreticky určit jeho polohu? Na závěr diskutujte, zda je potřeba při této rychlosti brát v úvahu relativistické efekty.

  • Nápověda 1

    Z relací neurčitosti víme, že zpřesňování určení polohy částice vždy probíhá na úkor přesnosti určení jiné veličiny. O kterou takovou veličinu nebo veličiny se jedná?

  • Nápověda 2

    Co to je relativní chyba měření? Jak se přenáší relativní chyba z jedné veličiny na druhou? Co když je jedna veličina součinem jiných dvou, které jsou zatíženy jistou chybou?
  • Zápis

    me = 9,11·10−31 kg klidová hmotnost elektronu
    v = 1000 km·s−1 rychlost elektronu
    Δv = 1 km·s−1 absolutní chyba rychlosti
    Δx = ? (m) neurčitost polohy
  • Řešení

    Pro odhad neurčitosti Δx z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] potřebujeme znát neurčitost Δp. Za neurčitost hybnosti v tomto případě považujme absolutní chybu určení hybnosti. Hybnost elektronu je součinem jeho hmotnosti a rychlosti, p = me·v. Bereme-li hmotnost elektronu jako přesně určenou konstantu, odvíjí se chyba určení hybnosti pouze od chyby určení rychlosti. Pro relativní chyby těchto veličin tedy platí vztah η(p) = η(v). Dále je z definice absolutní a relativní chyby Δp = η(pp. Pro Δx tak z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] dostáváme

    \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\Delta p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(p)\cdot p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(v)\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\frac{\Delta v}{v}\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}{2\,\cdot\,\frac{1}{1000}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\, 10^{-25}}\ \mbox{m} ,\] \[\Delta x \ge 5{,}8\,\cdot\,10^{-8}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,60\ \mbox{nm} .\]

    Neurčitost polohy uvedeného elektronu nemůžeme z principiálních důvodů určit s přesností větší než jsou desítky nanometrů, což v mikrosvětě znamená vzdálenosti řádově stokrát větší než jsou charakteristické rozměry atomu. Z pohledu elektronu je proto tato neurčitost poměrně podstatná.

  • Diskuse

    Lorentzův faktor

    \[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{1}{300}\right)^2}}=\sqrt{\frac{90\,000}{89\,999}}\,\dot{=}\, 1{,}000 006 .\]

    Je-li tedy hybnost našeho elektronu řádově 10−24 kg·m·s−1, promítly by se relativistické efekty až v řádu 10−30 kg·m·s−1, proto je můžeme zanedbat.

  • Odpověď

    Minimální neurčitost polohy elektronu je přibližně 60 nm.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze