Průmět spinu 1/2 do směru v rovině xz

Úloha číslo: 4360

a) Najděte vlastní čísla a vlastní vektory následující matice

\[ P = \frac{\hbar}{4} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \, . \]

b) Může matice \(P\) vyjadřovat operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru v rovině \(xz\)? Pokud ano, určete tento směr.

c) Určete pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů do osy \(z\) ve stavech, které jsou popsány vlastními vektory zadané matice.

d) Zopakujte předchozí výpočet, ale uvažujte měření průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru osy \(x\).

  • Nápověda 1

    Připomeňte si, jak určujeme vlastní čísla a vlastní vektory matic.

  • Řešení a)

    Vlastní čísla \(\lambda\) určíme dosazením do charakteristické rovnice \(\det \left ( P - \lambda \mathbb{E} \right ) = 0\) a následnou úpravou

    \[ \det \left ( P - \lambda \mathbb{E} \right ) = \det \left ( \frac{\hbar}{4} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) = \det \begin{pmatrix} - \frac{\sqrt{3}}{4} \hbar - \lambda & \frac{\hbar}{4} \\ \frac{\hbar}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \hbar - \lambda \end{pmatrix} = \] \[ = \lambda^2 - \frac{3}{16} \hbar^2 - \frac{\hbar^2}{16} = \lambda^2 - \frac{\hbar^2}{4} = \left (\lambda - \frac{\hbar}{2} \right ) \left (\lambda + \frac{\hbar}{2} \right ) = 0 \, . \]

    Vlastní čísla jsou tedy \(\lambda_{1{,}2} = \pm \frac{\hbar}{2}\).

    Nyní se zaměříme na vlastní vektor \(\vec u\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda = + \frac{\hbar}{2}\). Určíme jej dosazením do rovnice \(\left ( P - \lambda \mathbb{E} \right ) \cdot \vec u = \vec o\) a následnou úpravou

    \[ \left ( P - \lambda \mathbb{E} \right ) \cdot \vec u = \left ( \frac{\hbar}{4} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} - \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{4} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} - 2 & 1 \\ 1 & \sqrt{3} - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

    Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{4}\) a rozepíšeme na rovnosti jednotlivých složek. Získáme tak soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

    \[ \left ( -\sqrt{3} - 2 \right ) u_1 + u_2 = 0 \, , \] \[ u_1 + \left ( \sqrt{3} - 2 \right ) u_2 = 0 \, . \]

    Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Z druhé rovnice tedy okamžitě vidíme, že jedním z řešení soustavy je \(u_1 = 2 - \sqrt{3}, \, u_2 = 1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(+ \frac{\hbar}{2}\). Nyní jej ještě normujme

    \[ \frac{1}{\sqrt{|u_1|^2 + |u_2|^2}} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{7 - 4 \sqrt{3} + 1}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(P\) příslušný vlastnímu číslu \(+ \frac{\hbar}{2}\)

    \[ \vec u = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Pro vlastní číslo \(- \frac{\hbar}{2}\) je postup analogický. Výpočet příslušného vlastního vektoru naleznete níže v sekci Komentář. Zde jej určíme rychleji. Víme, že oba vlastní vektory musí být na sebe kolmé. Jednotkový vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu \(- \frac{\hbar}{2}\) je tedy

    \[ \vec v = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} - 1 \\ 2 - \sqrt{3} \end{pmatrix} \, . \]
  • Nápověda 2

    Spočítejte nebo vyhledejte tvar matice \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do libovolného směru v rovině \(xz\) a její vlastní vektory. Směr je charakterizován úhlem \(\theta\), který udává odklon tohoto směru od osy \(z\) a nabývá hodnot od \(-π\) do \(π\). Spočítejte nebo vyhledejte, jak určujeme pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do tohoto směru.

    Spočítejte nebo vyhledejte tvar vlastních vektorů \(\hat S_z\) a \(\hat S_x\).

  • Nápověda 3

    Připomeňte si, proč a jak rozkládáme popis stavu před měřením do báze vlastních vektorů průmětu spinu do osy natočení magnetu a jak lze z tohoto rozkladu určit pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot.

  • Řešení b)

    Pro určení směru v rovině \(xz\), do kterého by byl maticí \(P\) popsán operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\), porovnáme tuto matici s maticí \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do obecného směru v rovině \(xz\). Tato matice má tvar (viz Nápověda 2)

    \[ \hat S_\theta = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & − \cos \theta \end{pmatrix} \, . \]

    Porovnáním získáme

    \[ P = \hat S_\theta \, , \] \[ \frac{\hbar}{4} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \end{pmatrix} \, . \]

    Nyní vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{2}\), čímž z rovnosti všech prvků obou matic získáme rovnice

    \[ \cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2} \, , \] \[ \sin \theta = \frac{1}{2} \, . \]

    Jediná hodnota úhlu \(\theta\) z intervalu \(\langle - \pi, \, \pi \rangle\), která těmto rovnicím vyhovuje, je rovna \(\frac{5}{6} \pi\).

    Matice \(P\) tedy popisuje operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru v rovině \(xz\) odchýleného od osy \(z\) o úhel \(\frac{5}{6}\pi\).

    Pro kontrolu porovnáme vlastní vektory \(\vec u, \, \vec v\) s vlastními vektory matice \(\hat S_\theta\) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do obecného směru v rovině \(xz\). Tyto vektory mají tvar (viz Nápověda 2)

    \[ + \frac{\hbar}{2} \, \rightarrow \, |\theta+\rangle = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, , \] \[ - \frac{\hbar}{2} \, \rightarrow \, |\theta-\rangle = \begin{pmatrix} - \sin \frac{\theta}{2} \\ \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \, . \]

    Po dosazení hodnoty \(\theta = \frac{5}{6} \pi\) získáme vlastní vektory

    \[ + \frac{\hbar}{2} \, \rightarrow \, \left |\frac{5}{6} \pi+ \right \rangle = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \vec u \, , \] \[ - \frac{\hbar}{2} \, \rightarrow \, \left |\frac{5}{6} \pi- \right \rangle = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} - 1 \\ 2 - \sqrt{3} \end{pmatrix} = \vec v \, . \]

    Vidíme, že se vlastní vektory shodují.

    Pozn.: Při tomto ověření by nám stačilo, kdybychom vypočetli násobky vlastních vektorů \(\vec u, \, \vec v\), jelikož každý násobek vlastního vektoru je také vlastní vektor příslušející ke stejnému vlastnímu číslu.

  • Řešení c)

    Axiom o měření říká, že popis stavu musíme rozložit na lineární kombinaci vlastních stavů průmětu spinu do směru, do kterého měříme. Vyjádříme tedy stav popsaný vektorem \(\vec u\) pomocí báze vlastních vektorů \(\hat S_z\) jako

    \[ \vec u = c_1 |z+\rangle + c_2 |z-\rangle \, , \]

    kde \(c_1, \, c_2\) jsou zatím neznámé komplexní konstanty.

    Dosadíme za vektory \(\vec u, \, |z+\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \, |z-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) a určíme neznámé koeficienty

    \[ \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Okamžitě vidíme, že

    \[ c_1 = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \, , \] \[ c_2 = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \, . \]

    Nyní určíme pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do daného směru. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu, tj.

    \[ P_+ = |c_1|^2 \doteq 6{,}7 ~ \% \, , \] \[ P_- = |c_2|^2 \doteq 93{,}3 ~ \% \, . \]

    Víme, že matice \(P\) popisuje operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru v rovině \(xz\) odchýleného od osy \(z\) o úhel \(\frac{5}{6} \pi\). Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů tedy rovněž můžeme určit (viz Nápověda 2) jako

    \[ P_+ = \cos^2 \frac{\theta}{2} = \cos^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 6{,}7 ~ \% \, , \] \[ P_- = \sin^2 \frac{\theta}{2} = \sin^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 93{,}3 ~ \% \, . \]

    Vidíme, že jsme dostali stejný výsledek jako předchozím výpočtem.

    Pro vlastní vektor \(\vec v\) by byl postup analogický. My však využijeme toho, že tento vektor se od vektoru \(\vec u\) liší pouze pořadím složek a jedním znaménkem. Příslušné hledané koeficienty \(d_1, \, d_2\) v rozkladu \(\vec v = d_1 |z+\rangle + d_2 |z-\rangle\) jsou tedy

    \[ d_1 = - c_2 = \frac{- 1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \, , \] \[ d_2 = c_1 = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \, . \]

    Pravděpodobnosti naměření obou průmětů jsou

    \[ P_+ = |d_1|^2 \doteq 93{,}3 ~ \% \, , \] \[ P_- = |d_2|^2 \doteq 6{,}7 ~ \% \, . \]

    Hodnoty pravděpodobností se pro druhý směr vyměnily, což lze vysvětlit tím, že jsme zde v podstatě provedli měření průmětu spinu do opačně orientované osy.

    Geometricky lze tyto hodnoty interpretovat tak, že kladný směr je „velmi blízký“ \(|z-\rangle\) a záporný směr „velmi blízký“ \(|z+\rangle\).

  • Řešení d)

    V této části postupujeme analogicky jako v části předchozí s tím rozdílem, že rozklad bude tvaru

    \[ \vec u = f_1 |x+\rangle + f_2 |x-\rangle \, , \]

    kde \(f_1, \, f_2\) jsou zatím neznámé komplexní konstanty.

    Dosadíme za vektory \(\vec u, \, |x+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \, |x-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Protože tentokrát není rozklad vidět „bez počítání“ jako v předchozí části, hledané koeficienty \(f_1, \, f_2\) určíme pomocí skalárního součinu jako

    \[ f_1 = \left \langle x+ | \, \vec u \right \rangle \, , \] \[ f_2 = \left \langle x- | \, \vec u \right \rangle \, . \]

    Výpočet provedeme pro koeficient \(f_1\)

    \[ f_1 = \left \langle x+ | \, \vec u \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{2-\sqrt{3}+1}{2\sqrt2\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{4-2\sqrt{3}}} \, . \]

    Nyní využijeme rovnosti \(\sqrt{4-2\sqrt{3}} = (\sqrt{3}-1)^2\) a upravíme

    \[ f_1 = \frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \, . \]

    Výpočet koeficientu \(f_2\) je velmi podobný, proto jej zde uvedeme jen stručně

    \[ f_2 = \left \langle x- | \, \vec u \right \rangle = \frac{-2 + \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{4-2\sqrt{3}}} = \frac{1}{2} \, . \]

    Nyní určíme pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu \(\frac{1}{2}\) do daného směru. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu, tj.

    \[ P_+ = |f_1|^2 = \frac{3}{4} = 75 ~ \% \, , \] \[ P_- = |f_2|^2 = \frac{1}{4} = 25 ~ \% \, . \]

    Víme, že matice \(P\) popisuje operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru v rovině \(xz\) odchýleného od osy \(z\) o úhel \(\frac{5}{6} \pi\). O tomto směru můžeme říct, že je od osy \(x\) odchýlen o úhel \(\alpha = \frac{\pi}{3}\). Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů tedy rovněž můžeme určit jako

    \[ P_+ = \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} = 75 ~ \% \, , \] \[ P_- = \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} = 25 ~ \% \, , \]

    což odpovídá obecnému vztahu v Nápovědě 2.

    Pro vlastní vektor \(\vec v\) by byl postup analogický. My však využijeme toho, že záporný průmět do dané osy je kladným průmětem do opačně orientované osy.

    Pravděpodobnosti naměření obou průmětů jsou tedy opačné oproti předchozímu případu, tj.

    \[ P_+ = \frac{1}{4} = 25 ~ \% \, , \] \[ P_- = \frac{3}{4} = 75 ~ \% \, . \]
  • Odpověď

    a) Vlastní čísla \(\lambda_{1, 2}\) matice \(P\) a k nim příslušné vlastní vektory \(\vec u, \, \vec v\) jsou

    \[ \lambda_1 = + \frac{\hbar}{2} \,\, \rightarrow \,\, \vec u = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \lambda_2 = - \frac{\hbar}{2} \,\, \rightarrow \,\, \vec v = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \begin{pmatrix} - 1 \\ 2 - \sqrt{3} \end{pmatrix} \, . \]

    b) Matice \(P\) popisuje průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do směru v rovině \(xz\), který je odchýlen od osy \(z\) o úhel \(\frac{5}{6} \mathrm{\pi}\).

    c) Vlastní vektory \(\vec u, \, \vec v\) matice \(P\) mají v bázi vlastních vektorů \(\hat S_z\) vyjádření

    \[ \vec u = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} |z+\rangle + \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} |z-\rangle \, , \] \[ \vec v = - \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} |z+\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} |z-\rangle \, . \]

    Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů do osy \(z\) v daných stavech jsou

    • pro vlastní vektor \(\vec u\)
      • \(P_+ = \cos^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 6{,}7 ~ \% \),
      • \(P_- = \sin^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 93{,}3 ~ \%\),
    • pro vlastní vektor \(\vec v\)
      • \(P_+ = \sin^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 93{,}3 ~ \% \),
      • \(P_- = \cos^2 \frac{5}{12} \pi \doteq 6{,}7 ~ \%\).

    d) Vlastní vektory \(\vec u, \, \vec v\) matice \(P\) mají v bázi vlastních vektorů \(\hat S_x\) vyjádření

    \[ \vec u = \frac{\sqrt{3}}{2} |x+\rangle + \frac{1}{2} |x-\rangle \, , \] \[ \vec v = - \frac{1}{2} |x+\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2} |x-\rangle \, . \]

    Pravděpodobnosti naměření jednotlivých průmětů do osy \(x\) v daných stavech jsou

    • pro vlastní vektor \(\vec u\)
      • \(P_+ = \cos^2 \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} = 75 ~ \% \),
      • \(P_- = \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} = 25 ~ \%\),
    • pro vlastní vektor \(\vec v\)
      • \(P_+ = \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} = 25 ~ \% \),
      • \(P_- = \cos^2 \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} = 75 ~ \%\).

    Pozn.: Úhel \(\frac{\pi}{6}\) odpovídá úhlu mezi směrem, pro který jsou stavy vstupující do měření stavy s ostrou hodnotou, a směrem, ve kterém měříme.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze