Tepelná rovnováha Země
Úloha číslo: 613
Hlavním energetickým zdrojem Sluneční soustavy je Slunce. Uvažujme, že Slunce vyzařuje svoji energii jako dokonale černé těleso s povrchovou teplotou 5800 K. Záření od Slunce se šíří do všech směrů stejně a zásobuje energií planety Sluneční soustavy. Průměrná teplota většiny planet je určena rovnováhou absorbované sluneční energie a energie vyzářené planetou do okolního prostoru. Jaká průměrná teplota odpovídá Zemi, jestliže i ji také považujeme za dokonale černé těleso.
Nápověda
Celková intenzita vyzařovní I absolutně černého tělesa, tj. v našem případě Slunce, je popsána Stefanovým-Boltzmannovým zákonem:
\[I=\sigma T^4,\]kde σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4. Intenzita vyzařování je výkon vyzářený jednotkovou plochou povrchu tělesa.
Slunce vyzařuje energii do všech směrů stejně, je třeba tedy určit jaká část celkové vyzářené energie dopadne na povrch Země.
Jestliže uvažujeme rovnovážnou teplotu Země, tak to znamená, že stejně velkou energii jako na Zemi dopadne musí Země zase vyzářit do prostoru. Jinak by se zahřívala nebo ochlazovala.
Rozbor
Podle Stefanova–Boltzmannova zákona je intenzita záření černého tělesa úměrná čtvrté mocnině jeho termodynamické teploty, přičemž intenzita je celkový vyzařovaný výkon dělený plochou (povrchem Slunce). Odtud můžeme určit celkové množství energie vyzářené Sluncem za jednotku času.
Stejným způsobem můžeme vyjádřit množství energie, které vyzáří Země při své průměrné teplotě. Za předpokladu rovnovážného stavu se tato energie musí rovnat energii, která dopadá na Zemi ze Slunce. Dopadající energii určíme ze vzdálenosti Země od Slunce a velikosti Země.
Zápis
T = 5800 K povrchová teplota Slunce TZ = ? (K) teplota Země Z tabulek:
R = 6,96·108 m poloměr Slunce r = 1,50·1011 m vzdálenost Slunce a Země RZ = 6 380 km poloměr Země Řešení
Intenzitu vyzařování dokonale černého tělesa popisuje Stefanův–Boltzmannův zákon
\[I=σT^4 ,\]kde \(σ=5{,}67·10^{-8} \,\mathrm{Wm^{-2}}\,\mathrm{K^{-4}}\) je tzv. Stefanova–Boltzmannova konstanta. Celkový vyzařovaný výkon P spočteme vynásobením plochou S.
\[P=SI .\]Povrch Slunce S určíme pomocí jeho poloměru R:
\[S=4πR^{2} .\]Slunce tedy vyzařuje s výkonem:
\[P=4πR^{2}σT^{4} .\]Toto záření se šíří stejně do všech směrů a na Zemi dopadá jeho část PZ. Mezi celkovým výkonem P a výkonem dopadajícím na Zemi PZ je stejný poměr jako mezi povrchem koule o poloměru rovném vzdálenosti Země od Slunce r a plochou, kterou na tomto povrchu zaujímá Země (tj. plochou kruhu o poloměru Země RZ). Platí tedy:
\[\frac{P_{\mathrm{Z}}}{P}=\frac{\pi R_{\mathrm{Z}}^2}{4\pi r^2}\,\qquad \Rightarrow \qquad P_{\mathrm{Z}}=4\pi r^2\sigma T^4\frac{\pi R_{\mathrm{Z}}^2}{4\pi r^2}=\sigma T^4\frac{\pi R^2R_{\mathrm{Z}}^2}{r^2}\,\mathrm{.}\]Výkon PZ , se kterým vyzařuje Země, vyjádříme stejně jako pro Slunce, pouze použijeme poloměr Země RZ a průměrnou termodynamickou teplotu Země TZ
\[P_{\mathrm{Z}}=4πR_{\mathrm{Z}}^{2}σT_{\mathrm{Z}}^{4} .\]Obě vyjádření PZ porovnáme:
\[4\pi R_{\mathrm{Z}}^2\sigma T_{\mathrm{Z}}^4=\sigma T^4\frac{\pi R^2R_{\mathrm{Z}}^2}{r^2}\]a vyjádříme teplotu Země TZ
\[T_{\mathrm{Z}}^4=T^4\frac{R^2}{4r^2}\] \[T_{\mathrm{Z}}=T\sqrt{\frac{R}{2r}}\,\mathrm{.}\]Dosadíme za teplotu Slunce T = 5800 K, poloměr Slunce R = 6,96·108 m a vzdálenost Země od Slunce r = 1,50·1011 m
\[T_{\mathrm{Z}}=5800\,\sqrt{\frac{6{,}96{\cdot}10^8}{2{\cdot}1{,}50{\cdot}10^{11}}}\,\mathrm{K}=279\,\mathrm{K}=6\,\mathrm{^{\circ}C\,.}\]Odpověď
Za uvedených podmínek by měla průměrná teplota Země být 6 °C, což celkem dobře odpovídá skutečnosti.
