Makroskopický oscilátor
Úloha číslo: 621
Lineární harmonický oscilátor (LHO) tvoří tělísko o hmotnosti 1 mg na pružině zanedbatelné tuhosti, které kmitá s frekvencí 1 Hz a rovnovážnou polohou prochází vždy rychlostí 10 cm·s−1. Předpokládejme, že se systém nenachází v žádném významném silovém poli.
1) Jaké kvantové číslo odpovídá energii takového oscilátoru?
2) Určete vzdálenost dvou sousedních energetických hladin a porovnejte ji s celkovou energií tohoto oscilátoru.
3) Spočítejte amplitudu kmitání při zadaných hodnotách a amplitudu kmitu, pokud by tělísko kmitalo s energií základního stavu uvedeného (kvantově-mechanického) oscilátoru.
Nápověda k 1 a 2
Jak lze ze zadaných hodnot určit energii oscilátoru z pohledu klasické fyziky? A jak vypadá energie LHO z pohledu kvantové mechaniky?
Řešení 1
Klasický i kvantově mechanický pohled popisuje tentýž systém s danou energií, tj. ať vyjádříme energii klasicky, nebo kvantově, jedná se vždy u tutéž energii. Platí proto rovnost
\[\left(n+\frac{1}{2}\right)\,h f = \frac{1}{2}mv^2 ,\]odkud je
\[n=\frac{mv^2}{2hf}\,-\,\frac{1}{2}\]a po číselném dosazení
\[n=\frac{(1{\cdot} 10^{-6}\,\mbox{kg})\,\cdot\, (0{,}1\,\mbox{m · s}^{-1})^2}{2\,\cdot \,(6{,}626{\cdot} 10^{-34}\,\mbox{J · s})\,\cdot \,(1\,\mbox{Hz})}\,-\,\frac{1}{2}\,\dot{=}\,\ 7{,}55\,\cdot\,10^{24}\approx 10^{25} .\]Řešení 2
Z pohledu kvantové mechaniky tvoří diskrétní energetické spektrum LHO energie
\[E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\,\hbar \omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)\,h f,\ n = 0,\,1,\,2,\,... \ , \]kde frekvence pohybu f je známa ze zadání úlohy.
Energetický rozdíl dvou sousedních hladin je proto konstatně roven
\[\Delta E=hf=6{,}626\,\cdot\,10^{-34}\ \mbox{J} .\]Poměr tohoto rozdílu a celkové energie oscilátoru je roven
\[\frac{\Delta E}{E}=\frac{hf}{\frac{1}{2}mv^2}=\frac{2\,\cdot\,6{,}626\,\cdot\,10^{-34}}{1\,\cdot\,10^{-6}\,\cdot\,(0{,}1)^2}=13{,}252\,\cdot\,10^{-26}\approx 10^{-25}.\]Celková energie je tedy řádově přibližně 1025-násobkem energetického rozdílu dvou sousedních hladin, což odpovídá kvantovému číslu vypočtenému v úkolu 1.
Nápověda ke 3
Jak se mění rychlost oscilátoru, jestliže se jeho poloha mění podle vztahu \(x=A\sin(\omega t)\)?
Řešení 3
Jestliže se poloha oscilátoru mění podle vztahu
\[x(t)=A\sin(\omega t) ,\]mění se jeho rychlost podle vztahu
\[v(t)=\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=A\omega\cos(\omega t) .\]V časech t = kπ prochází částice rovnovážnou polohou a pohybuje se (jak je řečeno v zadání) rychlostí v = 10 cm·s−1. Platí tedy
\[v=A\omega=A\,2\pi f ,\]odkud je amplituda
\[A=\frac{v}{2\pi f}=\frac{0{,}1\,\mbox{m · s}^{-1}}{2\pi\,\cdot\,1\,\mbox{Hz} }\,\dot{=}\,\,0{,}016\ \mbox{m}=16\ \mbox{mm} .\]Nyní se soustředíme na základní stav takového oscilátoru z hlediska kvantové mechaniky. Jeho energie je rovna E1 = hf. Při průchodu rovnovážnou polohou opět musí platit
\[E_1=\frac{1}{2}mv^2 ,\] \[hf=\frac{1}{2}mA^2 \omega^2=\frac{1}{2}mA^2 (2\pi f)^2=2mA^2 \pi^2 f^2,\]odkud je amplituda
\[A=\sqrt{\frac{h}{2\pi^2 mf}}=\sqrt{\frac{6{,}626\,\cdot\,10^{-36}}{2\pi^2\,\cdot\,10^{-6}}}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,0{,}58\,\cdot\,10^{-15}\ \mbox{m} ,\]což je asi desetkrát méně, než je průměrný rozměr jádra atomu.
Odpověď
1) Popisované tělísko o hmotnosti 1 mg je sice asi pro naše oko dost malé, z pohledu fyziky jde však o makroskopický objekt, a tak nás nepřekvapí, že kvantové číslo popisující jeho stav jakožto kvantového LHO je asi 7,55·1024, tedy obrovské.
2) Energetický rozdíl dvou sousedních hladin je konstantně ΔE = 6,626·10−34 J.
Poměr tohoto rozdílu a celkové energie oscilátoru je řádově roven \[\frac{\Delta E}{E}\approx 10^{-25} .\] Znamená to, že v takových měřítkách už kvantování energie ztrácí praktický význam, neboť není nikterak pozorovatelné.
3) Amplituda kmitání je při zadaných hodnotách rovna přibližně 16 mm. Pro základní stav uvedeného oscilátoru (tj. stav s kvantovým číslem n = 1) by tato amplituda byla přibližně 0,58·10−15 m, což je asi desetkrát méně, než je průměrný rozměr jádra atomu.
