První relativistická oprava stacionárních stavů v nekonečné jámě

Úloha číslo: 2019

Uvažujme částici v nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce \(L\).

a) Určete první opravu energie k \(n\)-tému stavu, pokud zahrneme poruchově tzv. první relativistickou opravu, tedy člen \[\hat{V}=-\frac{\hat{p}^4}{8m^3c^2}.\]

b) Určete opravu vlnové funkce v prvním řádu pro výše uvedenou opravu.

c) Jaké výsledky lze očekávat pro opravy vlnových funkcí a energií ve vyšších řádech?

  • Nápověda – princip poruchové metody

    Připomeňte si, na jakém principu jsou založeny poruchové metody kvantové mechaniky.

    Napište si, jak budeme při použití poruchové metody zapisovat hamiltonián, energie a vlastní funkce.

  • Nápověda a)

    Vyhledejte nebo se pokuste odvodit výraz pro první opravu energie k \(n\)-tému stavu \(E_n^{(1)}\) po zahrnutí libovolné malé poruchy \(\hat{V}\). K odvození stačí dosadit vyjádření hamiltoniánu, energie a vlnové funkce z předchozího oddílu do Schrödingerovy rovnice a upravit získaný výraz.

  • Nápověda b)

    Vyhledejte nebo se pokuste odvodit výraz pro opravu vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_n^{(1)}\) po zahrnutí libovolné malé poruchy \(\hat{V}\).

  • Řešení

    Nejdříve si shrneme základní údaje o nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce \(L\). Vlnová funkce popisující stacionární stav částice má tvar \[ \psi_n^{(0)}(x,t)= \begin{cases} \psi_n^{(0)}(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{E_n}{\hbar}t} & \quad \text{pro } x\in (0,L), \\ 0 & \quad \text{jinak,} \\ \end{cases}\] kde prostorová část je dána vztahem \[\psi_n^{(0)}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)} \quad \text{pro } x\in (0,L)\] a hodnotu energie vypočteme ze vzorce

    \[E_n^{(0)}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}n^2.\]

    Tyto vlnové funkce i energie slouží pro další výpočty jako tzv. neporušené, tedy vlnové funkce a energie bez poruchy.

     

    a) Nyní nalezneme opravu energie v prvním řádu pro zadanou relativistickou opravu hamiltoniánu. Do operátoru \(\hat{V}\) dosadíme definici operátoru hybnosti \(\hat{p}\) \[\hat{V}=-\frac{\hat{p}^4}{8m^3c^2}=-\frac{1}{8m^3c^2}\left(-i\hbar\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x}\right)^4=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}.\]

    První oprava energie pro \(n\)-tý stav je rovna střední hodnotě potenciální energie \(\hat{V}\) poruchy v neporušeném stavu \(\psi_n^{(0)}\) (odvození viz Řešení nápovědy a)). \[E_n^{(1)}=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=\int_{-\infty}^\infty{\psi_n^{(0)^\ast}\hat{V}\psi_n^{(0)}}\,\mathrm{d}x=\] Dosadíme prostorové části stacionárních stavů v nekonečně hluboké potenciálové jámě a vyjádření poruchy \(\hat{V}\). \[=\int_{0}^L{\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\left[-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)\right]}\,\mathrm{d}x=\] Konstanty vytkneme před integrál a zderivujeme funkci uvnitř integrálu. \[=\frac{2}{L}\left(-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\right)\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\left[\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\] Opět vytkneme konstanty před integrál, dosadíme hodnotu integrálu (viz Výpočet integrálů) a upravíme. \[=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\int_{0}^L{\sin^2{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\frac{L}{2}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4\] První oprava energie k \(n\)-tému stavu je \[E_n^{(1)}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4.\]

     

    b) Opravu vlnové funkce v prvním řádu s poruchou \(\hat{V}\) určíme ze vzorce (odvození viz Řešení nápovědy b)) \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{c_k\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}},\] kde \(\psi_k^{(0)}\) a \(\psi_n^{(0)}\) jsou prostorové části neporušených stacionárních vlnových funkcí, \(E_k^{(0)}\) a \(E_n^{(0)}\) jsou neporušené energie. Nejdříve vypočteme skalární součin \(\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)\) v čitateli. Do vzorce \[\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=\int_{-\infty}^\infty{\psi_k^{(0)^\ast}\hat{V}\psi_n^{(0)}}\,\mathrm{d}x=\] dosadíme stacionární stavy v nekonečně hluboké potenciálové jámě a poruchu \(\hat{V}\). \[=\int_{0}^L{\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\left[-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)\right]}\,\mathrm{d}x=\] Konstanty vytkneme před integrál a zderivujeme funkci uvnitř integrálu. \[=\frac{2}{L}\left(-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\right)\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\left[\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\] Znovu vytkneme konstanty před integrál, dosadíme hodnotu integrálu (viz Výpočet integrálů) a upravíme. \[=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\cdot 0=0\] Skalární součin \(\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)\) je nulový, tudíž jsou nulové i koeficienty \(c_k\) a oprava vlnové funkce v prvním řádu.

    \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{c_k\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{0}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}}=0\]

     

    c) Opravy vlnové funkce ve vyšších řádech se počítají pomocí oprav vlnové funkce o řád nižších. Protože oprava v prvním řádu nám vyšla nulová, bude díky tomu nulová i oprava v druhém řádu a tak dále. Přesto to zde i spočítejme: oprava vlnové funkce ve druhém řádu se vypočte pomocí vztahu \[\psi_n^{(2)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(1)}\right)}{E_n^{(1)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}},\] kam dosadíme nulovou opravu vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_k^{(1)}\) \[\psi_n^{(2)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V} 0\right)}{E_n^{(1)}-E_k^{(0)}}\ \psi_k^{(0)}}=0\] a vidíme, že oprava vlnové funkce ve druhém řádu je nulová. Podobně by se postupovalo i pro vyšší řády \[0=\psi_n^{(1)}=\psi_n^{(2)}=\psi_n^{(3)}=\dots\]

    Podobně se i opravy energie ve vyšších řádech počítají pomocí opravy vlnové funkce v nižším řádu, např. oprava energie ve druhém řádu se vypočte pomocí vztahu \[E_n^{(2)}=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(1)}\right)=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V} 0\right)=0.\] Opravy energie ve vyšších řádech budou také nulové \[0=E_n^{(2)}=E_n^{(3)}=\dots\]

    Tento výsledek je dán tím, že porucha \(\hat{V}\) komutuje s neporušeným hamiltoniánem \(\hat{H_0}\), a proto mají společný systém vlastních funkcí. Úlohu je tedy možné vyřešit i přesně, bez použití přibližných metod.

    Poznámky: Porucha \(\hat{V}\) je rovna násobku druhé mocniny kinetické energie \[\hat{V} = -\frac{1}{2mc^2} \hat{T}^2,\] z čehož je rovnou vidět, že komutuje s hamiltoniánem \(\hat{H_0}\), který se v případě zde řešené nekonečné jámy rovná kinetické energii. Ověřme jěště přímým výpočtem, že vlastní funkce \(\hat{H_0}\) jsou i vlastními funkcemi \(\hat{V}\) \[\hat{V}\psi_n^{(0)}(x)=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}=-\frac{\hbar^4\pi^4 n^4}{8m^3c^2L^4}\psi_n^{(0)}(x).\]

  • Odpověď

    a) Poruchově první relativistická oprava energie k \(n\)-tému stavu je \[E_n^{(1)}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4.\]

    b) Oprava vlnové funkce v prvním řádu je nulová.

    c) Ve vyšších řádech budou opravy vlnové funkce i opravy energie nulové.

    \[0=\psi_n^{(1)}=\psi_n^{(2)}=\psi_n^{(3)}=\dots\] \[0=E_n^{(2)}=E_n^{(3)}=\dots\]
  • Odvození relativistické opravy a její hodnoty

    Pro úplnost ještě odvoďme tvar první relativistické opravy, která je uvedena v zadání. Vyjdeme ze vztahu pro celkovou energii E ze speciální teorie relativity \(E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2,\) kde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(c\) rychlost světla ve vakuu a \(p\) hybnost částice. Tento vztah upravíme \[E = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2} = m c^2 \sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2 c^2}}.\] Pokud si uvědomíme, že opravu hledáme pro případy, kdy hybnost částice není extrémně velká, tj. pro případy kdy platí \(p>>m c \), můžeme přibližně psát \[E = mc^2\left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2 }{m^2 c^2} - \frac{1}{8} \frac{p^4}{m^4 c^4} + ... \right) = mc^2 + \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3 c^2} + ...\] První člen v poslední rovnici je klidová energie částice a druhý člen nerelativistická kinetická energie. První člen, který relativisticky „upravuje“ celkovou energii, je tedy člen třetí. Tím jsme získali opravu celkové energie v „nekvantové“ fyzice a do kvantové fyziky ho převedeme pomocí principu korespondence \[\hat{V} = - \frac{1}{8} \frac{\hat{p}^4}{m^4 c^4}.\]

     

    Zajímavá je ještě otázka, jak velká je tato oprava. Zkusme dosadit pro dva případy, v obou případech uvažujeme jednorozměrnou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu tak, jako v celé úloze.

    1.) Elektron v jámě o rozměrech atomu v základním stavu

    Budeme uvažovat hodnoty: \(m c^2\, \dot{=}\, 0{,}51\,\mathrm{MeV}\) a \(L\, \dot{=}\, 10^{-10}\,\mathrm{m}\).

    Pomocí vztahu pro energii základního stavu v nekonečné jámě dostáváme pro hybnost elektronu \[p = \frac{ \pi\hbar}{L} \qquad \Rightarrow \qquad pc = \frac{3{,}14\,\cdot\,6{,}6{\cdot}10^{-16}\, \mathrm{eV\,s} }{10^{-10}\,\mathrm{m}} \cdot 3{\cdot}10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}} = 6{,}2\,\mathrm{keV} \] a nerelativistickou kinetickou energii \[ T = \frac{p^2}{2m} = \frac{p^2c^2}{2mc^2} = \frac{6{,}2^2}{2 {\cdot} 520}\,\mathrm{keV}\,\dot{=}\, 37\,\mathrm{eV}.\] První relativistická oprava má velikost \[ E_1^{(1)} = - \frac{p^4}{8m^3c^2} = -\frac{T^2}{2mc^2} = \frac{37^2}{2\, \cdot\, 5{,}2{\cdot}10^{5}}\,\mathrm{eV}\, \dot{=}\, 1{,}3\,\mathrm{meV}.\] Vidíme, že elektron uzavřený na rozměrech odpovídajících rozměru atomu je nerelativistický a i první relativistická oprava energie je zanedbatelná.

    2.) Nukleon v jámě o rozměrech atomového jádra v základním stavu

    Protože výpočet je totožný jako v předchozím případě, uvedeme zde již jen hodnoty \[m c^2 = 940\,\mathrm{MeV}, \ L = 10^{-15}\,\mathrm{m}\] a získané výsledky \[pc = 620\,\mathrm{MeV},\ T = 200\,\mathrm{MeV},\ E_1^{(1)} = 21\,\mathrm{MeV}.\] Vidíme, zde v tomto případě první relativistická oprava dělá asi 10 % kinetické energie.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze