Sbírka řešených úloh

První relativistická oprava stacionárních stavů v nekonečné jámě

Úloha číslo: 2019

• Nápověda – princip poruchové metody

  Připomeňte si, na jakém principu jsou založeny poruchové metody kvantové mechaniky.

  Napište si, jak budeme při použití poruchové metody zapisovat hamiltonián, energie a vlastní funkce.

• Řešení nápovědy – princip poruchové metody

  Poruchové metody jsou přibližné metody kvantové mechaniky založené na předpokladu, že dojde-li k malé změně fyzikálního prostředí, tak nastane malá změna kvantového systému. Tedy pokud nepatrně změníme hamiltonián, pak se také jen nepatrně změní energie a vlastní funkce.

  Hamiltonián \(\hat{H}\) po změně napíšeme ve tvaru \[\hat{H}=\hat{H_0}+\lambda\hat{V},\] kde \(\hat{H_0}\) je hamiltonián před změnou, jenž má takový tvar, že ho umíme vyřešit, \(\hat{V}\) je operátor popisující malou změnu a \(\lambda\) je bezrozměrný parametr, který nám pomáhá určovat „řád malosti“ jednotlivých členů ve výpočtech.

  Energii \(E_n\) po změně \(\hat{V}\) zapíšeme \[E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+ \dots,\] kde \(E_n^{(0)}\) je energie stavu \(\psi_0^{(0)}\), tedy stavu před změnou, \(E_n^{(1)}\) je oprava energie v prvním řádu. Pak následují opravy energie ve vyšších řádech, ale s těmi zde počítat nebudeme.

  Vlnová funkce \(\psi_n\) po změně \(\hat{V}\) bude mít tvar \[\psi_n=\psi_n^{(0)}+\lambda\psi_n^{(1)} + \dots,\] kde \(\psi_n^{(0)}\) je vlastní funkce hamiltoniánu \(\hat{H_0}\) před změnou a \(\psi_n^{(1)}\) je oprava této funkce v prvním řádu. Dále následují opravy vlnové funkce ve vyšších řádech, ty však do našich výpočtů také nebudeme zahrnovat.

• Nápověda a)

  Vyhledejte nebo se pokuste odvodit výraz pro první opravu energie k \(n\)-tému stavu \(E_n^{(1)}\) po zahrnutí libovolné malé poruchy \(\hat{V}\). K odvození stačí dosadit vyjádření hamiltoniánu, energie a vlnové funkce z předchozího oddílu do Schrödingerovy rovnice a upravit získaný výraz.

• Řešení nápovědy a)

  Odvodíme výraz pro první opravu energie k \(n\)-tému stavu \(E_n^{(1)}\) po zahrnutí poruchy \(\hat{V}\).

  Vyjdeme ze stacionární Schrödingerovy rovnice \[\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n,\] do které dosadíme za hamiltonián, energii a vlnovou funkci (viz Nápověda – princip poruchové metody) \(\hat{H}=\hat{H_0}+\lambda\hat{V},\quad E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\dots,\quad\psi_n=\psi_n^{(0)}+\lambda\psi_n^{(1)}+\dots,\) kde \(\lambda\) je malé číslo,

  a dostaneme rovnici \[\left(\hat{H_0}+\lambda\hat{V}\right)\left(\psi_n^{(0)}+\lambda\psi_n^{(1)}+\dots\right)=\left(E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\dots\right)\left(\psi_n^{(0)}+\lambda\psi_n^{(1)}+\dots\right).\] Po úpravě a zanedbání velmi malých členů obsahujících výraz \(\lambda^2\) získáme rovnici \[\hat{H_0}\psi_n^{(0)}+\lambda\hat{H_0}\psi_n^{(1)}+\lambda\hat{V}\psi_n^{(0)}+\dots=E_n^{(0)}\psi_n^{(0)}+\lambda E_n^{(0)}\psi_n^{(1)}+\lambda E_n^{(1)}\psi_n^{(0)}+\dots,\] kterou po převedení všech členů na levou stranu a vytknutí \(\lambda\) upravíme na rovnici \[\left[\hat{H_0}\psi_n^{(0)}-E_n^{(0)}\psi_n^{(0)}\right]+\lambda\left[\left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}+\left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}\right]+\dots=0,\] jejíž levá strana bude nulová, pokud se budou rovnat nule výrazy v hranatých závorkách, protože \(\lambda\) je libovolné malé číslo. Symbol \(\dots\) zastupuje členy s vyššími mocninami \(\lambda\), které jsou velmi malé a tvoří opravy vyšších řádů.

   

  Položíme-li výraz v první hranaté závorce roven nule \[\hat{H_0}\psi_n^{(0)}-E_n^{(0)}\psi_n^{(0)}=0,\] dostaneme Schrödingerovu rovnici pro vlnovou funkci bez opravy \[\hat{H_0}\psi_n^{(0)}=E_n^{(0)}\psi_n^{(0)},\] která platí.

   

  Položíme-li výraz v druhé hranaté závorce roven nule, získáme rovnici \[\left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}+\left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}=0,\] která po skalárním vynásobením zleva funkcí \(\psi_n^{(0)}\) má na levé straně součet skalárních součinů \[\left(\psi_n^{(0)}, \left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}\right)+\left(\psi_n^{(0)}, \left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}\right)=0.\] Upravme nejdříve první skalární součin. Při úpravě využijeme hermitovost operátoru \(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\) a platnost Schrödingerovy rovnice v neporušeném stavu \(\hat{H_0}\psi_n^{(0)}=E_n^{(0)}\psi_n^{(0)}.\) \[\left(\psi_n^{(0)}, \left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}\right)=\left(\left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(0)}, \psi_n^{(1)}\right)=\left(E_n^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left(\psi_n^{(0)}, \psi_n^{(1)}\right)=0\] Zjistili jsme, že první skalární součin je roven nule. Druhý skalární součin tudíž musí být také nulový. \[\left(\psi_n^{(0)}, \left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}\right)=0\] Upravme ho, využijme normovanosti funkce \(\psi_n^{(0)}\), tedy \(\left(\psi_n^{(0)}, \psi_n^{(0)}\right)=1\). \[\left(\psi_n^{(0)}, \left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}\right)=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)-\left(\psi_n^{(0)}, E_n^{(1)}\psi_n^{(0)}\right)=\] \[=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)-E_n^{(1)}\left(\psi_n^{(0)}, \psi_n^{(0)}\right)=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)-E_n^{(1)}=0\] Odtud již vyjádříme první opravu energie k \(n\)-tému stavu

  \[E_n^{(1)}=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=\int_{-\infty}^\infty{\psi_n^{(0)^\ast}\hat{V}\psi_n^{(0)}}\,\mathrm{d}x.\]

  Když se na získaný výraz podíváme pečlivěji, tak zjistíme, že první oprava energie je rovna střední hodnotě potenciální energie poruchy \(\hat{V}\) v neporušeném stavu \(\psi_n^{(0)}\).

• Nápověda b)

  Vyhledejte nebo se pokuste odvodit výraz pro opravu vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_n^{(1)}\) po zahrnutí libovolné malé poruchy \(\hat{V}\).

• Řešení nápovědy b)

  Opravu vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_n^{(1)}\) provedeme pro případ, kdy hladina \(n\) není degenerovaná, což je případ nekonečně hluboké jednodimenzionální jámy. Opravu po zahrnutí poruchy \(\hat{V}\) vyjádříme jako lineární kombinaci neporušených stavů \(\psi_k^{(0)},\) které tvoří bázi, \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{c_k\psi_k^{(0)}},\] kde \(c_k=\left(\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(1)}\right)\) jsou koeficienty lineární kombinace. Zdůrazněme, že v lineární kombinaci není člen s vlnovou funkcí patřící ke stavu, který právě opravujeme, protože tento člen lze zahrnout do neporušené vlnové funkce.

  Naším úkolem je najít vztahy pro koeficienty \(c_k\). Při odvozování budeme postupovat stejně jako při odvozování první opravy energie (viz Řešení nápovědy a)). Vyjdeme ze stacionární Schrödingerovy rovnice po poruše \(\hat{V}\) a dojdeme k rovnici \[\left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}+\left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}=0,\] která po skalárním vynásobením zleva \(\psi_k^{(0)}\), kde \(k\neq n\), vede na rovnici \[\left(\psi_k^{(0)}, \left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_n^{(1)}\right)+\left(\psi_k^{(0)}, \left(\hat{V}-E_n^{(1)}\right)\psi_n^{(0)}\right)=0.\] Při úpravě skalárních součinů využijeme hermitovost operátoru \(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\) \[\left(\left(\hat{H_0}-E_n^{(0)}\right)\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(1)}\right)+\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)-E_n^{(1)}\left(\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(0)}\right)=0,\] Schrödingerovu rovnici \(\hat{H_0}\psi_k^{(0)}=E_k^{(0)}\psi_k^{(0)}\), ortonormalitu \(\psi_k^{(0)}\) a \(\psi_n^{(0)}\), tedy \(\left(\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(0)}\right)=0,\) a dostaneme rovnici \[\left(E_k^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left(\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(1)}\right)+\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=0,\] ze které vyjádříme koeficienty \(c_k\) \[c_k=(\psi_k^{(0)}, \psi_n^{(1)})=\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}.\]

   

  Oprava vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_n^{(1)}\) po zahrnutí malé poruchy \(\hat{V}\) se vypočítá \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}},\] kde \(\psi_k^{(0)}\) a \(\psi_n^{(0)}\) jsou vlnové funkce bez poruchy, \(E_k^{(0)}\) a \(E_n^{(0)}\) jsou energie bez poruchy.

• Řešení

  Nejdříve si shrneme základní údaje o nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce \(L\). Vlnová funkce popisující stacionární stav částice má tvar \[ \psi_n^{(0)}(x,t)= \begin{cases} \psi_n^{(0)}(x)\,\mathrm{e}^{-\frac{E_n}{\hbar}t} & \quad \text{pro } x\in (0,L), \\ 0 & \quad \text{jinak,} \\ \end{cases}\] kde prostorová část je dána vztahem \[\psi_n^{(0)}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)} \quad \text{pro } x\in (0,L)\] a hodnotu energie vypočteme ze vzorce

  \[E_n^{(0)}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}n^2.\]

  Tyto vlnové funkce i energie slouží pro další výpočty jako tzv. neporušené, tedy vlnové funkce a energie bez poruchy.

   

  a) Nyní nalezneme opravu energie v prvním řádu pro zadanou relativistickou opravu hamiltoniánu. Do operátoru \(\hat{V}\) dosadíme definici operátoru hybnosti \(\hat{p}\) \[\hat{V}=-\frac{\hat{p}^4}{8m^3c^2}=-\frac{1}{8m^3c^2}\left(-i\hbar\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x}\right)^4=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}.\]

  První oprava energie pro \(n\)-tý stav je rovna střední hodnotě potenciální energie \(\hat{V}\) poruchy v neporušeném stavu \(\psi_n^{(0)}\) (odvození viz Řešení nápovědy a)). \[E_n^{(1)}=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=\int_{-\infty}^\infty{\psi_n^{(0)^\ast}\hat{V}\psi_n^{(0)}}\,\mathrm{d}x=\] Dosadíme prostorové části stacionárních stavů v nekonečně hluboké potenciálové jámě a vyjádření poruchy \(\hat{V}\). \[=\int_{0}^L{\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\left[-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)\right]}\,\mathrm{d}x=\] Konstanty vytkneme před integrál a zderivujeme funkci uvnitř integrálu. \[=\frac{2}{L}\left(-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\right)\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\left[\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\] Opět vytkneme konstanty před integrál, dosadíme hodnotu integrálu (viz Výpočet integrálů) a upravíme. \[=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\int_{0}^L{\sin^2{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\frac{L}{2}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4\] První oprava energie k \(n\)-tému stavu je \[E_n^{(1)}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4.\]

   

  b) Opravu vlnové funkce v prvním řádu s poruchou \(\hat{V}\) určíme ze vzorce (odvození viz Řešení nápovědy b)) \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{c_k\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}},\] kde \(\psi_k^{(0)}\) a \(\psi_n^{(0)}\) jsou prostorové části neporušených stacionárních vlnových funkcí, \(E_k^{(0)}\) a \(E_n^{(0)}\) jsou neporušené energie. Nejdříve vypočteme skalární součin \(\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)\) v čitateli. Do vzorce \[\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)=\int_{-\infty}^\infty{\psi_k^{(0)^\ast}\hat{V}\psi_n^{(0)}}\,\mathrm{d}x=\] dosadíme stacionární stavy v nekonečně hluboké potenciálové jámě a poruchu \(\hat{V}\). \[=\int_{0}^L{\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\left[-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)\right]}\,\mathrm{d}x=\] Konstanty vytkneme před integrál a zderivujeme funkci uvnitř integrálu. \[=\frac{2}{L}\left(-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\right)\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\left[\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\] Znovu vytkneme konstanty před integrál, dosadíme hodnotu integrálu (viz Výpočet integrálů) a upravíme. \[=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=-\frac{\hbar^4\pi^4n^4}{4m^3c^2L^5}\cdot 0=0\] Skalární součin \(\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)\) je nulový, tudíž jsou nulové i koeficienty \(c_k\) a oprava vlnové funkce v prvním řádu.

  \[\psi_n^{(1)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{c_k\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(0)}\right)}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{0}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}}=0\]

   

  c) Opravy vlnové funkce ve vyšších řádech se počítají pomocí oprav vlnové funkce o řád nižších. Protože oprava v prvním řádu nám vyšla nulová, bude díky tomu nulová i oprava v druhém řádu a tak dále. Přesto to zde i spočítejme: oprava vlnové funkce ve druhém řádu se vypočte pomocí vztahu \[\psi_n^{(2)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(1)}\right)}{E_n^{(1)}-E_k^{(0)}}\psi_k^{(0)}},\] kam dosadíme nulovou opravu vlnové funkce v prvním řádu \(\psi_k^{(1)}\) \[\psi_n^{(2)}=\sum_{\substack{ k \\ k\neq n}}{\frac{\left(\psi_k^{(0)}, \hat{V} 0\right)}{E_n^{(1)}-E_k^{(0)}}\ \psi_k^{(0)}}=0\] a vidíme, že oprava vlnové funkce ve druhém řádu je nulová. Podobně by se postupovalo i pro vyšší řády \[0=\psi_n^{(1)}=\psi_n^{(2)}=\psi_n^{(3)}=\dots\]

  Podobně se i opravy energie ve vyšších řádech počítají pomocí opravy vlnové funkce v nižším řádu, např. oprava energie ve druhém řádu se vypočte pomocí vztahu \[E_n^{(2)}=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V}\psi_n^{(1)}\right)=\left(\psi_n^{(0)}, \hat{V} 0\right)=0.\] Opravy energie ve vyšších řádech budou také nulové \[0=E_n^{(2)}=E_n^{(3)}=\dots\]

  Tento výsledek je dán tím, že porucha \(\hat{V}\) komutuje s neporušeným hamiltoniánem \(\hat{H_0}\), a proto mají společný systém vlastních funkcí. Úlohu je tedy možné vyřešit i přesně, bez použití přibližných metod.

  Poznámky: Porucha \(\hat{V}\) je rovna násobku druhé mocniny kinetické energie \[\hat{V} = -\frac{1}{2mc^2} \hat{T}^2,\] z čehož je rovnou vidět, že komutuje s hamiltoniánem \(\hat{H_0}\), který se v případě zde řešené nekonečné jámy rovná kinetické energii. Ověřme jěště přímým výpočtem, že vlastní funkce \(\hat{H_0}\) jsou i vlastními funkcemi \(\hat{V}\) \[\hat{V}\psi_n^{(0)}(x)=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\,\mathrm{d}^4}{\,\mathrm{d}x^4}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}\right)=-\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\left(\frac{\pi n}{L}\right)^4\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}=-\frac{\hbar^4\pi^4 n^4}{8m^3c^2L^4}\psi_n^{(0)}(x).\]

• Výpočet integrálů

  Postup při výpočtu obou integrálů je stejný. Nejdříve upravíme funkci, kterou chceme integrovat využitím vztahů pro goniometrické funkce \[\sin^2{\alpha}=\frac{1-\cos2{\alpha}}{2},\] \[\sin{\alpha}\,\sin{\beta}=\frac{\cos{(\alpha -\beta)}-\cos{(\alpha +\beta)}}{2},\] pak vytkneme konstantu před integrál a integrujeme pomocí základních integrálů \[\int{1}\,\mathrm{d}x=x+c,\] \[\int{\cos{ax}}\,\mathrm{d}x=\frac{\sin{ax}}{a}+c,\] kde \(a\neq 0\) a \(c\) je integrační konstanta. Nakonec vypočteme hodnotu integrálu dosazením integračních mezí.

   

  Výpočet opravy energie

  \[\int_{0}^L{\sin^2{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^L{\frac{1-\cos{\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)}}{2}}\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{1}{2}\int_{0}^L{\left[1-\cos{\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin{\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)}}{\left(\frac{2\pi n}{L}\right)}\right]_{0}^L=\frac{L}{2}\]

   

  Výpočet opravy vlnové funkce

  \[\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^L{\frac{\cos{\left(\frac{\pi(k-n)x}{L}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi(k+n)x}{L}\right)}}{2}}\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{1}{2}\int_{0}^L{\left[\cos{\left(\frac{\pi (k-n)x}{L}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi (k+n)x}{L}\right)}\right]}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin{\left(\frac{\pi (k-n)x}{L}\right)}}{\left(\frac{\pi (k-n)}{L}\right)}-\frac{\sin{\left(\frac{\pi (k+n)x}{L}\right)}}{\left(\frac{\pi (k+n)}{L}\right)}\right]_{0}^L=0\]

   

  Uvedeme ještě postup výpočtu integrálů v rozhraní WolframAlpha.

  Výpočet opravy energie

  Do řádku pro výpočet se zapíše integrál \(\int_{0}^L{\sin^2{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x\) ve tvaru

  integrate sin^2 (pi*n*x/L) dx from x=0 to L,

  klikne se na tlačítko = (compute) a zobrazí se vypočtená hodnota integrálu

  \[\int_{0}^L{\sin^2{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=\frac{L}{4}\left[2-\frac{\sin{\left(2\pi n\right)}}{\pi n}\right]=\frac{L}{2}.\]

   

  Výpočet opravy vlnové funkce

  Intergrál \(\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x\) byl napsán ve tvaru

  integrate sin (pi*k*x/L)* sin (pi*n*x/L) dx from x=0 to L,

  po výpočtu a úpravě je hodnota integrálu

  \[\int_{0}^L{\sin{\left(\frac{\pi kx}{L}\right)}\sin{\left(\frac{\pi nx}{L}\right)}}\,\mathrm{d}x=\frac{Ln\sin(\pi k)\cos(\pi n)-Lk\cos(\pi k)\sin(\pi n)}{\pi k^2-\pi n^2}=0.\]

• Odpověď

  a) Poruchově první relativistická oprava energie k \(n\)-tému stavu je \[E_n^{(1)}=-\frac{\hbar^4\pi^4}{8m^3c^2L^4}n^4.\]

  b) Oprava vlnové funkce v prvním řádu je nulová.

  c) Ve vyšších řádech budou opravy vlnové funkce i opravy energie nulové.

  \[0=\psi_n^{(1)}=\psi_n^{(2)}=\psi_n^{(3)}=\dots\] \[0=E_n^{(2)}=E_n^{(3)}=\dots\]

• Odvození relativistické opravy a její hodnoty

  Pro úplnost ještě odvoďme tvar první relativistické opravy, která je uvedena v zadání. Vyjdeme ze vztahu pro celkovou energii E ze speciální teorie relativity \(E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2,\) kde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(c\) rychlost světla ve vakuu a \(p\) hybnost částice. Tento vztah upravíme \[E = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2} = m c^2 \sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2 c^2}}.\] Pokud si uvědomíme, že opravu hledáme pro případy, kdy hybnost částice není extrémně velká, tj. pro případy kdy platí \(p>>m c \), můžeme přibližně psát \[E = mc^2\left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2 }{m^2 c^2} - \frac{1}{8} \frac{p^4}{m^4 c^4} + ... \right) = mc^2 + \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3 c^2} + ...\] První člen v poslední rovnici je klidová energie částice a druhý člen nerelativistická kinetická energie. První člen, který relativisticky „upravuje“ celkovou energii, je tedy člen třetí. Tím jsme získali opravu celkové energie v „nekvantové“ fyzice a do kvantové fyziky ho převedeme pomocí principu korespondence \[\hat{V} = - \frac{1}{8} \frac{\hat{p}^4}{m^4 c^4}.\]

   

  Zajímavá je ještě otázka, jak velká je tato oprava. Zkusme dosadit pro dva případy, v obou případech uvažujeme jednorozměrnou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu tak, jako v celé úloze.

  1.) Elektron v jámě o rozměrech atomu v základním stavu

  Budeme uvažovat hodnoty: \(m c^2\, \dot{=}\, 0{,}51\,\mathrm{MeV}\) a \(L\, \dot{=}\, 10^{-10}\,\mathrm{m}\).

  Pomocí vztahu pro energii základního stavu v nekonečné jámě dostáváme pro hybnost elektronu \[p = \frac{ \pi\hbar}{L} \qquad \Rightarrow \qquad pc = \frac{3{,}14\,\cdot\,6{,}6{\cdot}10^{-16}\, \mathrm{eV\,s} }{10^{-10}\,\mathrm{m}} \cdot 3{\cdot}10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}} = 6{,}2\,\mathrm{keV} \] a nerelativistickou kinetickou energii \[ T = \frac{p^2}{2m} = \frac{p^2c^2}{2mc^2} = \frac{6{,}2^2}{2 {\cdot} 520}\,\mathrm{keV}\,\dot{=}\, 37\,\mathrm{eV}.\] První relativistická oprava má velikost \[ E_1^{(1)} = - \frac{p^4}{8m^3c^2} = -\frac{T^2}{2mc^2} = \frac{37^2}{2\, \cdot\, 5{,}2{\cdot}10^{5}}\,\mathrm{eV}\, \dot{=}\, 1{,}3\,\mathrm{meV}.\] Vidíme, že elektron uzavřený na rozměrech odpovídajících rozměru atomu je nerelativistický a i první relativistická oprava energie je zanedbatelná.

  2.) Nukleon v jámě o rozměrech atomového jádra v základním stavu

  Protože výpočet je totožný jako v předchozím případě, uvedeme zde již jen hodnoty \[m c^2 = 940\,\mathrm{MeV}, \ L = 10^{-15}\,\mathrm{m}\] a získané výsledky \[pc = 620\,\mathrm{MeV},\ T = 200\,\mathrm{MeV},\ E_1^{(1)} = 21\,\mathrm{MeV}.\] Vidíme, zde v tomto případě první relativistická oprava dělá asi 10 % kinetické energie.