Barvivo
Úloha číslo: 688
Molekuly některých organických barviv obsahují přímý řetězec atomů uhlíku. Elektron, který se podílí na vazbě mezi takovými atomy, se chová podobně jako částice uvězněná v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě. Představme si, že v tomto modelu je elektron v rámci jedné takové molekuly vázán na úsečce délky 0,94 nm.
a) Určete čtyři nejnižší hladiny energie takového elektronu.
b) Určete pravděpodobnost výskytu elektronu ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) pro stacionární stavy s n = 3 a n = 4.
c) Přechod mezi těmito dvěma stavy (tj. stavy s n = 3 a n = 4) odpovídá významné čáře v absorpčním spektru dané látky. Jaká barva je absorbována? Jakou barvu má látka navenek? Využijte aplikaci Complementary colours dostupnou na adrese http://firstyear.chem.usyd.edu.au/calculators/colour_wheel.shtml
Nápověda k a)
Jak závisí energie En na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?
Jaká je hmotnost elektronu?
Řešení a)
Energie stavu s kvantovým číslem n částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je
\[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}=\frac{n^2 h^2}{8m L^2} .\]Po číselném dosazení dostáváme
\[E_1=\frac{\left(6{,}626{\cdot}10^{-34}\right)^2}{8\,\cdot\,9{,}11{\cdot}10^{-31}\,\cdot\,\left(0{,}94{\cdot}10^{-9}\right)^2\,\cdot\,1{,}602{\cdot}10^{-19}}\ \mbox{eV}=\frac{6{,}626^2}{8\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,0{,}94^2\,\cdot\,1{,}602}\ \mbox{eV}\,\dot{=}\, 0{,}4\ \mbox{eV}.\]Díky tomu, že energie závisí kvadraticky na kvantovém čísle n, můžeme psát
\[E_2=4\,E_1\,\dot{=}\, 1{,}7\ \mbox{eV} ,\] \[E_3=9\,E_1\,\dot{=}\, 3{,}8\ \mbox{eV} ,\] \[E_4=16\,E_1\,\dot{=}\, 6{,}8\ \mbox{eV} .\]Nápověda k b)
Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro částici v nekonečně hluboké jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, kde střed jámy má souřadnici x = 0?
Jak souvisí prаvděpodobnost výskytu částice na nějakém intervalu s vlnovou funkcí popisující její stav v daném místě?
Řešení b)
Normované vlastní funkce hamiltoniánu pro částici v nekonečně hluboké jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, kde střed jámy má souřadnici x = 0, jsou
\[\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \] pro n lichá a
\[\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \] pro n sudá.
(Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma.)
Pravděpodobnost výskytu částice ve stacionárním stavu s n = 3 ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) je rovna
\[P_3 = \frac{2}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \cos^2\left( \frac{3\pi x}{L}\right)\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \left[1\,+\,\cos\left( \frac{6\pi x}{L}\right)\right]\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\,\left[x\,+\,\frac{L}{6\pi}\,\sin\left( \frac{6\pi x}{L}\right)\right]_{-L/6}^{L/6}=\] \[= \frac{1}{3}\,\dot{=}\, 33\%.\]Pravděpodobnost výskytu částice ve stacionárním stavu s n = 4 ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) je rovna
\[P_4 = \frac{2}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \sin^2\left( \frac{4\pi x}{L}\right)\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \left[1\,-\,\cos\left( \frac{8\pi x}{L}\right)\right]\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\,\left[x\,-\,\frac{L}{8\pi}\,\sin\left( \frac{8\pi x}{L}\right)\right]_{-L/6}^{L/6}=\] \[=\frac{1}{L}\,\left[ \frac{L}{3}\,-\,\frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right]\,= \frac{1}{3}\,+\,\frac{\sqrt{3}}{8\pi}\,\dot{=}\, 40\% .\]Nápověda k c)
Jak závisí energie záření na jeho vlnové délce?
Řešení c)
Prvním úkolem je určit, jaké barvě absorbovaného optického záření odpovídá přechod ze třetí na čtvrtou energetickou hladinu. Barvu záření určíme podle jeho vlnové délky. Platí \[E=E_4-E_3\] a zároveň \[E=\frac{hc}{\lambda} .\] Je proto
\[\lambda=\frac{hc}{E_4-E_3}=\frac{hc}{\frac{7h^2}{8mL^2}}=\frac{8cmL^2}{7h} ,\] \[\lambda=\frac{8\,\cdot\,3\,\cdot\,10^8\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,10^{-31}\,\cdot\,\left(0{,}94\,\cdot\,10^{-9}\right)^2}{7\,\cdot\,6{,}626\,10^{-34}}\ \mbox{m}=\frac{8\,\cdot\,3\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,0{,}94^2}{7\,\cdot\,6{,}626}\,10^{-7}\ \mbox{m}\,\dot{=}\, 417\ \mbox{nm} .\]S využitím aplikace Complementary colours můžeme nyní zodpovědět obě otázky. V horní části nastavíme vlnovou délku absorbovaného záření na 417 nm a v dolní části uvidíme barvu doplňkovou, tedy pozorovanou.
Látka absorbuje fialovou barvu a my ji vnímáme jako žlutou. Mohlo by jít například o pomerančové barvivo violaxanthin.
Odpovědi
a) Čtyři nejnižší hladiny energie elektronu v této jámě jsou
\[E_1\,\dot{=}\, 0{,}4\ \mbox{eV} ,\] \[E_2=4\,E_1\,\dot{=}\, 1{,}7\ \mbox{eV} ,\] \[E_3=9\,E_1\,\dot{=}\, 3{,}8\ \mbox{eV} ,\] \[E_4=16\,E_1\,\dot{=}\, 6{,}8\ \mbox{eV} .\]b) Pravděpodobnost výskytu elektronu ve střední části jámy na intervalu (-L/6, L/6) ve stavu s n = 3 je přesně 1/3 a ve stavu s n = 4 přibližně 40 %.
c) Látka absorbuje fialovou barvu o vlnové délce 417 nm. Navenek se pozorovateli jeví jako žlutá.
Aplet k a) a b)
V apletu na adrese http://www.falstad.com/qm1d zaškrtněte v záložce View (zobrazit) položky Energy (energie), Position (poloha), Values/Dimensions (hodnoty/rozměry), State Phasors (fázory stacionárních stavů) a Expectation Values (střední hodnoty). U Wave Function (vlnová funkce) vyberte možnost Probability (pravděpodobnost). Po pravé straně nastavte hodnotu Particle Mass (hmotnost částice) na 511 keV/c2 (tj. hmotnost elektronu) a hodnotu Well Width (šířka jámy) na 942,08 pm. (Šířku jámy je možno nastavit pouze na určité diskrétní hodnoty. Při defaultním nastavení Resolution (rozlišení) je 942,08 pm z dostupných hodnot nejblíže požadovaným 0,94 nm.)
Dvojklikem na první/druhé/třetí/čtvrté kolečko ve spodní části okna nebo kliknutím na první/druhou/třetí/čtvrtou možnou hladinu energie v horní části okna zvolte požadovaný stacionární stav. Aplet vám ukáže pravděpodobnost výskytu částice uvnitř i vně jámy (tam je nulová) a níže také střední hodnotu energie, která se v případě stacionárního stavu rovná přímo jediné možné hodnotě energie dané částice. Tyto hodnoty můžete porovnat s hodnotami, které jste předtím vypočetli. Měly by se poměrně dobře shodovat (odchylka je způsobená nepřesným nastavením šířky jámy v apletu a zvětšuje se s rostoucí energií).
Z grafu rozložení pravděpodobnosti výskytu částice můžete také poměrně přesně (zvlášť pro stav s n = 3) určit pravděpodobnost, na kterou se ptá úkol b).
Aplet k c)
V apletu na adrese http://www.dartmouth.edu/~chemlab/info/.../electrons.html nastavte length of the box (šířka jámy) na „0.94 nm“, number of electrons (počet elektronů) na „6“ a mass (hmotnost) by již měla být přednastavena na „9.11E-31 kg“ (tj. hmotnost elektronu). Při tomto nastavení můžete vpravo dole vidět výpočet energetického rozdílu ΔE = E4 − E3 a vlnovou délku λ odpovídajícího záření. (Energie je zde uváděna v kJ/mol. Energii jednoho kvanta dostaneme vydělením uvedeného údaje Avogadrovou konstantou a případně ji ještě můžeme pro kontrolu převést na eV, chceme-li vidět, že koresponduje s námi vypočtenou energií.) Porovnejte svůj výsledek s hodnotou vypočtenou tímto apletem. Měly by se přesně shodovat.
Odkazy
Více informací souvisejících s tématem barev a barviv, která by této úloze odpovídaly, najdete např. v dokumentech
- Natural coloring agents (http://www.vscht.cz/lam/new/banc.pdf),
- Přírodní barevné látky (http://www.chemicke-listy.cz/docs/full/2005_11_802-816.pdf),
- Pomerančová barviva: violaxanthin a β-citraurin (http://www.toxicology.cz/modules.php?name=News&file=article&sid=314).