Barvivo

Úloha číslo: 688

Molekuly některých organických barviv obsahují přímý řetězec atomů uhlíku. Elektron, který se podílí na vazbě mezi takovými atomy, se chová podobně jako částice uvězněná v nekonečně hluboké jednorozměrné potenciálové jámě. Představme si, že v tomto modelu je elektron v rámci jedné takové molekuly vázán na úsečce délky 0,94 nm.

a) Určete čtyři nejnižší hladiny energie takového elektronu.

b) Určete pravděpodobnost výskytu elektronu ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) pro stacionární stavy s n = 3 a n = 4.

c) Přechod mezi těmito dvěma stavy (tj. stavy s n = 3 a n = 4) odpovídá významné čáře v absorpčním spektru dané látky. Jaká barva je absorbována? Jakou barvu má látka navenek? Využijte aplikaci Complementary colours dostupnou na adrese http://firstyear.chem.usyd.edu.au/calculators/colour_wheel.shtml

  • Nápověda k a)

    Jak závisí energie En na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?

    Jaká je hmotnost elektronu?

  • Řešení a)

    Energie stavu s kvantovým číslem n částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je

    \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}=\frac{n^2 h^2}{8m L^2} .\]

    Po číselném dosazení dostáváme

    \[E_1=\frac{\left(6{,}626{\cdot}10^{-34}\right)^2}{8\,\cdot\,9{,}11{\cdot}10^{-31}\,\cdot\,\left(0{,}94{\cdot}10^{-9}\right)^2\,\cdot\,1{,}602{\cdot}10^{-19}}\ \mbox{eV}=\frac{6{,}626^2}{8\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,0{,}94^2\,\cdot\,1{,}602}\ \mbox{eV}\,\dot{=}\, 0{,}4\ \mbox{eV}.\]

    Díky tomu, že energie závisí kvadraticky na kvantovém čísle n, můžeme psát

    \[E_2=4\,E_1\,\dot{=}\, 1{,}7\ \mbox{eV} ,\] \[E_3=9\,E_1\,\dot{=}\, 3{,}8\ \mbox{eV} ,\] \[E_4=16\,E_1\,\dot{=}\, 6{,}8\ \mbox{eV} .\]

  • Nápověda k b)

    Jak vypadají normované vlastní funkce hamiltoniánu pro částici v nekonečně hluboké jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, kde střed jámy má souřadnici x = 0?

    Jak souvisí prаvděpodobnost výskytu částice na nějakém intervalu s vlnovou funkcí popisující její stav v daném místě?

  • Řešení b)

    Normované vlastní funkce hamiltoniánu pro částici v nekonečně hluboké jednorozměrné pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, kde střed jámy má souřadnici x = 0, jsou

    \[\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \] pro n lichá a

    \[\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \] pro n sudá.

    (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma.)

     

    Pravděpodobnost výskytu částice ve stacionárním stavu s n = 3 ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) je rovna

    \[P_3 = \frac{2}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \cos^2\left( \frac{3\pi x}{L}\right)\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \left[1\,+\,\cos\left( \frac{6\pi x}{L}\right)\right]\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\,\left[x\,+\,\frac{L}{6\pi}\,\sin\left( \frac{6\pi x}{L}\right)\right]_{-L/6}^{L/6}=\] \[= \frac{1}{3}\,\dot{=}\, 33\%.\]

     

    Pravděpodobnost výskytu částice ve stacionárním stavu s n = 4 ve střední části jámy na intervalu (−L/6, L/6) je rovna

    \[P_4 = \frac{2}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \sin^2\left( \frac{4\pi x}{L}\right)\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\int_{-L/6}^{L/6} \left[1\,-\,\cos\left( \frac{8\pi x}{L}\right)\right]\ \mbox{d}x = \frac{1}{L}\,\left[x\,-\,\frac{L}{8\pi}\,\sin\left( \frac{8\pi x}{L}\right)\right]_{-L/6}^{L/6}=\] \[=\frac{1}{L}\,\left[ \frac{L}{3}\,-\,\frac{L}{4\pi}\,\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right]\,= \frac{1}{3}\,+\,\frac{\sqrt{3}}{8\pi}\,\dot{=}\, 40\% .\]

  • Nápověda k c)

    Jak závisí energie záření na jeho vlnové délce?

  • Řešení c)

    Prvním úkolem je určit, jaké barvě absorbovaného optického záření odpovídá přechod ze třetí na čtvrtou energetickou hladinu. Barvu záření určíme podle jeho vlnové délky. Platí \[E=E_4-E_3\] a zároveň \[E=\frac{hc}{\lambda} .\] Je proto

    \[\lambda=\frac{hc}{E_4-E_3}=\frac{hc}{\frac{7h^2}{8mL^2}}=\frac{8cmL^2}{7h} ,\] \[\lambda=\frac{8\,\cdot\,3\,\cdot\,10^8\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,10^{-31}\,\cdot\,\left(0{,}94\,\cdot\,10^{-9}\right)^2}{7\,\cdot\,6{,}626\,10^{-34}}\ \mbox{m}=\frac{8\,\cdot\,3\,\cdot\,9{,}11\,\cdot\,0{,}94^2}{7\,\cdot\,6{,}626}\,10^{-7}\ \mbox{m}\,\dot{=}\, 417\ \mbox{nm} .\]

    S využitím aplikace Complementary colours můžeme nyní zodpovědět obě otázky. V horní části nastavíme vlnovou délku absorbovaného záření na 417 nm a v dolní části uvidíme barvu doplňkovou, tedy pozorovanou.

    Látka absorbuje fialovou barvu a my ji vnímáme jako žlutou. Mohlo by jít například o pomerančové barvivo violaxanthin.

  • Odpovědi

    a) Čtyři nejnižší hladiny energie elektronu v této jámě jsou

    \[E_1\,\dot{=}\, 0{,}4\ \mbox{eV} ,\] \[E_2=4\,E_1\,\dot{=}\, 1{,}7\ \mbox{eV} ,\] \[E_3=9\,E_1\,\dot{=}\, 3{,}8\ \mbox{eV} ,\] \[E_4=16\,E_1\,\dot{=}\, 6{,}8\ \mbox{eV} .\]

     

    b) Pravděpodobnost výskytu elektronu ve střední části jámy na intervalu (-L/6, L/6) ve stavu s n = 3 je přesně 1/3 a ve stavu s n = 4 přibližně 40 %.

     

    c) Látka absorbuje fialovou barvu o vlnové délce 417 nm. Navenek se pozorovateli jeví jako žlutá.

    Absorbovaná versus pozorovaná barva

  • Aplet k a) a b)

    V apletu na adrese http://www.falstad.com/qm1d zaškrtněte v záložce View (zobrazit) položky Energy (energie), Position (poloha), Values/Dimensions (hodnoty/rozměry), State Phasors (fázory stacionárních stavů) a Expectation Values (střední hodnoty). U Wave Function (vlnová funkce) vyberte možnost Probability (pravděpodobnost). Po pravé straně nastavte hodnotu Particle Mass (hmotnost částice) na 511 keV/c2 (tj. hmotnost elektronu) a hodnotu Well Width (šířka jámy) na 942,08 pm. (Šířku jámy je možno nastavit pouze na určité diskrétní hodnoty. Při defaultním nastavení Resolution (rozlišení) je 942,08 pm z dostupných hodnot nejblíže požadovaným 0,94 nm.)

    Dvojklikem na první/druhé/třetí/čtvrté kolečko ve spodní části okna nebo kliknutím na první/druhou/třetí/čtvrtou možnou hladinu energie v horní části okna zvolte požadovaný stacionární stav. Aplet vám ukáže pravděpodobnost výskytu částice uvnitř i vně jámy (tam je nulová) a níže také střední hodnotu energie, která se v případě stacionárního stavu rovná přímo jediné možné hodnotě energie dané částice. Tyto hodnoty můžete porovnat s hodnotami, které jste předtím vypočetli. Měly by se poměrně dobře shodovat (odchylka je způsobená nepřesným nastavením šířky jámy v apletu a zvětšuje se s rostoucí energií).

    Z grafu rozložení pravděpodobnosti výskytu částice můžete také poměrně přesně (zvlášť pro stav s n = 3) určit pravděpodobnost, na kterou se ptá úkol b).

  • Aplet k c)

    V apletu na adrese http://www.dartmouth.edu/~chemlab/info/.../electrons.html nastavte length of the box (šířka jámy) na „0.94 nm“, number of electrons (počet elektronů) na „6“ a mass (hmotnost) by již měla být přednastavena na „9.11E-31 kg“ (tj. hmotnost elektronu). Při tomto nastavení můžete vpravo dole vidět výpočet energetického rozdílu ΔE = E4 − E3 a vlnovou délku λ odpovídajícího záření. (Energie je zde uváděna v kJ/mol. Energii jednoho kvanta dostaneme vydělením uvedeného údaje Avogadrovou konstantou a případně ji ještě můžeme pro kontrolu převést na eV, chceme-li vidět, že koresponduje s námi vypočtenou energií.) Porovnejte svůj výsledek s hodnotou vypočtenou tímto apletem. Měly by se přesně shodovat.

  • Odkazy

    Více informací souvisejících s tématem barev a barviv, která by této úloze odpovídaly, najdete např. v dokumentech

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze