Korálek vs. elektron
Úloha číslo: 680
Částice o hmotnosti m se nachází někde na úsečce délky L.
a) S využitím principu neurčitosti odhadněte nejmenší možnou kinetickou energii této částice.
b) Vypočtěte tuto energii pro případ korálku o hmotnosti 1 g, který je vázán na šňůrku o délce 10 cm.
c) Vypočtěte tuto energii pro případ elektronu na úsečce délky 0,1 nm, což je typický rozměr atomu.
Uvědomte si, že jde pouze o hrubý odhad! Přesnou hodnotu bychom získali až řešením Schrödingerovy rovnice. Částici, která se může pohybovat jen v jednom rozměru na úsečce délky L, můžeme vnímat jako částici v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L, která se nemůže dostat za hranice této jámy. Úlohy zabývající se touto problematikou najdete v sekci Nekonečně hluboká potenciálová jáma této sbírky.
Nápověda
Jaká relace neurčitosti omezuje přesné určení polohy částice?
Jak spolu souvisí kinetická energie a hybnost částice?
Řešení
a) Minimální kinetickou energii najdeme jako
\[E_{\mbox{min}}=\frac{1}{2m}\langle p^2 \rangle_{\mbox{min}} .\]Pro neurčitost hybnosti Δp platí
\[(\Delta p)^2=\langle p^2 \rangle\,-\,\langle p \rangle^2 .\]Vzhledem k tomu, že úsečka omezující pohyb částice je v klidu a částice se na ní může pohybovat stejnoměrně doleva i doprava, musí být střední hodnota její hybnosti nulová, tedy \(\langle p \rangle = 0\) a platí
\[\langle p^2 \rangle = (\Delta p)^2\,+\,\langle p \rangle^2=(\Delta p)^2\,+\,0=(\Delta p)^2 .\]Podobně pro neurčitost polohy Δx platí
\[(\Delta x)^2=\langle x^2 \rangle\,-\,\langle x \rangle^2 .\]Umístíme-li naši jámu mezi body x = −L/2 a x = L/2, musí být ze symetrie problému střední hodnota její polohy nulová, tedy <x> = 0 a platí
\[(\Delta x)^2=\langle x^2 \rangle\,-\,0=\langle x^2 \rangle ,\] \[(\Delta x)^2=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,\mbox{d}x ,\] \[(\Delta x)^2=\frac{1}{L}\,\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} ,\] \[(\Delta x)^2 = \frac{L^2}{12} .\]Z relace neurčitosti ve tvaru
\[(\Delta x)^2\,\cdot\,(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\]nyní můžeme odvodit, že
\[(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\,\frac{1}{(\Delta x)^2} ,\] \[(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\,\frac{12}{L^2} ,\] \[(\Delta p)^2 \ge \frac{3\hbar^2}{L^2} .\]Minimální kinetická energie částice je tedy rovna
\[E_{\mbox{min}}=\frac{1}{2m}\langle p^2\rangle=\frac{3\hbar^2}{2mL^2} .\]Je však třeba mít na mysli, že jde pouze o přibližný odhad. Přesnou hodnotu nejnižší možné energie uvažované částice bychom našli řešením Schrödingerovy rovnice jako nejmenší vlastní číslo hamiltoniánu pro danou situaci. (Podrobně řešeno v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)
Zůstaneme-li u tohoto přibližného odhadu vyplývajícího z relace neurčitosti, máme po dosazení zadaných hodnot
b) \[E_{\mbox{min}}=\frac{3\,\cdot\,\left(1{,}055{\cdot}10^{-34}\,\mbox{J s}\right)^2}{2\,\cdot\,10^{-3}\,\mbox{kg}\,\cdot\,\left(0{,}1\,\mbox{m}\right)^2}\,\dot{=}\,1{,}67{\cdot}10^{-63}\ \mbox{J}\,\dot{=}\,1{,}04{\cdot}10^{-44}\ \mbox{eV} ,\]
c) \[E_{\mbox{min}}=\frac{3\,\cdot\,\left(1{,}055{\cdot}10^{-34}\,\mbox{J s}\right)^2}{2\,\cdot\,9{,}11{\cdot}10^{-31}\,\mbox{kg}\,\cdot\,\left(10^{-10}\,\mbox{m}\right)^2}\,\dot{=}\,1{,}83{\cdot}10^{-18}\ \mbox{J}\,\dot{=}\,11{,}4\ \mbox{eV} .\]
Odpověď
a) Energie částice o hmotnosti m nacházející se někde na úsečce délky L je rovna minimálně \[\,\frac{3\hbar^2}{2mL^2} .\]
b) Energie korálku o hmotnosti 1 g, který je vázán na šňůrku o délce 10 cm, je rovna minimálně 1,04·10−44 eV. Pohyb odpovídající takové kinetické energii je zcela nepozorovatelný.
c) Energie elektronu na úsečce délky 0,1 nm je rovna minimálně 11,4 eV.
Komentář
Minimální energie, kterou najdeme řešením Schrödingerovy rovnice pro částici o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, je rovna
\[E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} .\](Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)
To je \(\frac{\pi^2}{3}\,\dot{=}\,3{,}3\)-krát více, než v našem odhadu vycházejícím z relace neurčitosti.
