Sbírka řešených úloh

Časově konstantní porucha

Úloha číslo: 2290

• Nápověda 1

  Připomeňte si princip nestacionární poruchové metody v kvantové mechanice.

• Řešení nápovědy 1

  Předpokládejme hamiltonián ve tvaru

  $$\hat{H}(t)=\hat{H_0}+\lambda\hat{W}(t),$$

  kde $\hat{H_0}$ je neporušený hamiltonián, který je časově nezávislý, $\lambda$ je malý parametr, který jsme vytknuli z poruchového členu. Jelikož je poruchový člen časově závislý, je závislý i porušený hamiltonián.

  Dále předpokládáme stacionární řešení neporušené stacionární Schrödingerovy rovnice

  $$\hat{H_0}\psi_n=E_n\psi_n.$$

  Porušenému hamiltoniánu však nepřísluší žádné stacionární stavy, a proto budeme studovat pouze přechody mezi stacionárními stavy neporušeného hamiltoniánu, které porucha vyvolala.

  Uvažujme, že porucha působí pouze v časovém intervalu $0< t<\tau$, proto před zapnutím a po vypnutí poruchy je $\lambda\hat{W}(t)=0$ a $\hat{H}(t)=\hat{H_0}$. Náchází-li se systém v nějakém stacionárním stavu před zapnutím poruchy, může vlivem poruchy dojít k přechodu do stavu jiného, ve kterém systém po vypnutí poruchy již setrvá.

  Abychom určili změny systému v celé časové škále, je nutné řešit nestacionární Schrödingerovu rovnici, jejiž obecné řešení má tvar

  $$\psi(\vec{r},t)=\sum_n {c_n(t)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}.$$

  Kontrétní řešení obdržíme volbou počátečních podmínek a výpočtem časově závislých koeficientů $c_n(t)$. Jako počáteční podmínku volíme, že se systém nacházel v okamžiku zapnutí poruchy v p-tém stavu

  $$\psi^{(p)}(\vec{r},t=0)=\psi_p.$$

  Tato podmínka vede ke konkrétnímu řešení

  $$\psi^{(p)}(\vec{r},t)=\sum_n {c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}.$$

  Počáteční hodnoty koeficientů $c_n^{(p)}(t)$ určíme z počáteční podmínky

  $$\psi^{(p)}(\vec{r},t=0)=\sum_n c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})=\psi_n,$$

  tedy

  $$c_n^{(p)}(t=0)=\delta_{np}.$$

  Vypočítáme-li všechny koeficienty $c_n^{(p)}(t)$, můžeme poté určit veličinu

  $$P_{p\rightarrow k}=\left|c_k^{(p)}(t=\tau)\right|^2,$$

  kterou můžeme rozumět pravděpodobnost, že se systém nachází ve stavu $k$ v okamžiku vypnutí poruchy a tedy pravděpodobnost přechodu ze stavu $p$ do stavu $k$. Některé pravděpodobnosti přechodu mohou být nulové, takovým přechodům se říká zakázané. Opakem jsou přechody dovolené. Jejich souhrn tvoří výběrová pravidla.

  Vypočítejme nyní koeficienty $c_n^{(p)}(t)$ dosazením konkrétního tvaru vlnových funckí $\psi^{(p)}$ do nestacionární Schrödingerovy rovnice

  $$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi^{(p)}=i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\sum_n {c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}=$$ $$=i\hbar\sum_n c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})\left(−i\frac{E_n}{\hbar}\right)e^{−i\frac{E_n}{\hbar}}t+i\hbar\sum_n {\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(c_n^{(p)}(t)\right)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}=$$ $$=H_0\sum_n {c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}+\lambda\hat{W}(t)\sum_n {c_n^{(p)}(t)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}.$$

  První členy na druhém a třetím řádku se díky neporušené stacionární Schrödingerovy rovnice rovnají. Upravená rovnost tedy je

  $$i\hbar\sum_n {\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(c_n^{(p)}(t)\right)\psi_n(\vec{r})e^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}=\lambda\hat{W}(t)\sum_n {c_n^{(p)}(t)\psi_ne^{−i\frac{E_n}{\hbar}t}}.$$

  Skalárně tuto rovnost vynásobíme zleva výrazem $\psi_k e^{−i\frac{E_k}{\hbar}t}$ a využijeme ortonormality

  $$i\hbar \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} c_k^{(p)}(t)=\sum_n \left\langle\psi_k|\lambda\hat{W}(t)\psi_n\right\rangle c_n^{(p)}(t)e^{i\frac{E_k−E_n}{\hbar}t}.$$

  Tuto soustavu diferenciálních rovnic je možno řešit až po zadání přesného tvaru poruchy a obvykle je to značně obtížný úkol. Je-li porucha dostatečně malá (je-li $\lambda$ dostatečně malé), můžeme brát koeficienty $c_n^{(p)}$ vzít jako jejich nulté přiblížení, tedy známé počáteční hodnoty $c_n^{(p)}(t)\doteq c_n^{(p)}(t=0)=\delta_{np}$ dosadit do pravé strany rovnice. Tím se diferenciální rovnice zjednodušší na

  $$i\hbar \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} c_k^{(p)}(t)=\left\langle\psi_k|\lambda\hat{W}(t)\psi_p\right\rangle e^{i\frac{E_k−E_p}{\hbar}t}.$$

  Zajímáme-li se pouze o přechody, je $k\neq p$.

  Koeficient $c_k^{(p)}(t)$ tedy určíme z výrazu

  $$c_k^{(p)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle\psi_k|\hat{V}(t)\psi_p\right\rangle e^{i\frac{E_k−E_p}{\hbar}t}\, \mathrm{d}t.$$

  Jedná se o vztah pro koeficient přechodu $c_k^{(p)}(t)$ v prvním řádu poruchové teorie.

• Řešení

  Zajímá nás pravděpodobnost přechodu systému vlivem poruchy do vlastního stavu $\psi_f$. Spočítejme proto koeficient $c_f^{(p)}(t)$, který stojí před vlastním stavem $\psi_f$ v lineární kombinaci konečného stavu systému při vypnutí poruchy.

  Proto nyní dosadíme do vzorce

  $$c_f^{(p)}(\tau)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}\left\langle\psi_f\bigg|\hat{V}(t)\psi_i\right\rangle e^{i\frac{E_f−E_i}{\hbar}t}\, \mathrm{d}t.$$

  Označme

  $$\frac{E_f−E_i}{\hbar}=\omega_{fi},$$ $$\left\langle\psi_f\bigg|\hat{V}(t)\psi_i\right\rangle=V_{fi}(t),$$

  kde $V_{fi}(t)$ obecně závisí na čase, ale v této úloze, kde uvažujeme konstantní poruchu (která je pouze zapnuta v určitém čase) se jedná o konstantu.

  Tedy

  $$c_f^{(p)}(\tau)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{\tau}V_{fi} e^{i\omega_{fi}t}\, \mathrm{d}t=\frac{1}{i\hbar}V_{fi}\left[\frac{e^{i\omega_{fi}t}}{i\omega_{fi}}\right]_0^\tau=\frac{−1}{\hbar\omega_{fi}}V_{fi}\left(e^{i\omega_{fi}t}−1\right)=\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\left(1−e^{i\omega_{fi}t}\right).$$

  Z toho určíme pravděpodobnost přechodu jako

  $$P_{p\rightarrow k}=\left|c_f^{(p)}(\tau)\right|^2=\left|\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\right|^2\left|1−e^{i\omega_{fi}\tau}\right|^2=$$ $$=\left|\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\right|^2\left[1−\mathrm{cos}(\omega_{fi}\tau)−i\mathrm{sin}(\omega_{fi}\tau)\right]\left[1−\mathrm{cos}(\omega_{fi}\tau)+i\mathrm{sin}(\omega_{fi}\tau)\right]=$$ $$=\left|\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\right|^2\left[\left(1−\mathrm{cos}(\omega_{fi}\tau)\right)^2+\mathrm{sin}^2(\omega_{fi}\tau)\right]=\left|\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\right|^2(1−2\mathrm{cos}(\omega_{fi}\tau)+1)=\left|\frac{V_{fi}}{E_f−E_i}\right|^2 4\mathrm{sin}^2\left(\frac{\omega_{fi}\tau}{2}\right)=$$ $$=\frac{\left|V_{fi}\right|^2}{\hbar^2} \frac{\mathrm{sin}^2\left(\frac{\omega_{fi}\tau}{2}\right)}{\left(\frac{\omega_{fi}}{2}\right)^2}.$$

  Tato závislost na $\omega_{fi}$ je znázorněna v následujícím grafu.

  

  Pro $\omega_{fi}\rightarrow0$ je pravděpodobnost přechodu $\frac{\left|V_{fi}\right|^2}{\hbar^2}\tau^2$. Pro $\omega_{fi}\rightarrow\infty$ je pravděpodobnost přechodu $0$. Pravděpodobnost přechodu je dále nulová, když

  $$\mathrm{sin}^2\left(\frac{\omega_{fi}\tau}{2}\right)=0\Rightarrow \omega_{fi}=\frac{2\pi k}{\tau},\,k\in\mathbb{Z}.$$

  Nezanedbatelná pravděpodobnost přechodu je určena podmínkou (a v grafu vyznačena červeně)

  $$\frac{−2\pi}{\tau}\leq\omega_{fi}\leq \frac{2\pi}{\tau},$$

  jinak také

  $$|\omega_{fi}|\leq \frac{2\pi}{\tau}.$$

  Z toho

  $$\left|\frac{E_f−E_i}{\hbar}\right|\leq \frac{2\pi}{\tau},$$ $$\left|\frac{\Delta E}{\hbar}\right|\leq \frac{2\pi}{\tau},$$ $$\tau|\Delta E|\leq 2\pi\hbar.$$

  Poslední výraz znamená, že systém může přejít vlivem poruchy pouze do stavů, které mají rozdílnou energii oproti původnímu stavu o hodnotu

  $$|\Delta E|\leq2\frac{\pi\hbar}{\tau}.$$

  Vidíme, že čím kratší je působení poruchy, tím může dojít k větší změně energie původního stavu. A naopak, pokud chceme, aby se energie moc neměnila, pak je třeba, aby porucha působila po dlouhou dobu.

• Odpověď

  Uvažujeme-li systém nacházející se ve vlastním stavu $\psi_i$ neporušeného hamiltoniánu $\hat{H}_0$ v čase $t=0$ a poruchu

  $$\hat{V}(t)=0,\, t< 0,\,\tau< t,$$ $$\hat{V}(t)=\hat{V},\, \tau>t>0,$$

  tj. poruchu, která je na intervalu $(0,\,\tau)$ konstantní a „zapneme“ ji v čase $t=0$, pak pravděpodobnost přechodu systému v časovém intervalu $(0,\tau)$ z počátečního stavu do stavu $\psi_f$ je

  $$P_{p\rightarrow k}=\left|c_f^{(p)}(\tau)\right|^2=\frac{\left|V_{fi}\right|^2}{\hbar^2} \frac{\mathrm{sin}^2\left(\frac{\omega_{fi}\tau}{2}\right)}{\left(\frac{\omega_{fi}}{2}\right)^2},$$

  kde

  $$\left\langle\psi_f\Big|\hat{V}(t)\psi_i\right\rangle=V_{fi}(t),$$ $$\frac{E_f−E_i}{\hbar}=\omega_{fi}.$$

  Větší hodnoty pravděpodobnosti přechodu nabývají za podmínky

  $$\tau|\Delta E|\leq2\pi\hbar,$$

  jinak jsou prakticky nulové. To znamená, že systém může přejít vlivem poruchy pouze do stavů, které mají rozdílnou energii oproti původnímu stavu o hodnotu

  $$|\Delta E|\leq2\frac{\pi\hbar}{\tau}.$$