Komutátory složených operátorů
Úloha číslo: 718
Vyjádřete následující komutátory pomocí „elementárních“ komutátorů:
a) \(\left[\hat A,\hat B + \hat C \right]\),
b) \(\left[\hat A \hat B,\hat C \right]\),
c) \(\left[\hat A,\hat B \hat C \right]\),
d) \(\left[\hat A \hat B,\hat C \hat D \right]\).
Poznámka: Za „elementární“ komutátor považujme takový, který má na obou pozicích jednoduchý, nikoli složený operátor.
Nápověda
V této úloze máme vlastně odvodit základní vlastnosti a pravidla pro počítání s komutátory. Všechny lze celkem jednoduše odvodit z definice komutátoru.
Řešení
K výpočtu použijeme ve všech případech definici komutátoru (viz nápověda).
a) \[\left[\hat A,\hat B + \hat C \right] = \hat A(\hat B + \hat C) - (\hat B + \hat C) \hat A = \]
roznásobíme závorky – operátory sice nekomutují, ale asociativitu a distributivitu splňují
\[=\hat A \hat B +\hat A \hat C - \hat B \hat A- \hat C \hat A=\]přeuspořádáme členy (vůči sčítání jsou operátory komutativní)
\[=\hat A \hat B - \hat B \hat A+\hat A \hat C - \hat C \hat A=\]a první dva přepíšeme podle definice komutátoru, podobně i zbylé dva
\[ =\left[\hat A,\hat B \right] + \left[\hat A, \hat C \right]\,.\]To, co jsme odvodili je tzv. linearita komutátoru, v tomto případě ve druhé složce, ale úplně stejně lze dokázat linearitu komutátoru i ve složce první.
b) \[\left[\hat A \hat B,\hat C \right] = \hat A \hat B \hat C - \hat C \hat A \hat B = \]
abychom z prvního členu udělali komutátor, odečteme od něho vhodný člen, který ale v zápětí znovu přičteme
\[=\hat A \hat B \hat C - \hat A \hat C \hat B + \hat A \hat C \hat B - \hat C \hat A \hat B = \]z prvních dvou členů vytkneme operátor \(\hat A\), z posledních dvou operátor \(\hat B\)
\[=\hat A (\hat B \hat C - \hat C \hat B) + (\hat A \hat C - \hat C \hat A) \hat B = \]a přepíšeme pomocí definice komutátoru
\[\hat A \left[\hat B,\hat C \right] + \left[\hat A,\hat C \right] \hat B\,.\]Přepišme ještě jednou zíkanou rovnost:
\[\left[\hat A \hat B,\hat C \right] = \hat A \left[\hat B,\hat C \right] + \left[\hat A,\hat C \right] \hat B\,.\]Tento výraz nám říka, jak upravit komutátor, ve kterém máme složený operátor. Lze si tuto rovnost zapamatovat tak, že výsledkem jsou dva komutátory, na místo složeného operátoru píšeme vždy jeden operátor, který ho tvoří, a zbývající napíšeme buď před a nebo za komutátor, tak aby pořadí operátorů tvořící původní složený operátor bylo zachováno.
c) Tento komutátor lze upravit úplně stejně jako předcházející. Jinou možností je využít antisymetrie komutátoru, tj. rovnosti
\[\left[\hat X, \hat Y\right] = - \left[\hat Y, \hat X\right] \]Dostáváme
\[\left[\hat A,\hat B \hat C \right] = - \left[\hat B \hat C, \hat A \right] = \]použijeme rovnost odvozenou v části b) a pomocí antisymetrie se zbavíme znaménka mínus.
\[= - (\hat B \left[\hat C, \hat A \right] + \left[\hat B, \hat A \right] \hat C) = \hat B \left[\hat A,\hat C \right] + \left[\hat A,\hat B \right] \hat C\,.\]Vidíme, že pravidlo pro zapamatování si práce s komutátorem složeného operátoru je použitelné i v tomto případě.
d) Tento výraz upravíme postupnou aplikací vztahů odvozených v čási b) a c). Důležité je si ale dávat pozor na pořadí operátorů před a za komutátory!
\[\left[\hat A \hat B,\hat C \hat D \right] = \hat A \left[\hat B,\hat C \hat D \right] + \left[\hat A,\hat C \hat D \right] \hat B =\]raději si vypomůžeme závorkami
\[ =\hat A ( \hat C \left[\hat B, \hat D \right] + \left[\hat B,\hat C \right] \hat D ) + (\hat C \left[\hat A, \hat D \right] + \left[\hat A,\hat C \right] \hat D ) \hat B\]a po jejich odstranění dostáváme:
\[ =\hat A \hat C \left[\hat B, \hat D \right] + \hat A \left[\hat B,\hat C \right] \hat D + \hat C \left[\hat A, \hat D \right] \hat B + \left[\hat A,\hat C \right] \hat D \hat B\,.\]Poznámka: Pokud bychom použili odvozená pravidla v obráceném pořadí, tj. nejprve ze „zbavili“ složeného operátoru na druhé pozici, dostaneme výraz s odlišným pořadím operátorů. Jednoduchým rozepsáním komutátorů podle definice ale lze snadno odvodit, že se oba výrazy rovnají.
