Průměty spinu – minimální neurčitost

Úloha číslo: 4331

Uvažujme částici se spinem \(\frac{1}{2}\) v obecném stavu popsaném normovaným spinorem \[\chi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \, ,\] kde \(a, \, b\) jsou komplexní čísla.

Určete podmínky pro minimální neurčitost průmětů spinu \(\hat S_x\) a \(\hat S_y\), tj. podmínky, aby v relaci neurčitosti pro tyto průměty spinu \(\delta S_x \, \delta S_y \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right |\) platila rovnost.

  • Nápověda 1

    Připomeňte si, jak souvisí neurčitost veličiny se střední kvadratickou odchylkou téže veličiny v daném stavu. Dále si připomeňte, jak určujeme střední kvadratickou odchylku.

  • Nápověda 2

    Připomeňte si tvar matic pro průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do všech tří os \(x, \, y, \, z\) a vztah pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny ve stavu popsaném spinorem \(\chi\).

  • Nápověda 3

    Připomeňte si algebraický, goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla. Dále si připomeňte, jak lze převádět komplexní číslo z jednoho tvaru do jiného.

  • Řešení

    Detailní výpočet středních hodnot průmětů spinu do jednotlivých os a výpočet středních hodnot kvadrátu průmětů spinu do každé z os pro částici se spinem \(\frac{1}{2}\) v obecném stavu popsaném normovaným spinorem \[\chi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \, ,\] naleznete v úloze Střední hodnoty průmětů spinu v obecném stavu, Řešení a).

    Zde nyní shrneme pouze výsledné hodnoty

    \[\left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \frac{i\hbar}{2}({ab}^*-a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2) \, ,\] \[\left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar^2}{4} \, .\]

    Protože násobit komplexní čísla je nejjednodušší v exponenciálním tvaru, převedeme si čísla \(a, \, b\) a k nim komplexně sdružená čísla \(a^*, \, b^*\) do tohoto tvaru \(a = |a|e^{i \varphi_a}\), \(b = |b|e^{i \varphi_b}\), \(a^* = |a|e^{-i \varphi_a}\), \(b^* = |b|e^{-i \varphi_b}\) a vyjádříme potřebné součiny

    \[ {ab}^* = |a|e^{i\varphi_a}|b|e^{-i\varphi_b} = |a||b|e^{i(\varphi_a-\varphi_b)} \, , \] \[ a^*b = |a|e^{-i\varphi_a}|b|e^{i\varphi_b} = |a||b|e^{i(\varphi_b-\varphi_a)} \, . \]

    Označíme-li nyní rozdíl argumentů \(\varphi_a-\varphi_b\) jako \(\varphi\), lze tyto součiny psát ve tvaru

    \[ {ab}^* = |a||b|e^{i\varphi} \, , \] \[ a^*b = |a||b|e^{-i\varphi} \, . \]

    Nyní dosadíme do vyjádření středních hodnot průmětů spinu a upravíme

    \[ \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) = \frac{\hbar}{2}(|a||b|e^{i\varphi} + |a||b|e^{-i\varphi}) = \] \[ = \frac{\hbar}{2} |a||b| (\cos\varphi + i\sin\varphi + \cos\varphi - i\sin\varphi) = \hbar |a||b| \cos\varphi \, , \] \[ \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \frac{i\hbar}{2}({ab}^*-a^*b) = \frac{i\hbar}{2}(|a||b|e^{i\varphi} - |a||b|e^{-i\varphi}) = \] \[ = \frac{i\hbar}{2} |a||b| (\cos\varphi + i\sin\varphi - \cos\varphi + i\sin\varphi) = -\hbar |a||b| \sin\varphi \, . \]

    Dále určíme střední kvadratické odchylky \((\delta S_x)^2\) a \((\delta S_y)^2\) dosazením do obecného vztahu a upravíme

    \[ \left ( \delta S_x \right )^2 = \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (\hbar |a||b| \cos\varphi)^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \cos^2\varphi \, , \] \[ \left ( \delta S_y \right )^2 = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\hbar |a||b| \sin\varphi)^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \sin^2\varphi \, . \]

    Odtud bychom mohli po odmocnění dosadit do relace neurčitosti a dále upravovat. Výhodnější však bude relaci neurčitosti \(\delta S_x \, \delta S_y \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right |\) umocnit na druhou a teprve poté dosadit a upravit. Jelikož máme najít podmínky, při kterých bude platit rovnost, píšeme nadále v relaci neurčitosti místo znaménka neostré nerovnosti znaménko pro rovnost

    \[ \left ( \delta S_x \right )^2 \left ( \delta S_y \right )^2 = \frac{\hbar^2}{4} \left \langle S_z \right \rangle_{\chi}^2 \, , \] \[ \left(\frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \cos^2\varphi\right) \left(\frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \sin^2\varphi\right) = \frac{\hbar^2}{4} \left (\frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2)\right)^2 \, , \] \[ \frac{\hbar^2}{4} \frac{\hbar^2}{4} (1-4|a|^2|b|^2 \cos^2\varphi)(1-4|a|^2|b|^2 \sin^2\varphi) = \frac{\hbar^2}{4} \frac{\hbar^2}{4} (|a|^4 - 2|a|^2|b|^2 + |b|^4) \, . \]

    Nyní vydělíme rovnici výrazem \(\frac{\hbar^4}{16}\) a na levé straně roznásobíme závorky

    \[ 1 - 4|a|^2|b|^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) + 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = |a|^4 - 2|a|^2|b|^2 + |b|^4 \, . \]

    Dále upravíme s využitím vztahu \(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)

    \[ 1 + 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = |a|^4 + 2|a|^2|b|^2 + |b|^4 \, , \] \[ 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = \left (|a|^2 + |b|^2 \right)^2 - 1 \, . \]

    Teď využijeme toho, že pracujeme s normovaným spinorem, tj. \(|a|^2 + |b|^2 = 1\). Odtud po dosazení a úpravě získáme výsledný vztah, ze kterého určíme podmínky rovnosti

    \[ 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = 0 \, , \] \[ |a|^2|b|^2\cos\varphi\sin\varphi = 0 \, . \]

    Tato rovnost platí

    • ve speciálním případě, kdy je \(a = 0 \lor b = 0\). V tomto případě se jedná o stav s ostrou hodnotou průmětu spinu \(\hat S_z\).
    • pro \(a, b \neq 0 \, \land \, \sin \varphi = 0\), tj. pro \(\varphi = 0 \, \lor \, \varphi = \pi\).
      • V případě, že \(\varphi = 0\) mají čísla \(a, b\) stejnou fázi. Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b \in \mathbb{R}^+\).
      • V případě, že \(\varphi = \pi\) mají čísla \(a, b\) opačnou fázi. Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b \in \mathbb{R}^-\).
    • pro \(a, b \neq 0 \, \land \, \cos \varphi = 0\), tj. pro \(\varphi = \pm \frac{\pi}{2}\).
      • V případě, že \(\varphi = \pm \frac{\pi}{2}\) jsou čísla \(a, b\) navzájem fázově posunuta o \(\frac{\pi}{2}\).
        Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b\) ryze imaginární číslo.
  • Odpověď

    Minimální součin neurčitostí průmětů spinu \(\hat S_x\) a \(\hat S_y\) nastává v těchto případech

    • čísla \(a, b\) mají stejnou fázi, tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je i \(b \in \mathbb{R}^+_0\),
    • čísla \(a, b\) mají opačnou fázi, tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je \(b \in \mathbb{R}^-_0\)
    • čísla \(a, b\) jsou navzájem fázově posunuta o \(\frac{\pi}{2}\), tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je \(b\) ryze imaginární číslo.
  • Komentář

    Jelikož se v této úloze zabýváme rozdílem fází čísel \(a, b\), je možné BÚNO předpokládat \(a \in \mathbb{R}_0^+\) již na začátku výpočtu.

    Tuto volbu můžeme učinit, neboť popis stavu není jednoznačný. Máme volnost v násobení konstantou, takže jistě existuje takový spinor, který popisuje zadaný stav a pro který zároveň platí, že \(a \in \mathbb{R}_0^+\).

    V tomto případě bychom si pouze nepatrně zjednodušili výpočet a ve výsledku bychom získali fázi čísla \(b\). Oba výpočty jsou korektní a obtížností na přibližně stejné úrovni.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle
River: Pearson Prentice Hall, 2005
×Původní zdroj: GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd ed. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2005
Zaslat komentář k úloze