Sbírka řešených úloh

Průměty spinu – minimální neurčitost

Úloha číslo: 4331

• Nápověda 1

  Připomeňte si, jak souvisí neurčitost veličiny se střední kvadratickou odchylkou téže veličiny v daném stavu. Dále si připomeňte, jak určujeme střední kvadratickou odchylku.

• Řešení nápovědy 1

  Střední kvadratická odchylka \(\left (\delta F \right )^2\) veličiny \(F\) ve stavu popsaném spinorem \(\chi\) je druhou mocninou její neurčitosti \(\delta F\). Lze ji určit pomocí vztahu

  \[ \left ( \delta F \right )^2 = \left \langle F^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle F \right \rangle_{\chi} ^2 \, . \]

• Nápověda 2

  Připomeňte si tvar matic pro průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do všech tří os \(x, \, y, \, z\) a vztah pro výpočet střední hodnoty fyzikální veličiny ve stavu popsaném normovaným spinorem \(\chi\).

• Řešení nápovědy 2

  Matice pro průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do jednotlivých os mají tvar \[(\hat S_x, \hat S_y, \hat S_z) = \frac{\hbar}{2} \left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right) \, .\]

  Střední hodnotu veličiny \( F\) ve stavu popsaném normovaným spinorem \(\chi\) lze určit dle vztahu \[\left \langle F \right \rangle_{\chi} = \left \langle \chi \, \Big | \, \hat F \chi \right \rangle = \chi^{\dagger} \hat F \chi \, ,\] kde \(\hat F\) je operátor příslušející veličině \(F\) a křížek značí hermitovsky sdruženou matici, tj. matici transponovanou a komplexně sdruženou.

• Nápověda 3

  Připomeňte si algebraický, goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla. Dále si připomeňte, jak lze převádět komplexní číslo z jednoho tvaru do jiného.

• Řešení nápovědy 3

  Algebraickým tvarem nenulového komplexního čísla \(z\) nazýváme tvar \(z = c + id\), kde \(c, \, d\) jsou reálná čísla a \(i\) je imaginární jednotka.

  Goniometrickým tvarem nenulového komplexního čísla \(z\) nazýváme tvar \(z = |z| (\cos\varphi + i\sin\varphi)\), kde \(|z|\) je velikost komplexního čísla \(z\) a \(\varphi\) je argument komplexního čísla. Porovnáním reálných a imaginárních částí jednotlivých vyjádření získáme vztahy pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem komplexního čísla

  \[ c = |z| \cos \varphi \, , \] \[ d = |z| \sin \varphi \, . \]

  Sečteme-li kvadráty těchto vztahů, získáme vztah

  \[ c^2 + d^2 = |z|^2 \, , \]

  ze kterého můžeme určit velikost komplexního čísla

  \[ |z| = \sqrt{c^2 + d^2} \, . \]

  Vydělíme-li vztahy pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem komplexního čísla, získáme vztah

  \[ \mathrm{tg}\, \varphi = \frac{d}{c}, \]

  ze kterého můžeme určit argument komplexního čísla \(\varphi\).

  Označíme-li \(e^{i \varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\), můžeme nenulové komplexní číslo \(z\) vyjádřit v tzv. exponenciálním tvaru \(z = |z| e^{i\varphi}\), kde \(|z|\) je velikost komplexního čísla \(z\) a \(\varphi\) je argument komplexního čísla.

  Všechna tato vyjádření jsou si ekvivalentní, tj.

  \[ z = a + ib = |z| (\cos\varphi + i\sin\varphi) = |z| e^{i\varphi}. \]

• Řešení

  Detailní výpočet středních hodnot průmětů spinu do jednotlivých os a výpočet středních hodnot kvadrátu průmětů spinu do každé z os pro částici se spinem \(\frac{1}{2}\) v obecném stavu popsaném normovaným spinorem \[\chi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \, ,\] naleznete v úloze Střední hodnoty průmětů spinu v obecném stavu, Řešení a).

  Zde nyní shrneme pouze výsledné hodnoty

  \[\left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \frac{i\hbar}{2}({ab}^*-a^*b) \, ,\] \[\left \langle S_z \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2) \, ,\] \[\left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} = \left \langle S_z^2 \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar^2}{4} \, .\]

  Protože násobit komplexní čísla je nejjednodušší v exponenciálním tvaru, převedeme si čísla \(a, \, b\) a k nim komplexně sdružená čísla \(a^*, \, b^*\) do tohoto tvaru \(a = |a|e^{i \varphi_a}\), \(b = |b|e^{i \varphi_b}\), \(a^* = |a|e^{-i \varphi_a}\), \(b^* = |b|e^{-i \varphi_b}\) a vyjádříme potřebné součiny

  \[ {ab}^* = |a|e^{i\varphi_a}|b|e^{-i\varphi_b} = |a||b|e^{i(\varphi_a-\varphi_b)} \, , \] \[ a^*b = |a|e^{-i\varphi_a}|b|e^{i\varphi_b} = |a||b|e^{i(\varphi_b-\varphi_a)} \, . \]

  Označíme-li nyní rozdíl argumentů \(\varphi_a-\varphi_b\) jako \(\varphi\), lze tyto součiny psát ve tvaru

  \[ {ab}^* = |a||b|e^{i\varphi} \, , \] \[ a^*b = |a||b|e^{-i\varphi} \, . \]

  Nyní dosadíme do vyjádření středních hodnot průmětů spinu a upravíme

  \[ \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} = \frac{\hbar}{2}({ab}^*+a^*b) = \frac{\hbar}{2}(|a||b|e^{i\varphi} + |a||b|e^{-i\varphi}) = \] \[ = \frac{\hbar}{2} |a||b| (\cos\varphi + i\sin\varphi + \cos\varphi - i\sin\varphi) = \hbar |a||b| \cos\varphi \, , \] \[ \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} = \frac{i\hbar}{2}({ab}^*-a^*b) = \frac{i\hbar}{2}(|a||b|e^{i\varphi} - |a||b|e^{-i\varphi}) = \] \[ = \frac{i\hbar}{2} |a||b| (\cos\varphi + i\sin\varphi - \cos\varphi + i\sin\varphi) = -\hbar |a||b| \sin\varphi \, . \]

  Dále určíme střední kvadratické odchylky \((\delta S_x)^2\) a \((\delta S_y)^2\) dosazením do obecného vztahu a upravíme

  \[ \left ( \delta S_x \right )^2 = \left \langle S_x^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_x \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (\hbar |a||b| \cos\varphi)^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \cos^2\varphi \, , \] \[ \left ( \delta S_y \right )^2 = \left \langle S_y^2 \right \rangle_{\chi} - \left \langle S_y \right \rangle_{\chi} ^2 = \frac{\hbar^2}{4} - (-\hbar |a||b| \sin\varphi)^2 = \frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \sin^2\varphi \, . \]

  Odtud bychom mohli po odmocnění dosadit do relace neurčitosti a dále upravovat. Výhodnější však bude relaci neurčitosti \(\delta S_x \, \delta S_y \geq \frac{\hbar}{2} \left | \left \langle S_z \right \rangle_{\chi} \right |\) umocnit na druhou a teprve poté dosadit a upravit. Jelikož máme najít podmínky, při kterých bude platit rovnost, píšeme nadále v relaci neurčitosti místo znaménka neostré nerovnosti znaménko pro rovnost

  \[ \left ( \delta S_x \right )^2 \left ( \delta S_y \right )^2 = \frac{\hbar^2}{4} \left \langle S_z \right \rangle_{\chi}^2 \, , \] \[ \left(\frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \cos^2\varphi\right) \left(\frac{\hbar^2}{4} - \hbar^2 |a|^2|b|^2 \sin^2\varphi\right) = \frac{\hbar^2}{4} \left (\frac{\hbar}{2}(|a|^2 - |b|^2)\right)^2 \, , \] \[ \frac{\hbar^2}{4} \frac{\hbar^2}{4} (1-4|a|^2|b|^2 \cos^2\varphi)(1-4|a|^2|b|^2 \sin^2\varphi) = \frac{\hbar^2}{4} \frac{\hbar^2}{4} (|a|^4 - 2|a|^2|b|^2 + |b|^4) \, . \]

  Nyní vydělíme rovnici výrazem \(\frac{\hbar^4}{16}\) a na levé straně roznásobíme závorky

  \[ 1 - 4|a|^2|b|^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) + 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = |a|^4 - 2|a|^2|b|^2 + |b|^4 \, . \]

  Dále upravíme s využitím vztahu \(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\)

  \[ 1 + 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = |a|^4 + 2|a|^2|b|^2 + |b|^4 \, , \] \[ 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = \left (|a|^2 + |b|^2 \right)^2 - 1 \, . \]

  Teď využijeme toho, že pracujeme s normovaným spinorem, tj. \(|a|^2 + |b|^2 = 1\). Odtud po dosazení a úpravě získáme výsledný vztah, ze kterého určíme podmínky rovnosti

  \[ 16|a|^4|b|^4\cos^2\varphi\sin^2\varphi = 0 \, , \] \[ |a|^2|b|^2\cos\varphi\sin\varphi = 0 \, . \]

  Tato rovnost platí

  • ve speciálním případě, kdy je \(a = 0 \lor b = 0\). V tomto případě se jedná o stav s ostrou hodnotou průmětu spinu \(\hat S_z\).
  • pro \(a, b \neq 0 \, \land \, \sin \varphi = 0\), tj. pro \(\varphi = 0 \, \lor \, \varphi = \pi\).
    • V případě, že \(\varphi = 0\) mají čísla \(a, b\) stejnou fázi. Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b \in \mathbb{R}^+\).
    • V případě, že \(\varphi = \pi\) mají čísla \(a, b\) opačnou fázi. Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b \in \mathbb{R}^-\).
  • pro \(a, b \neq 0 \, \land \, \cos \varphi = 0\), tj. pro \(\varphi = \pm \frac{\pi}{2}\).
    • V případě, že \(\varphi = \pm \frac{\pi}{2}\) jsou čísla \(a, b\) navzájem fázově posunuta o \(\frac{\pi}{2}\).
      Tedy pro \(a \in \mathbb{R}^+\) je \(b\) ryze imaginární číslo.

• Odpověď

  Minimální součin neurčitostí průmětů spinu \(\hat S_x\) a \(\hat S_y\) nastává v těchto případech

  • čísla \(a, b\) mají stejnou fázi, tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je i \(b \in \mathbb{R}^+_0\),
  • čísla \(a, b\) mají opačnou fázi, tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je \(b \in \mathbb{R}^-_0\)
  • čísla \(a, b\) jsou navzájem fázově posunuta o \(\frac{\pi}{2}\), tj. pro \(a \in \mathbb{R}^+_0\) je \(b\) ryze imaginární číslo.

• Komentář

  Jelikož se v této úloze zabýváme rozdílem fází čísel \(a, b\), je možné BÚNO předpokládat \(a \in \mathbb{R}_0^+\) již na začátku výpočtu.

  Tuto volbu můžeme učinit, neboť popis stavu není jednoznačný. Máme volnost v násobení konstantou, takže jistě existuje takový spinor, který popisuje zadaný stav a pro který zároveň platí, že \(a \in \mathbb{R}_0^+\).

  V tomto případě bychom si pouze nepatrně zjednodušili výpočet a ve výsledku bychom získali fázi čísla \(b\). Oba výpočty jsou korektní a obtížností na přibližně stejné úrovni.