Souřadnicová vs. impulsová reprezentace

Úloha číslo: 681

Částice o hmotnosti m se nachází potenciálním silovém poli. Její stav popisuje vlnová funkce \[\varphi(\vec{p},t) ,\] která je řešením Schrödingerovy rovnice ve tvaru

\[\left(\frac{\vec{p}^2}{2m}\,-\, a\Delta_p\right)\,\varphi(\vec{p},t) = i\hbar\,\frac{\partial \varphi(\vec{p},t)}{\partial t} ,\]

kde a je nějaká reálná konstanta a

\[\Delta_p=\frac{\partial^2}{\partial p_x^2}\,+\,\frac{\partial^2}{\partial p_y^2}\,+\,\frac{\partial^2}{\partial p_z^2} .\]

Určete \(\vec{F}(\vec{r}) .\)

  • Nápověda 1

    Jak souvisí síla působící na částici s její potenciální energií?

  • Nápověda 2

    Jak vypadá operátor hybnosti v souřadnicové reprezentaci? Jak vypadá operátor polohy v impulsové reprezentaci?

    Odvození tvaru operátorů v impulsové reprezentaci je možné najít například na webu http://wiki.matfyz.cz/wiki/16._Formalizmus_kvantové_teorie.

  • Nápověda 3

    Máme-li určit \(\vec{F}(\vec{r})\) (tj. sílu v závislosti na souřadnici), měli bychom celý problém přepsat v souřadnicové reprezentaci.

    Vyjádření vlnové funkce v souřadnicové a impulsové reprezentaci jsou navzájem propojena Fourierovou transformací. (Funkce \(\psi(\vec{r},\,t)\) a \(\varphi(\vec{p},\,t)\) jsou jakožto vlnové funkce kvadraticky integrabilní, proto i matematicky splňují předpoklady pro funkce vstupující do Fourierovy transformace.) Jak tedy bude vypadat zadaná Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci \(\psi(\vec{r},\,t)\), která je Fourierovým obrazem funkce \(\varphi(\vec{p},\,t)\)? Stačí, když v ní nahradíte \(\vec{p}^2\) a \(\Delta_p\) jejich odpovídajícím vyjádřením v souřadnicové reprezentaci.

  • Řešení

    Schrödingerova rovnice zadaná v impulsové reprezentaci

    \[\left(\frac{\vec{p}^2}{2m}\,-\, a\Delta_p\right)\,\varphi(\vec{p},t) = i\hbar\,\frac{\partial \varphi(\vec{p},t)}{\partial t}\]

    má v souřadnicové reprezentaci tvar (viz Nápověda 3)

    \[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\,+\,\frac{ar^2}{\hbar^2}\right)\,\psi(\vec{r},\,t)=i\hbar\,\frac{\partial \psi(\vec{r},\,t)}{\partial t} .\]

    Srovnáním s obecným tvarem nečasové Schrödingerovy rovnice (v souřadnicové reprezentaci)

    \[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\,+\,V(\vec{r})\right)\,\psi(\vec{r},\,t)=i\hbar\,\frac{\partial \psi(\vec{r},\,t)}{\partial t}\]

    vidíme, že potenciální energie

    \[V(\vec{r})=\frac{ar^2}{\hbar^2}\] neboli \[V([x,y,z])=\frac{a}{\hbar^2}\,\left( x^2+y^2+z^2 \right),\]

    a tedy můžeme určit sílu

    \[\vec{F}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{a}{\hbar^2}\,\left( \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial x},\ \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial y},\ \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial z}\right) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{a}{\hbar^2}\,\left(2x,\ 2y,\ 2z\right) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{2a\vec{r}}{\hbar^2} .\]
  • Odpověď

    Síla působící v místě \(\vec{r}\) je rovna \(\vec{F}(\vec{r})=-\frac{2a\vec{r}}{\hbar^2}\).

  • Komentář

    Síla lineárně závislá na výchylce, směřující proti směru výchylky typicky popisuje harmonický oscilátor. V této úloze jde tedy vlastně o zápis Schrödingerovy rovnice pro trojrozměrný harmonický oscilátor v impulsové reprezentaci.

  • Odkaz na literaturu

    Více o souřadnicové a impulsové reprezentaci naleznete například v knize SKÁLA, L. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze