Sbírka řešených úloh

Souřadnicová vs. impulsová reprezentace

Úloha číslo: 681

• Nápověda 1

  Jak souvisí síla působící na částici s její potenciální energií?

• Řešení nápovědy 1

  Síla působící na částici je rovna záporně vzatému gradientu její potenciální energie:

  \[\vec{F}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}) .\]

• Nápověda 2

  Jak vypadá operátor hybnosti v souřadnicové reprezentaci? Jak vypadá operátor polohy v impulsové reprezentaci?

  Odvození tvaru operátorů v impulsové reprezentaci je možné najít například na webu http://wiki.matfyz.cz/wiki/16._Formalizmus_kvantové_teorie.

• Řešení nápovědy 2

  V souřadnicové reprezentaci platí

  \[\hat{\vec{p}}=-i\hbar\nabla,\] kde \[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\right) .\]

  V impulsové reprezentaci se role obracejí a platí

  \[\hat{\vec{r}}=i\hbar\nabla_p ,\] kde \[\nabla_p=\left(\frac{\partial}{\partial p_x},\ \frac{\partial}{\partial p_y},\ \frac{\partial}{\partial p_z}\right) .\]

• Nápověda 3

  Máme-li určit \(\vec{F}(\vec{r})\) (tj. sílu v závislosti na souřadnici), měli bychom celý problém přepsat v souřadnicové reprezentaci.

  Vyjádření vlnové funkce v souřadnicové a impulsové reprezentaci jsou navzájem propojena Fourierovou transformací. (Funkce \(\psi(\vec{r},\,t)\) a \(\varphi(\vec{p},\,t)\) jsou jakožto vlnové funkce kvadraticky integrabilní, proto i matematicky splňují předpoklady pro funkce vstupující do Fourierovy transformace.) Jak tedy bude vypadat zadaná Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci \(\psi(\vec{r},\,t)\), která je Fourierovým obrazem funkce \(\varphi(\vec{p},\,t)\)? Stačí, když v ní nahradíte \(\vec{p}^2\) a \(\Delta_p\) jejich odpovídajícím vyjádřením v souřadnicové reprezentaci.

• Řešení nápovědy 3

  Jak je řečeno v řešení nápovědy 2, v souřadnicové reprezentaci platí

  \[\hat{\vec{p}}=-i\hbar\nabla .\]

  V impulsové reprezentaci se role obracejí a platí

  \[\hat{\vec{r}}=i\hbar\nabla_p .\]

  Potřebujeme-li přejít od operátorů \(\hat{\vec{p}}^2=\vec{p}^2\) a \(\Delta_p\) k jejich odpovídajícím vyjádřením v souřadnicové reprezentaci, je třeba vyjádřit je pomocí něčeho známého. Z dvou úvodních vztahů snadno odvodíme, že

  \[\hat{\vec{p}}^2=(-i\hbar\nabla)^2=-\hbar^2 \Delta\]

  a podobně

  \[\hat{\vec{r}}^2=(i\hbar\nabla_p)^2=-\hbar^2 \Delta_p ,\]

  tedy

  \[\Delta_p=-\frac{\hat{\vec{r}}^2}{\hbar^2}=-\frac{r^2}{\hbar^2} .\]

  Podařilo se nám tak propojit \(\hat{\vec{p}}^2=\vec{p}^2\) s operátorem \(\Delta\) v souřadnicové reprezentaci a podobně \(\Delta_p\) s operátorem \(\vec{r}^2=r^2\) v souřadnicové reprezentaci.

  Schrödingerovu rovnici zadanou v impulsové reprezentaci

  \[\left(\frac{\vec{p}^2}{2m}\,-\,a\Delta_p\right)\,\varphi(\vec{p},t) = i\hbar\,\frac{\partial \varphi(\vec{p},t)}{\partial t},\]

  proto nyní můžeme přepsat v souřadnicové reprezentaci:

  \[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\,+\,\frac{ar^2}{\hbar^2}\right)\,\psi(\vec{r},\,t)=i\hbar\,\frac{\partial \psi(\vec{r},\,t)}{\partial t} .\]

• Řešení

  Schrödingerova rovnice zadaná v impulsové reprezentaci

  \[\left(\frac{\vec{p}^2}{2m}\,-\, a\Delta_p\right)\,\varphi(\vec{p},t) = i\hbar\,\frac{\partial \varphi(\vec{p},t)}{\partial t}\]

  má v souřadnicové reprezentaci tvar (viz Nápověda 3)

  \[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\,+\,\frac{ar^2}{\hbar^2}\right)\,\psi(\vec{r},\,t)=i\hbar\,\frac{\partial \psi(\vec{r},\,t)}{\partial t} .\]

  Srovnáním s obecným tvarem nečasové Schrödingerovy rovnice (v souřadnicové reprezentaci)

  \[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\,+\,V(\vec{r})\right)\,\psi(\vec{r},\,t)=i\hbar\,\frac{\partial \psi(\vec{r},\,t)}{\partial t}\]

  vidíme, že potenciální energie

  \[V(\vec{r})=\frac{ar^2}{\hbar^2}\] neboli \[V([x,y,z])=\frac{a}{\hbar^2}\,\left( x^2+y^2+z^2 \right),\]

  a tedy můžeme určit sílu

  \[\vec{F}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{a}{\hbar^2}\,\left( \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial x},\ \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial y},\ \frac{\partial\left( x^2+y^2+z^2 \right)}{\partial z}\right) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{a}{\hbar^2}\,\left(2x,\ 2y,\ 2z\right) ,\] \[\vec{F}(\vec{r})=-\frac{2a\vec{r}}{\hbar^2} .\]

• Odpověď

  Síla působící v místě \(\vec{r}\) je rovna \(\vec{F}(\vec{r})=-\frac{2a\vec{r}}{\hbar^2}\).

• Komentář

  Síla lineárně závislá na výchylce, směřující proti směru výchylky typicky popisuje harmonický oscilátor. V této úloze jde tedy vlastně o zápis Schrödingerovy rovnice pro trojrozměrný harmonický oscilátor v impulsové reprezentaci.

• Odkaz na literaturu

  Více o souřadnicové a impulsové reprezentaci naleznete například v knize SKÁLA, L. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-1316-4.