Klasický pohled na atom vodíku
Úloha číslo: 642
Celková energie elektronu v základním stavu je −13,6 eV. Považujme ho za klasickou částici, která obíhá proton po kruhové dráze. Určete tento poloměr, potenciální energii, kinetickou energii a rychlost elektronu.
Zápis
E1 = −13,6 eV energie elektronu v atomu vodíku v základním stavu r = ? (m) poloměr dráhy elektronu (tzv. Bohrův poloměr) Ek = ? (eV) kinetická energie elektronu Ep = ? (eV) potenciální energie elektronu v = ? (m.s-1) rychlost elektronu Z tabulek:
c = 1,6·10−19 C náboj elektronu me = 9,1·10−31 kg hmotnost elektronu ε0 = 8,8·10−12 Fm−1 permitivita vakua Nápověda
Předpokládáme, že se elektron pohybuje kolem jádra (protonu) po kružnici. To znamená, že elektrická síla, která mezi nimi působí hraje roli dostředivé síly.
Celková energie elektronu se skládá z kinetické energie a elektrostatické potenciální energie, která má zápornou hodnotu, protože se elektron a proton přitahují.
Tím dostáváme dvě rovnice se dvěma neznámými – rychlostí elektronu a vzdálenosti elektronu od jádra.
Rozbor
Celková energie elektronu se skládá z kinetické energie a potenciální energie. Potenciální energií je elektrostatická potenciální energie daná působením elektrických sil mezi elektronem a jádrem vodíku (protonem). Tato energie závisí na nábojích obou částic a jejich vzdálenosti (poloměru dráhy elektronu), a protože se obě částice přitahují, je záporná.
Kinetická energie závisí na rychlosti. Rychlost elektronu ale musí být taková, aby elektrická síla, kterou na něj působí jádro, byla přesně silou dostředivou, která ho na příslušné dráze udrží. Z vyjádření těchto dvou sil určíme rychlost elektronu také pomocí vzdálenosti.
Potom již budeme mít ve vyjádření celkové energie jedinou neznámou – poloměr dráhy, který vyjádříme a spočteme. Dosazením poloměru do dílčích vztahů určíme další požadované charakteristiky elektronu.
Řešení
Celková energie E je dána součtem kinetické Ek a potenciální Ep energie, kde potenciální energie je elektrostatická potenciální energie:
\[E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v^2-k\frac{e^2}{r} .\]Rychlost elektronu musí být taková, aby elektrická síla Fe, kterou na něj působí jádro, byla silou dostředivou Fd:
\[F_{\mathrm{e}}=F_{\mathrm{d}} ,\] \[k\frac{e^2}{r}=m_{\mathrm{e}}\frac{v^2}{r} .\]Odsud si vyjádříme rychlost v
\[v^2=k\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}}r}\]a dosadíme do vzorce pro celkovou energii E
\[E=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}\frac{ke^2}{m_{\mathrm{e}}r}-k\frac{e^2}{r}=-\frac{ke^2}{2r} .\]Vyjádříme hledaný poloměr r:
\[r=-\frac{ke^2}{2E}=-\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 E_1}\]a dosadíme příslušné hodnoty, za celkovou energii E dosadíme energii elektronu v základním stavu E1, kterou převedeme na jouly:
\[r=-\frac{\left(1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)^2}{8\pi\cdot8{,}8{\cdot}10^{-12}\cdot\left(-13{,}6{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)}\,\mathrm{m}=5{,}3{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{m} .\]Potenciální energie Ep elektronu je
\[E_{\mathrm{p}}=-k\frac{e^2}{r}=-\frac{ke^2}{-\frac{ke^2}{2E_1}}=2E_1=-27{,}2\,\mathrm{eV} .\]Kinetickou energii Ek elektronu určíme nejjednodušeji ze vztahu pro celkovou energii
\[E_1=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}\] \[E_{\mathrm{k}}=E_1-E_{\mathrm{p}}=E_1-2E_1=-E_1=13{,}6\,\mathrm{eV}\]a rychlost ze vztahu pro kinetickou energii
\[E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v^2\,\Rightarrow\,v=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{k}}}{m_{\mathrm{e}}}}=\sqrt{\frac{-2E_1}{m_{\mathrm{e}}}}\] \[v=\sqrt{\frac{-2\cdot\left(-13{,}6{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)}{9{,}1{\cdot}10^{-31}}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,\dot{=}\,2{,}2{\cdot}10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}} .\]Odpověď
Pokud bychom se na vodík dívali z pohledu klasické fyziky, poloměr dráhy elektronu v základním stavu by byl roven 5,3·10−11 m (což odpovídá hodnotě tzv. Bohrova poloměru uvedené v tabulkách), měl by potenciální energii o velikosti −27,2 eV, kinetickou energii o velikosti 13,6 eV a pohyboval by se rychlostí přibližně 2200 km s−1.
