β-rozpad tritia
Úloha číslo: 2303
Tritium \(^{3}\mathrm{H}\) se při \(\beta-\)rozpadu přemění na \(^3\mathrm{He}^{+}\). Uvažujme, že elektron, původně vázaný k tritiu, byl v základním stavu a je nadále vázán k vzniklému iontu helia. Vypočítejte:
a) pravděpodobnost nalezení tohoto elektronu v základním stavu,
b) pravděpodobnost nalezení tohoto elektronu ve stavu \(2s\),
c) pravděpodobnost nalezení tohoto elektronu ve stavu \(2p\).
Při výpočtu uvažujte \(\beta-\)rozpad jako okamžitou změnu systému a interakci vyzářeného elektronu a neutrina s vázaným elektronem neuvažujte.
Nápověda 1
Vlnová funkce základního stavu elektronu v atomu vodíku (tritiu) je
\[\psi_{100}^\mathrm{H}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}},\]kde \(a\) je Bohrův poloměr atomu.
Vlnové funkce iontu helia \(^3\mathrm{He}^+\) jsou
\[\psi_{100}^{\mathrm{He}^+}=\frac{1}{\sqrt{\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3}}e^{−\frac{2r}{a}},\] \[\psi_{200}^{\mathrm{He}^+}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\left(1−\frac{r}{a}\right)e^{−\frac{r}{a}},\] \[\psi_{21m}^{\mathrm{He}^+}=\frac{1}{2\sqrt{6\left(\frac{a}{2}\right)^3}}\frac{r}{a}e^{−\frac{r}{a}}\,Y_{1m}(\theta, \phi),\]kde \(a\) je Bohrův poloměr atomu a \(Y_{1m}(\theta, \phi)\) jsou kulové funkce.
Nápověda 2
Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) v obecném stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).
Nápověda 3 − Užitečný vzorec
Při výpočtu využijeme hodnotu integrálu
\[\int_{0}^{\infty}x^ne^{−ax}\mathrm{d}x=\frac{n!}{a^{n+1}},\]pro \(n\in\mathbb{N}\).
Řešení a)
Uvažujeme-li změnu systému jako okamžitou, elektron vázaný na tritium (resp. ion helia) „nestihne“ zareagovat na tuto změnu, a proto zůstane v základním stavu tritia popsaném vlnovou funkcí
\[\psi_{100}^\mathrm{H}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}},\]kde \(a\) je Bohrův poloměr atomu.
Tato vlnová funkce již nepopisuje vlastní stav nového systému. Koeficient, který v rozkladu našeho stavu \(\psi_{100}^{\mathrm{H}}\) do lineární kombinace nových vlastních stavů stojí před funkcí \(\psi_{100}^{\mathrm{He}^+}\), spočteme jako
\[c_{100}=\left\langle\psi_{100}^{\mathrm{He}^+}\Big|\psi_{100}^{\mathrm{H}}\right\rangle=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3}}e^{−\frac{2r}{a}}\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}}\,r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\] \[=\frac{2^\frac{3}{2}}{\pi a^3} \int_{0}^{\infty} e^{−\frac{3r}{a}}\,r^2\,\mathrm{d}r\int_{0}^{\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi=\frac{2^\frac{7}{2}}{a^3}\int_{0}^{\infty} r^2e^{−\frac{3r}{a}}\,\mathrm{d}r.\]Poslední integrál lze vypočítat metodou per partes, nebo můžeme jeho hodnotu nalézt v tabulkách jako
\[\int_{0}^{\infty}x^ne^{−ax}\mathrm{d}x=\frac{n!}{a^{n+1}},\]pro \(n\in\mathbb{N}\).
Tedy hodnota koeficientu \(c\) je
\[c_{100}=2\frac{2^\frac{7}{2}}{3^3}.\]Pravděpodobnost nalezení elektronu v základním stavu helia je
\[P_{100}=|c_{100}|^2=\frac{2^9}{3^6}\doteq 0{,}702.\]Řešení b)
Postup je stejný jako v předchozí části. Koeficient rozkladu původního stavu do lineární kombinace nových vlastních stavů \(2s\) je
\[c_{200}=\left\langle\psi_{21m}^{\mathrm{He}^+}\Big|\psi_{100}^{\mathrm{H}}\right\rangle=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\left(1−\frac{r}{a}\right)e^{−\frac{r}{a}} \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}}\,r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=\] \[=\frac{1}{\pi a^3} \int_{0}^{\infty} \left(1−\frac{r}{a}\right)e^{−\frac{2r}{a}}\,r^2\,\mathrm{d}r\int_{0}^{\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi=\frac{4}{a^3}\int_{0}^{\infty} \left(1−\frac{r}{a}\right)r^2\,e^{−\frac{2r}{a}}\,\mathrm{d}r=\] \[=\frac{4}{a^3}\left(\frac{2!a^3}{2^3}−\frac{6a^4}{a2^4}\right)=\left(1−\frac{3}{2}\right)=−\frac{1}{2}.\]Pravděpodobnost nalezení elektronu ve stavu \(2s\) helia je
\[P_{200}=|c_{200}|^2=\frac{1}{4}=0{,}25.\]Řešení c)
Postup je stejný jako v předchozí části. Koeficient rozkladu původního stavu do lineární kombinace nových vlastních stavů \(2p\) je
\[c_{21m}=\left\langle\psi_{21m}^{\mathrm{He}^+}\Big|\psi_{100}^{\mathrm{H}}\right\rangle=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{6\left(\frac{a}{2}\right)^3}}\frac{r}{a}e^{−\frac{r}{a}}Y_{1m}(\theta, \phi)\ \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}}\,r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=\] \[= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{6\left(\frac{a}{2}\right)^3}}\frac{r}{a}e^{−\frac{r}{a}}\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{−\frac{r}{a}}\,r^2\,\mathrm{d}r\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}Y_{1m}(\theta, \phi)\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\]Jelikož je \(Y_{10}\) úměrná \(\cos\theta\), je integrál
\[\int_{0}^{\pi}Y_{10}\mathrm{sin}\theta\,\mathrm{d}\theta\sim \int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin 2\theta\,\mathrm{d}\theta=0.\]Funkce \(Y_{11}\) je násobkem \(-\sin \theta e^{i\phi}\) a \(Y_{1\,-1}\) je násobkem \(\sin\theta e^{−i\phi}\) a platí
\[\int_{0}^{2\pi}e^{\pm i\phi}\mathrm{d}\phi=0.\]Proto jsou všechny tři koeficienty \(c_{21m}\) rovny nule. Pravděpodobnost nalezení elektronu ve stavu \(2p\) je nulová.
Odpověď
Pravděpodobnost nalezení elektronu v základním stavu iontu helia je
\[P_{100}\doteq0{,}702.\]Pravděpodobnost nalezení elektronu ve stavu \(2s\) je
\[P_{200}=0{,}25.\]Pravděpodobnost nalezení elektronu ve stavu \(2p\) je nulová.
