Baseballový míček

Úloha číslo: 679

Baseballový míček o hmotnosti (150 ± 1) g byl vržen rychlostí (40 ± 1) m·s−1.

Jaká je nejmenší nevyhnutelná neurčitost při určování jeho polohy?

Pro zjednodušení uvažujte pouze jednorozměrný pohyb.

  • Nápověda 1

    Z relací neurčitosti víme, že zpřesňování určení polohy částice vždy probíhá na úkor přesnosti určení jiné veličiny. O kterou takovou veličinu nebo veličiny se jedná?

  • Nápověda 2

    Co to je relativní chyba měření? Jak se přenáší relativní chyba z jedné veličiny na druhou? Co když je jedna veličina součinem jiných dvou, které jsou zatíženy jistou chybou?

  • Zápis

    m = 150 g hmotnost míčku
    Δm = 1 g absolutní chyba hmotnosti
    v = 40 m·s−1 rychlost míčku
    Δv = 1 m·s−1 absolutní chyba rychlosti
    Δx = ? (m) neurčitost polohy
  • Řešení

    Pro odhad neurčitosti Δx z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] potřebujeme znát neurčitost Δp. Za neurčitost hybnosti v tomto případě považujme absolutní chybu určení hybnosti. Jelikož je hybnost míčku součinem jeho hmotnosti a rychlosti, tj. p = m·v, platí pro relativní chyby těchto veličin vztah η(p) = η(m) + η(v).
    Dále je z definice absolutní a relativní chyby Δp = η(pp. Pro Δx tak z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] dostáváme

    \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\Delta p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(p)\cdot p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{(\eta(m)+\eta(v))\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\left(\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta v}{v}\right)\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}{2\,\cdot\,\left(\frac{1}{150}+\frac{1}{40}\right)\,\cdot\, 0{,}15\,\cdot\, 40}\ \mbox{m} ,\] \[\Delta x \ge 2{,}8\,\cdot\,10^{-34}\ \mbox{m} .\]

    Takováto neurčitost polohy nejen, že jde pod rozměry jádra atomu, ale dokonce se blíží tzv. Planckově-Wheelerově délce*. V dimenzích menších, než je tato délka, zřejmě přestávají prostor a čas, jak je známe dnes, existovat, resp. mohou mít zcela jiné vlastnosti, které si zatím nikdo netroufá odhadnout, natož uspokojivě popsat.

    Závěrem tedy můžeme říct, že omezení vyplývající z kvantově-mechanických relací neurčitosti, nemají v dané makroskopické situace naprosto žádný význam.

    * Viz například http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length.
  • Odpověď

    Principiálně je minimální neurčitost určení polohy míčku rovna řádově 10−34 m, což je rozměr přístroji nepostihnutelný. Reálná chyba měření způsobená použitým měřidlem a lidským okem by byla mnohonásobně větší, i při velmi přesném měření patrně v řádu milimetrů nebo desetin milimetru, tj. 10−3 m až 10−4 m.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze