Sbírka řešených úloh

Baseballový míček

Úloha číslo: 679

• Nápověda 1

  Z relací neurčitosti víme, že zpřesňování určení polohy částice vždy probíhá na úkor přesnosti určení jiné veličiny. O kterou takovou veličinu nebo veličiny se jedná?

• Řešení nápovědy 1

  Přesnější určení polohy částice probíhá na úkor přesnosti informací o jejím pohybu. Zvyšuje se tedy neurčitost rychlosti, hybnosti a kinetické energie částice (tyto tři veličiny se dají navzájem jedna z druhé vyjádřit).

  Vzpomenete si na konkrétní tvar nějaké takové relace neurčitosti?

• Řešení nápovědy 1

  Relace neurčitosti pro polohu a hybnost má (v 1D) tvar \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} .\]

  Jako neurčitost hybnosti v tomto případě berte absolutní chybu určení hybnosti.

• Nápověda 2

  Co to je relativní chyba měření? Jak se přenáší relativní chyba z jedné veličiny na druhou? Co když je jedna veličina součinem jiných dvou, které jsou zatíženy jistou chybou?

• Řešení nápovědy 2

  Relativní chyba je bezrozměrná veličina (často uváděná v procentech). Spočteme ji jako podíl absolutní chyby při měření dané veličiny a naměřené hodnoty. Značíme ji například písmenem η.

  Je-li veličina C součinem veličin A a B, pak platí η(C) = η(A) + η(B).

• Zápis

  m = 150 g	hmotnost míčku
  Δm = 1 g	absolutní chyba hmotnosti
  v = 40 m·s−1	rychlost míčku
  Δv = 1 m·s−1	absolutní chyba rychlosti
  Δx = ? (m)	neurčitost polohy

• Řešení

  Pro odhad neurčitosti Δx z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] potřebujeme znát neurčitost Δp. Za neurčitost hybnosti v tomto případě považujme absolutní chybu určení hybnosti. Jelikož je hybnost míčku součinem jeho hmotnosti a rychlosti, tj. p = m·v, platí pro relativní chyby těchto veličin vztah η(p) = η(m) + η(v).
  Dále je z definice absolutní a relativní chyby Δp = η(p)·p. Pro Δx tak z relace neurčitosti \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\] dostáváme

  \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\Delta p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(p)\cdot p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{(\eta(m)+\eta(v))\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\left(\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta v}{v}\right)\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}{2\,\cdot\,\left(\frac{1}{150}+\frac{1}{40}\right)\,\cdot\, 0{,}15\,\cdot\, 40}\ \mbox{m} ,\] \[\Delta x \ge 2{,}8\,\cdot\,10^{-34}\ \mbox{m} .\]

  Takováto neurčitost polohy nejen, že jde pod rozměry jádra atomu, ale dokonce se blíží tzv. Planckově-Wheelerově délce*. V dimenzích menších, než je tato délka, zřejmě přestávají prostor a čas, jak je známe dnes, existovat, resp. mohou mít zcela jiné vlastnosti, které si zatím nikdo netroufá odhadnout, natož uspokojivě popsat.

  Závěrem tedy můžeme říct, že omezení vyplývající z kvantově-mechanických relací neurčitosti, nemají v dané makroskopické situace naprosto žádný význam.

  * Viz například http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length.

• Odpověď

  Principiálně je minimální neurčitost určení polohy míčku rovna řádově 10⁻³⁴ m, což je rozměr přístroji nepostihnutelný. Reálná chyba měření způsobená použitým měřidlem a lidským okem by byla mnohonásobně větší, i při velmi přesném měření patrně v řádu milimetrů nebo desetin milimetru, tj. 10⁻³ m až 10⁻⁴ m.