Sbírka řešených úloh

Průmět spinu 1/2 do směru (1, 0, 1)

Úloha číslo: 2287

• Nápověda 1

  Spin elektronu je \(\frac{1}{2}\). Vyhledejte operátory (matice) průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do osy \(x\), \(y\) a \(z\) a odvoďte nebo vyhledejte jejich vlastní čísla a příslušné vlastní vektory.

• Řešení nápovědy 1

  Operátor průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru os \(x\), \(y\), \(z\) má tvar

  \[\hat{\vec{S}}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right).\]

  Vlastní čísla jednotlivých matic jsou \(\lambda_{1{,}2}=\pm\frac{\hbar}{2}\) a příslušné vlastní vektory jsou

  \[|x+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix},\, |x−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix},\] \[|y+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix},\, |y−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix},\] \[|z+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\, |z−\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2

  Vyhledejte, jak se vypočítá pravděpodobnost naměření vlastního čísla příslušného operátoru \(\hat{F}\) ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 2

  Je-li stav popsán normovanou vlnovou funkcí \(\psi\), kterou rozložíme na lineární kombinaci navzájem kolmých a normovaných vlastních vlnových funkcí \(\psi_i\) operátoru \(\hat{F}\), tj.

  \[\psi=\sum_{i}c_i\psi_i,\]

  tak pravděpodobnost \(P_{\lambda_i}\) naměření vlastního čísla \(\lambda_i\) (příslušný vlastní stav je popsán vlnovou funkcí \(\psi_i\)) je roven

  \[P_{\lambda_i}=|c_i|^2.\]

• Nápověda 3

  Pokud máme nalézt rozklad nějakého obecného stavu popsaného spinorem \(\psi\) do lineární kombinace vektorů ortonormální báze \(|n_i\rangle\), pak koeficienty \(c_i\) tohoto rozkladu se rovnají skalárnímu součinu

  \[c_i=\langle n_i|\psi\rangle.\]

• Řešení

  Počáteční stav elektronu je vlastní stav příslušející zápornému průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru osy x, tj.

  \[|x−\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ −1 \end{pmatrix}.\]

  Nejprve si vektor udávající směr \((1,\,0,\,1)\) nanormujeme

  \[\vec{n}=\frac{1}{\sqrt2}(1,\,0,\,1).\]

  Poté najdeme matici průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru \(\vec{n}\)

  \[\hat{S_\vec{n}}=\hat{\vec{S}}·\vec{n}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &−i \\ i& 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& −1 \end{pmatrix}\right)·\frac{1}{\sqrt2}(1{,}0,1)=\frac{\hbar}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1& −1 \end{pmatrix}.\]

  Najděme vlastní čísla matice \(\hat{S_\vec{n}}\)

  \[\begin{vmatrix} \frac{\hbar}{2\sqrt{2}}−\lambda &\frac{\hbar}{2\sqrt{2}} \\ \frac{\hbar}{2\sqrt{2}}& −\frac{\hbar}{2\sqrt{2}}−\lambda \end{vmatrix}=\] \[−\left(\frac{\hbar^2}{8}−\lambda^2+\frac{\hbar^2}{8}\right)=−\left(\frac{\hbar^2}{4}−\lambda^2\right)=0,\]

  z poslední rovnosti

  \[\lambda^2=\frac{\hbar^2}{4},\] \[\lambda=\pm\frac{\hbar}{2}.\]

  Tento výsledek jsme očekávali, jelikož průmět spinu \(\frac{1}{2}\) do libovolného směru může nabývat pouze hodnot \(\pm\frac{\hbar}{2}\).

  Najděme nyní vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda=\frac{\hbar}{2}\), tedy spinor popisující stav s kladným průmětem spinu \(\frac{1}{2}\) do směru \(\vec{n}\)

  \[\frac{\hbar}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1−\sqrt{2} &1 \\ 1& −1−\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\vec{o},\] \[(1−\sqrt{2})a+b=0,\]

  zvolíme-li \(a=1\), poté je vlastní vektor

  \[|\vec{n}+\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{2}−1 \end{pmatrix}.\]

  Nanormujme tento vektor

  \[\langle\vec{n}+|\vec{n}+\rangle=1+2-2\sqrt{2}+1=4−2\sqrt{2},\]

  tedy normovaný vektor příslušející kladnému průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru \(\vec{n}\) je

  \[|\vec{n}+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2(2−\sqrt{2})}}\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{2}−1 \end{pmatrix}.\]

  Nyní můžeme pomocí skalárního součinu vypočítat koeficient lineární kombinace rozkladu původního stavu do vlastních stavů matice \(\hat{S_\vec{n}}\)

  \[\langle \vec{n} +|x−\rangle = \frac{1}{\sqrt{2(2−\sqrt{2})}}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2}−1 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2\sqrt{2−\sqrt{2}}}(1−\sqrt{2}+1)=\] \[=\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2−\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2−\sqrt{2}}}{2},\]

  tedy pravděpodobnost naměření kladné hodnoty průmětu spinu \(\frac{1}{2}\) do směru \(\vec{n}\) je

  \[P_+=\left(\frac{\sqrt{2−\sqrt{2}}}{2}\right)^2=\frac{2−\sqrt{2}}{4}\doteq0{,}15.\]

• Odpověď

  Uvažujeme-li elektron, jehož průmět spinu do směru osy \(x\) je záporný, poté je pravděpodobnost naměření kladné hodnoty průmětu spinu do směru \((1,\,0,\,1)\)

  \[P_+=\frac{2−\sqrt{2}}{4}\doteq0{,}15.\]