Energetické hladiny atomu vodíku
Úloha číslo: 629
a) Jaká energie je třeba k utržení elektronu z atomu vodíku?
b) Jaká je vlnová délka fotonu, který může převést vodík v základním stavu do prvního excitovaného stavu?
c) Jakým napětím je třeba urychlit elektron, aby měl dostatečnou energii k excitaci atomu vodíku ze základního stavu do prvního excitovaného stavu?
d) Jakému přechodu odpovídá světlo vodíkové výbojky o vlnové délce 656 nm?
Nápověda
Elektron se v atomu vodíku může nacházet v různých stavech, kterým odpovídají různé energie. Stav s nejmenší energií nazýváme základní a elektron v něm má energii −13,6 eV. Tento stav je označen hlavním kvantovým číslem n = 1. Ostatní stavy nazýváme excitované, mají hlavní kvantové číslo vyšší a jejich energii udává vztah
\[E_{\mathrm{n}}=\frac{E_1}{n^2} .\]Jinou energii, než udává tento vzorec, elektron v atomu vodíku mít nemůže.
Jestliže elektron přechází z jednoho stavu do jiného, je třeba mu buď dodat energii rovnající se rozdílu konečného a počátečního stavu (pokud se má jeho energie zvýšit)
\[E_{\mathrm{n}\rightarrow\mathrm{m}}=E_{\mathrm{m}}-E_{\mathrm{n}},\]nebo příslušnou energii vyzáří ve formě fotonu (kvanta elektromagnetického záření) s touto energií. Mezi energií, frekvencí a vlnovou délkou fotonu/světla platí následující vztahy
\[E_{\mathrm{foton}}=hf=h\frac{c}{\lambda} .\]Zápis
c = 3,00·108 m s−1 rychlost světla ve vakuu h = 6,63·10−34 Js Planckova konstanta E1 = −13,6 eV energie elektronu v atomu vodíku v základním stavu 1 eV = 1,60·10−19 J převodní vztah mezi jednotkami energie Řešení
a) Energie elektronu se skládá z potenciální a kinetické energie. Protože se elektron a proton přitahují, je jejich potenciální energie záporná a podle konvence má nulovou hodnotu v nekonečnu (= hodně daleko od jádra). Pokud tedy chceme utrhnout elektron z atomu vodíku, musíme mu dodat alespoň tolik energie, aby jeho celková energie byla nulová. Pokud bychom mu dodali více energie, bude se po „utržení“ pohybovat, tj. „zbytek“ energie se projeví jako kinetická energie elektronu.
Elektron v základním stavu má energii −13,6 eV, na jeho utržení mu tedy musíme dodat energii 13,6 eV = 13,6·1,6·10−19 J = 2,2·10−18 J. Této energii říkáme ionizační energie.
b) Při excitaci do prvního excitovaného stavu chceme elektron převést ze stavu n = 1 do stavu m = 2, k tomu je třeba energie:
\[E_{\mathrm{excitace}}=E_{\mathrm{m}}-E_{\mathrm{n}}=\frac{E_1}{m^2}-\frac{E_1}{n^2}=\frac{E_1}{2^2}-\frac{E_1}{1^2}=-\frac{3}{4}E_1\] \[E_{\mathrm{excitace}}=-\frac{3}{4}\cdot\left(-13{,}6\,\mathrm{eV}\right)=10{,}2\,\mathrm{eV}.\]Vodík tedy musí pohltit foton s touto energií. Odtud určíme jeho vlnovou délku λ
\[E_{\mathrm{foton}}=E_{\mathrm{excitace}}=h\frac{c}{\lambda}\,\Rightarrow\,\lambda=\frac{hc}{E_{\mathrm{excitace}}}\] \[\lambda=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}\cdot3{,}00{\cdot}10^8}{10{,}2{\cdot}1{,}60{\cdot}10^{-19}}\,\mathrm{m}=1{,}2{\cdot}10^{-7}\,\mathrm{m}=120\,\mathrm{nm}.\]Jedná se o foton ultrafialového světla.
c) Elektrické pole při urychlování elektronu vykoná práci rovnou součinu náboje elektronu a napětí (= rozdílu potenciálů), které elektron urychlovalo. Tato práce se rovná energii, kterou elektron získá:
\[W=eU=E_{\mathrm{elektron}}=E_{\mathrm{excitace}},\]odtud vyjádříme napětí
\[U=\frac{E_{\mathrm{excitace}}}{e}=\frac{10{,}2{\cdot}1{,}60{\cdot}10^{-19}}{1{,}60{\cdot}10^{-19}}\,\mathrm{V}=10{,}2\,\mathrm{V}.\]Poznámka: Jednotka energie 1 eV je definována jako energie, kterou získá elektron při urychlení napětím 1 V. Jestliže má mít elektron energii 10,2 eV, musíme ho urychlit napětím 10,2 V.
d) Abychom mohli určit, o jaký přechod se jedná, určíme si nejprve energii daného fotonu
\[E_{\mathrm{foton}}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}\cdot3{,}00{\cdot}10^{8}}{656{\cdot}10^{-9}}\,\mathrm{J}=3{,}03{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}=1{,}89\,\mathrm{eV},\]a teď je třeba najít dvě vhodná malá přirozená čísla tak, aby platilo:
\[1{,}89\,\mathrm{eV}=13{,}6\,\mathrm{eV}\cdot\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\,\Rightarrow\,0{,}139=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}.\]V tento okamžik můžeme začít zkoušet různé dvojice malých přirozených čísel.
Zkusme se ale nad úlohou zamyslet ještě trochu fyzikálně a využít znalost energií jednotlivých stavů:
n 1 2 3 4 5 |En| [eV] 13,6 3,4 1,44 0,85 0,54 Pokud by koncovým stavem elektronu byl základní stav n = 1, potom by elektron musel mít energii minimálně (13,6 − 3,4) eV = 10,2 eV nebo větší. Nemohlo se tedy jednat o přechod do základního stavu. Maximální energie fotonu pro přechod do daného stavu je dána absolutní hodnotou energie koncového stavu (jde o přechod elektronu z některého velmi excitovaného stavu s velmi malou hodnotou energie). To vylučuje koncové stavy stav s n ≥ 3.
Takže se muselo jednat o přechod do stavu n = 2 a po jednoduchém výpočtu zjistíme, že přechod byl ze stavu s m = 3. Tj. elektron přešel z druhého excitovaného stavu do prvního.
Odpověď
Na utržení elektronu z atomu vodíku je třeba energie 13,6 eV, na jeho excitaci je třeba energie 10,2 eV, což odpovídá fotonu s vlnovou délkou 120 nm nebo elektronu urychlenému napětím 10,2 V. Spektrální čára s vlnovou délkou 656 nm odpovídá přechodu z druhého excitovaného stavu do prvního a patří do tzv. Balmerovy série.
